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2025-02-04T09:10:30Z

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'''Randwertprobleme''' (kurz: '''RWP''') auch '''Randwertaufgabe''' (kurz: '''RWA''') oder [[Englische Sprache|englisch]] '''Boundary value problem''' (kurz: '''BVP''') nennt man in der [[Mathematik]] eine wichtige Klasse von Problemstellungen, bei denen zu einer vorgegebenen [[Differentialgleichung]] (DGL) Lösungen gesucht werden, die auf dem Rand des Definitionsbereiches vorgegebene Funktionswerte ([[Randbedingung]]en) annehmen sollen. Das Gegenstück dazu ist das [[Anfangswertproblem]], bei dem die Lösung für einen beliebigen Punkt im Definitionsbereich vorgegeben wird.

== Gewöhnliche Differentialgleichung ==

=== Dirichlet-Problem ===
{{Hauptartikel|Dirichlet-Randbedingung}}
Es seien <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> [[Reelle Zahl|reelle Zahlen]]. Randdaten oder Randbedingungen einer Funktion <math>u \colon [a,b] \to \mathbb{R}</math> der Form

:<math>u(a)=\alpha \quad \text{und} \quad u(b)=\beta </math>

heißen Randbedingungen ''erster Art'' oder ''Dirichletsche'' Randbedingungen. Ist <math>\alpha=\beta=0</math> so sprechen wir von ''homogenen'' Dirichletschen Randbedingungen. Ansonsten sprechen wir von ''inhomogenen'' Randbedingungen.

Gesucht ist also eine Funktion <math>u</math>, welche Lösung des folgenden Problems ist:

:<math>(N)\begin{cases} f(x,u(x),u'(x),u''(x))=0, \quad x \in (a,b) & \\ u(a)=\alpha,~u(b)=\beta.& \end{cases}</math>

Hierbei ist <math>f</math> eine vorgeschriebene Funktion und <math>\alpha,\beta</math> sind die vorgeschriebenen Randbedingungen. Hinreichende Bedingungen zur Existenz (und Eindeutigkeit) von Lösungen von <math>(N)</math> findet man in dem Artikel [[Dirichlet-Randbedingung|Dirichlet-Problem]].

=== Sturm-Liouville-RWP ===
{{Hauptartikel|Sturm-Liouville-Problem}}
Seien <math>r,p,q\in\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> 
<math>Lu:=(pu')'+qu</math> sei ein [[Selbstadjungierter Operator|selbstadjungierter]] [[Lineare Abbildung|linearer]] [[Differentialoperator]] 2. Ordnung 
Randoperatoren mit <math>{\alpha_0}^2+{\alpha_1}^2>0,~{\beta_0}^2+{\beta_1}^2>0</math> seien 
<math>R_au:=\alpha_0u(a)+\alpha_1p(a)u'(a)</math> 
<math>R_bu:=\beta_0u(b)+\beta_1p(b)u'(b)</math> 
:<math>(*)\begin{cases} (Lu)(x)=r(x)& \\ R_u(a)=\eta_a,~R_u(b)=\eta_b& \end{cases}</math>
heißt Sturm-Liouville-RWP.

=== Sturm-Liouville-EWP ===
{{siehe auch|Eigenwertproblem}}
:<math>(P_\lambda)\begin{cases} (Lu)(x)=\lambda u(x)& \\ R_u(a)=R_u(b)=0& \end{cases}</math> 
Diejenigen <math>\lambda\in\mathbb{R}</math>, für die <math>(P_\lambda)</math> nicht eindeutig lösbar ist, heißen [[Eigenwert]]e. Die zugehörigen Lösungen heißen Eigenfunktionen.

== Partielle Differentialgleichungen ==
Sei <math>\Omega\subset\mathbb{R}^d</math> offen und beschränkt, <math>f</math> sei eine auf <math>\Omega</math> [[Lebesgue-Maß|Lebesgue-messbare]] Funktion, <math>g</math> beschreibe die Randvorgaben. Gesucht sind jeweils Lösungen <math>u\colon\Omega\rightarrow\mathbb{R}^n</math>. Die [[partielle Differentialgleichung]] sei gegeben durch den [[Differentialoperator]] <math>L\colon u \mapsto L(u)</math>. Insbesondere führen [[Elliptischer Differentialoperator|elliptische Differentialoperatoren]] immer auf Randwertprobleme, etwa der [[Laplace-Operator]] auf die [[Poisson-Gleichung]].

=== Dirichlet-Problem ===
Beim [[Dirichlet-Randbedingung|Dirichlet-Problem]] werden Funktionswerte auf dem Rand vorgegeben.
:<math>L(u)(x)=f(x)</math> für <math>x\in\Omega,</math>
:<math>u(x)=g(x)</math> für <math>x\in\partial\Omega.</math>

=== Neumann-Problem ===
Anstatt Funktionswerten werden beim [[Neumann-Randbedingung|Neumann-Problem]] Ableitungswerte auf dem Rand vorgeschrieben.
:<math>L(u)(x)=f(x)</math> für <math>x\in\Omega,</math>
:<math>\frac{\partial u}{\partial n}(x)=g(x)</math> für <math>x\in\partial\Omega.</math>

=== Schiefe Randbedingung ===
Die [[schiefe Randbedingung]] stellt eine Kombination der beiden vorangehenden Probleme dar. Hierbei soll die gesuchte Funktion auf dem Rand gleich ihrer Normalenableitung auf dem Rand sein.
:<math>L(u)(x)=f(x)</math> für <math>x\in\Omega,</math>
:<math>u(x)=\frac{\partial u}{\partial n}(x)</math> für <math>x\in\partial\Omega.</math>

== Hilfsmittel ==
Ein wichtiges theoretisches Hilfsmittel zur Untersuchung von Randwertproblemen sind die [[Greensche Funktion|Greenschen Funktionen]].

In der [[Numerik]] werden als Verfahren zur näherungsweisen Lösung z. B. die [[Finite-Differenzen-Methode|FDM]] (''finite difference method''), die [[Finite-Elemente-Methode|FEM]] (''finite element method''), das [[Schießverfahren]] und die [[Mehrzielmethode]] eingesetzt.

== Naturwissenschaftliche Anwendung ==
Die [[Modellierung]] vieler Vorgänge in [[Natur]] und [[Technik]] baut auf Differentialgleichungen auf. Typische einfache Beispiele für '''RWP''' sind
* schwingende Saite, die an ihren beiden Enden (=Rand) fest eingespannt ist
* Angeregte [[Schwingungsmembran]] (der Rand ist hier ein Kreisring) wie bei einem [[Trampolin]] oder einer [[Trommel]]
* [[Bewegungsgleichung]]en von Satelliten bei [[Keplerbahn]]en, siehe auch [[Bahnbestimmung]]
* die [[Kettenlinie (Mathematik)|Kettenlinie]] einer zwischen zwei Punkten durchhängenden Kette
* die Ausformung der Radien der drei sich bildenden Lamellen, wenn sich zwei zuerst eigenständige Seifenblasen vereinigen
* die Annahme einer konstanten Temperatur in der Wärmeleitung
* die Annahme einer konstanten [[Wärmestromdichte]] an der Grenze zwischen zwei Medien (z. B. perfekte Isolation).
Umgekehrt können Versuche mit materiellen Modellen – aus Federnetzwerk, [[Gummituch]], Seifenblase – der Lösung mathematisch formulierter Aufgaben oder ihrer Veranschaulichung dienen:
* [[Gravitation]]spotential dargestellt durch die mittige Eindellung eines am Rand waagrecht eingespannten Gummituchs, (elliptisch) umkreisende Bewegung durch eine rollende kleine Kugel
* [[Spannungsoptik]]

== Literatur ==

* [[Harro Heuser]]: ''Gewöhnliche Differentialgleichungen'', Teubner, März 2004, ISBN 3-519-32227-7
* [[Wolfgang Walter (Mathematiker)|Wolfgang Walter]]: ''Gewöhnliche Differentialgleichungen'', Springer, 2000, ISBN 3-540-67642-2

[[Kategorie:Theorie der Differentialgleichungen]]

Randwertproblem - Versionsgeschichte

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