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2025-11-24T21:17:31Z

Berechnung

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Der '''Rang''' ist ein Begriff aus der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]]. Man ordnet ihn einer [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] oder einer [[Lineare Abbildung|linearen Abbildung]] zu. Übliche Schreibweisen sind <math>\operatorname{rang}(f)</math> und <math>\operatorname{rg}(f)</math>. Seltener werden auch die in der englischen Fachliteratur üblichen Schreibweisen <math>\operatorname{rank}(f)</math> und <math>\operatorname{rk}(f)</math> benutzt.

== Definition ==
[[Datei:Matrix Columns.svg|mini|Spaltenvektoren einer Matrix]]
Für eine ''Matrix'' <math>A</math> definiert man den '''Zeilenraum''' <math>ZR(A)</math> als die [[lineare Hülle]] der Zeilenvektoren aus <math>A</math>. Die [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] des Zeilenraums bezeichnet man als '''Zeilenrang''', sie entspricht der Maximalzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren.<ref>Serge Lang: ''Algebra'' 3. Auflage. Springer, New York 2002, ISBN 0-387-95385-X.</ref>

Analog definiert man den '''Spaltenraum''' <math>SR(A)</math> und den '''Spaltenrang''' durch die Spaltenvektoren. Man kann für Matrizen mit Elementen aus einem [[Körper (Algebra)|Körper]] zeigen, dass der Zeilen- und Spaltenrang jeder Matrix gleich ist.<ref group="AuH">Dies gilt für Matrizen über einem beliebigen [[Kommutativer Ring|kommutativen Ring]], der kein Körper ist, im Allgemeinen '''nicht'''. Man vergleiche hierzu das Lehrbuch {{Literatur |Autor=Oeljeklaus / Remmert |Titel=Lineare Algebra I |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin u. a. |Datum=1974 |Seiten=166}}</ref>

Die auf diesem Wege wohldefinierte [[natürliche Zahl]] bezeichnet man als den '''Rang der Matrix'''.

== Erste Folgerungen ==
* Der Rang ''eines Systems aus endlich vielen Vektoren'' entspricht der Dimension seiner linearen Hülle.<ref>Falko Lorenz: ''Lineare Algebra I.'' 3. Auflage. Spektrum, Heidelberg 1992, ISBN 3-411-15193-5.</ref>
* Bei einer ''linearen Abbildung'' <math>f</math> ist der Rang als Dimension des [[Bild (Mathematik)|Bildes]] dieser Abbildung definiert:
:<math>\operatorname{rang}(f) = \dim (\operatorname{Bild}(f)).</math>

Hier gilt stets, dass eine lineare Abbildung und die zugehörige [[Abbildungsmatrix]] denselben Rang haben.

== Berechnung ==
Um den Rang einer Matrix zu bestimmen, formt man diese mit dem [[Gaußsches Eliminationsverfahren|gaußschen Eliminationsverfahren]] in eine [[Äquivalenz (Matrix)|äquivalente Matrix]] in [[Stufenform|(Zeilen-)Stufenform]] um. Die Anzahl der Zeilenvektoren, die ungleich 0 sind, entspricht dann dem Rang der Matrix.

Beispiele:
* <math>A =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 5 & 4 \\
0 & 10 & 2
\end{pmatrix}
\rightsquigarrow
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 5 & 4 \\
0 & 0 & -6
\end{pmatrix}

\Rightarrow \operatorname{rang}(A) = 3
</math>

* <math>B =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 6 & 4 \\
0 & 3 & 2
\end{pmatrix}
\rightsquigarrow
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 6 & 4 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

\Rightarrow \operatorname{rang}(B) = 2
</math>

* <math>C =
\begin{pmatrix}
2 & 3 \\
0 & 1 \\
4 & -1
\end{pmatrix}
\rightsquigarrow
\begin{pmatrix}
2 & 3 \\
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}

\Rightarrow \operatorname{rang}(C) = 2
</math>

Alternativ lässt sich die Matrix auch in Spaltenstufenform umformen. Der Rang der Matrix entspricht dann der Anzahl der Spaltenvektoren, die ungleich 0 sind.

== Normalform ==
Mit dem zur [[#Berechnung|Berechnung]] angewandten Verfahren kann jede Matrix in eine gleich große Matrix überführt werden, die in der oberen linken Ecke eine [[Einheitsmatrix]] E gleichen Ranges und sonst nur Nullen enthält:<ref name="zurmuehl">{{Literatur |Autor=[[Rudolf Zurmühl|R. Zurmühl]], [[Sigurd Falk|S. Falk]] |Titel=Matrizen und ihre Anwendungen 1 |TitelErg=Grundlagen, Für Ingenieure, Physiker und Angewandte Mathematiker |Verlag=Springer |Ort=Berlin u. a. |Datum=1997 |ISBN=3-540-61436-2 |Seiten=66}}</ref><ref>{{Internetquelle |autor=Thomas Steinfeld |url=https://mathepedia.de/Normalform.html |titel=Normalform einer Matrix |werk=Mathepedia |abruf=2021-11-26}}</ref>

{| style="border-collapse:collapse;"
|
|style="border-top: 1px solid #000000;border-left: 1px solid #000000;width:5px"|
|style="border-bottom: 1px solid #000000;border-right: 1px solid #000000;"| E  
|style="border-bottom: 1px solid #000000;"|  0 
|style="border-top: 1px solid #000000;border-right: 1px solid #000000;width:5px"|
|-
|
|style="border-left: 1px solid #000000;"|
|style="border-right: 1px solid #000000;"| 0  
|  0 
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|-
|
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|colspan="2"|
|style="border-top: 1px solid #000000;;width:5px"|
|}

Die Transformation der Matrix M

: LMR = N

mit [[Reguläre Matrix|regulären Matrizen]] L und R auf [[Normalform einer Matrix|Normalform]] N gelingt immer.

Beispiel: Vorgelegt ist die Matrix

:<math>\mathsf M=\begin{pmatrix}-1&0&0\\-3&3&-1\end{pmatrix}</math>

Ihre Transformation auf Normalform geschieht mit

:<math>\mathsf{LMR}=\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}-1&0&0\\-3&3&-1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&-1\\1&2&-3\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}</math>

Die Matrizen L und R sind regulär, denn ihre [[Determinante]]n sind ungleich null:

:<math>\mathrm{det}(\mathsf{L})=\begin{vmatrix}1&0\\-2&1\end{vmatrix}=1,\quad
\mathrm{det}(\mathsf{R})=\begin{vmatrix}-1&0&0\\0&1&-1\\1&2&-3\end{vmatrix}=1
</math>

== Quadratische Matrizen ==
Ist der Rang einer quadratischen Matrix gleich ihrer Zeilen- und Spaltenzahl, hat sie vollen Rang und ist [[Reguläre Matrix|regulär]] (invertierbar). Diese Eigenschaft lässt sich auch anhand ihrer [[Determinante (Mathematik)|Determinante]] feststellen. Eine quadratische Matrix hat genau dann vollen Rang, wenn ihre Determinante von null verschieden ist bzw. keiner ihrer [[Eigenwertproblem|Eigenwerte]] null ist.

== Eigenschaften ==
Seien im Folgenden <math>m, n, l \in \mathbb{N}</math>.
* Die einzige Matrix mit Rang <math>0</math> ist die [[Nullmatrix]] <math>0_{m,n}</math> . Die <math>n\!\times\!n</math>-[[Einheitsmatrix]] <math>E_n</math> hat den vollen Rang <math>n</math>.
* Für den Rang einer <math>m\!\times\!n</math>-Matrix <math>A</math> gilt:
:: <math>\operatorname{rang}(A) \leq \min \{m,n\}.</math>
:Man sagt, dass die Matrix '''vollen Rang''' hat, wenn in dieser Ungleichung die Gleichheit gilt.
* Die [[Transponierte Matrix|Transponierte]] <math>A^T</math> (oder auch <math>A^t</math>) einer Matrix <math>A</math> hat den gleichen Rang wie <math>A</math>:
:: <math>\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A^T)\;.</math>
* Erweiterung: Der Rang einer Matrix <math>A</math> und der zugehörigen [[Gramsche Determinante#Gramsche Matrix|Gram-Matrix]] sind gleich, falls <math>A</math> eine reelle Matrix ist:
*: <math>\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A^TA) = \operatorname{rang}(AA^T) = \operatorname{rang}(A^T)\;.</math>
* ''Subadditivität'': Für zwei <math>m\!\times\!n</math>-Matrizen <math>A</math> und <math>B</math> gilt:
:: <math>\operatorname{rang}(A+B) \leq \operatorname{rang}(A) + \operatorname{rang}(B).</math>
* ''Rangungleichungen von [[James Joseph Sylvester|Sylvester]]'': Für eine <math>m\!\times\!n</math>-Matrix <math>A</math> und eine <math>n\!\times\!l</math>-Matrix <math>B</math> gilt:
:: <math>\operatorname{rang}(A) + \operatorname{rang}(B) -n \leq \operatorname{rang}(A \cdot B) \leq \min\left\{\operatorname{rang}(A),\operatorname{rang}(B) \right\}.</math>
* ''Bedingung nach [[Georges Fontené|Fontené]], [[Eugène Rouché|Rouché]] und [[Ferdinand Georg Frobenius|Frobenius]]'': Ein lineares Gleichungssystem <math>A \cdot x = b</math> ist lösbar genau dann, wenn <math>b \in SR(A)</math> gilt bzw. (äquivalent dazu) <math> \operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A|b) </math>.
* Eine lineare Abbildung ist genau dann [[Injektivität|injektiv]], wenn die Abbildungsmatrix <math>A \in K^{m \times n}</math> vollen Spaltenrang hat: <math>\operatorname{rang}(A) = n.</math>
* Eine lineare Abbildung ist genau dann [[Surjektivität|surjektiv]], wenn die Abbildungsmatrix <math>A \in K^{m \times n}</math> vollen Zeilenrang hat: <math>\operatorname{rang}(A) = m.</math>
* Eine lineare Abbildung ist genau dann [[Bijektivität|bijektiv]], wenn die Abbildungsmatrix <math>A \in K^{m \times n}</math> regulär (invertierbar) ist, denn dann existiert die Umkehrabbildung mit Abbildungsmatrix <math> A^{-1}</math>. Das ist genau dann der Fall, wenn <math> A </math> quadratisch ist (<math>m = n</math>) und vollen Rang hat: <math>\operatorname{rang}(A) = m = n.</math>
* ''[[Rangsatz]] für lineare Abbildungen'': Für den Rang und [[Defekt (Mathematik)|Defekt]] (Dimension des [[Kern (Algebra)|Kerns]]) einer linearen Abbildung <math>f</math> aus einem <math>n</math>-dimensionalen Vektorraum <math>V</math> in einen <math>m</math>-dimensionalen Vektorraum <math>W</math> gilt der Zusammenhang
:: <math>\dim V = \operatorname{rang}(f) + \operatorname{def}(f)\;.</math>

== Siehe auch ==
* [[Defekt (Mathematik)]]
* [[Rangsatz]]
* [[Ungleichung von Frobenius]]

== Einzelnachweise ==
<references />

== Anmerkungen und Hinweise ==
<references group="AuH" />

== Literatur ==
* {{Literatur
|Hrsg= [[Ilja Nikolajewitsch Bronschtein|I. N. Bronstein]], [[Konstantin Adolfowitsch Semendjajew|K. A. Semendjajev]], G. Musiol, H. Mühlig
|Titel=Taschenbuch der Mathematik
|Reihe=Edition [[Harri Deutsch]]
|Auflage=10., überarbeitete
|Verlag=[[Europa-Lehrmittel|Verlag Europa–Lehrmittel]]
|Ort=Haan-Gruiten
|Datum=2016
|ISBN=978-3-8085-5789-1
|Seiten=282,376}}
* {{Literatur
|Autor=[[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]]
|Titel=Lineare Algebra
|Auflage=13.
|Verlag=Vieweg
|Ort=Braunschweig/Wiesbaden
|Datum=2002
|ISBN=3-528-97217-3}}
* {{Literatur
|Autor=Gerd Fischer, Boris Springborn
|Titel=Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger
|Reihe=Grundkurs Mathematik
|Verlag=Springer Spektrum
|Ort=Berlin
|Datum=2025
|ISBN=978-3-662-71260-3
|Online=[https://zbmath.org/0291.15001 ''zbMATH Open'']}}
* {{Literatur
|Autor=Eberhard Oeljeklaus, [[Reinhold Remmert]]
|Titel=Lineare Algebra I
|Reihe=Heidelberger Taschenbücher
|BandReihe=150
|Verlag=Springer-Verlag
|Ort=Berlin, Heidelberg, New York
|Datum=1974
|ISBN=3-540-06715-9
|Online=[https://zbmath.org/0291.15001 ''zbMATH Open'']}}

[[Kategorie:Lineare Algebra]]

Rang (Lineare Algebra) - Versionsgeschichte

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