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2026-03-14T09:37:18Z

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Die '''Randelementmethode''' (REM, englisch ''boundary element method'', ''BEM'', v. a. in der [[Elektrotechnik]] auch [[Momentenmethode (Elektrotechnik)|Momentenmethode]], englisch ''MoM'', ''method of moments'') ist ein [[Diskretisierung]]sverfahren zur Berechnung von [[Anfangswertproblem|Anfangs-]] und [[Randwertproblem]]en mit [[Partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichungen]] und ein [[Numerische Berechnung|numerisches Berechnungsverfahren]] in den [[Ingenieurwissenschaften]]. Als Vater der Randelementmethode wird [[Carl Friedrich Gauß]] genannt.

== Anwendungsbereiche ==
Die Randelementmethode lässt sich in vielen Gebieten anwenden, z. B. für
* elektrische Feldprobleme ([[Elektrostatik]]) und [[Elektromagnetismus]]
* thermische Feldprobleme (stationäre und [[transient]]e [[Wärmeleitung]])
* mechanische Feldprobleme (Elastomechanik), [[Festkörpermechanik]], [[Bruchmechanik]] und [[Plastizität (Physik)|Plastizität]]
* [[Akustik]] im Frequenz- und [[Zeitbereich]].
Im Bereich [[Numerische Strömungsmechanik]] (CFD) wird die Randelementmethode weniger oft verwendet.

Die REM hat sich etwa parallel mit der [[Finite-Elemente-Methode]] (FEM) entwickelt. Bei den meisten Fragestellungen ist jedoch die FEM weiter verbreitet, weil sie weniger Restriktionen bezüglich der Eigenschaften des zu beschreibenden Gebietes aufweist (im Falle der [[Elastizitätstheorie]] von [[Kontinuum (Physik)|Kontinua]] sind das z. B. kleine [[Verformung]]en/Verzerrungen und [[linear-elastisches Verhalten]]).

Weil die Randelementmethode für das Beispiel der [[Elastizität (Physik)|elastischen]] Kontinua auf den Green’schen Einflussfunktionen basiert, stellt sie gegenüber der FE-Methode eine verbesserte Lösung dar.

Die Randelementemethode kann sehr effizient und elegant mit der Methode der finiten Elemente gekoppelt werden (REM-FEM-Kopplung).

== Funktionsweise ==
Bei der Randelementmethode wird, im Gegensatz zur Finite-Elemente-Methode, nur der [[Rand (Topologie)|Rand]] bzw. die Oberfläche eines Gebietes oder einer Struktur diskretisiert betrachtet, nicht jedoch deren Fläche bzw. Volumen. Die unbekannten [[Zustandsgröße]]n befinden sich nur auf dem Rand.

Mit Hilfe von Sprungrelationen werden die partiellen Differentialgleichungen zu [[Integralgleichung]]en umgewandelt, welche die Eigenschaften des gesamten Gebietes abbilden. Diese Integralgleichungen werden dann mit einer Technik, die der FEM ähnelt, diskretisiert und numerisch gelöst. Die Randelementmethode nutzt die Zusammenhänge aus den [[Integralsatz|Integralsätzen]] nach [[Satz von Green|Green]], [[Gaußscher Integralsatz|Gauss]] und [[Satz von Stokes|Stokes]].

== Numerische Eigenschaften ==
Weil die Randelementmethode nur den Rand und nicht das Volumen eines Gebietes betrachtet, ist bei ihr die Anzahl der diskreten [[Stützstelle]]n (Knoten) und damit der [[Parameter (Mathematik)|Freiheitsgrade]] wesentlich niedriger als bei der FEM und auch als bei der [[Finite-Differenzen-Methode]] (FDM). Allerdings erhält man ein vollbesetztes, asymmetrisches [[lineares Gleichungssystem]], was die Wahl des Lösungsalgorithmus einschränkt bzw. erschwert und den Vorteil der geringeren [[Anzahl der Freiheitsgrade (Statistik)|Anzahl der Freiheitsgrade]] (teilweise) kompensiert.

Die REM wird daher vorteilhaft in Fällen eingesetzt, bei denen die FEM zu hohem numerischen Aufwand führt, beispielsweise:
* bei [[Halbraum]]-Kontaktproblemen, bei denen sich der Halbraum bis ins Unendliche erstreckt (z. B. ein elastisch gebettetes [[Fundament]])
* bei der Lösung von Differentialgleichungen auf Außengebieten. Ein eher akademisches Beispiel hierfür wäre die Lösung des [[Laplaceoperator]]s in einem Außengebiet; bei Verwendung der FEM zur Lösung dieses Problems müssten zusätzliche künstliche [[Randbedingungen]] eingeführt werden.

== Weblinks ==
*[https://www.boundary-element-method.com/ The Boundary Element Method]
*[https://www.sam.math.ethz.ch/betl Boundary Element Template Library]
*[http://www.olemiss.edu/sciencenet/benet/ Boundary Element Resources Network (Links zu Büchern, Programmen, Zeitschriften, Konferenzen)]
*[http://www.bembel.eu Bembel] Eine 3D, isogeometrische, higher-order, open-source BEM Software für Laplace, Helmholtz und Maxwell Probleme
*[http://www.bempp.org BEM++], Eine open-source BEM Software für 3D Laplace, Helmholtz und Maxwell Probleme
*[https://acousto.sourceforge.net/ AcouSTO] Acoustics Simulation TOol, open-source parallel BEM solver für Kirchhoff-Helmholtz Integral Equation (KHIE)

== Literatur ==
* L. C. Wrobel, M. H. Aliabadi: ''The Boundary Element Method'', April 2002, ISBN 0-470-84139-7
* [[Lothar Gaul|L. Gaul]] und C. Fiedler: ''Methode der Randelemente in Statik und Dynamik'', Vieweg ISBN 3528067810
* F. Hartmann: C. Katz: ''Structural Analysis with Finite Elements'', Springer-Verlag ISBN 3-540-40416-3
* C. Pozrikidis: ''A practical guide to boundary element methods with the software library'', BEMLIB, ISBN 1-58488-323-5
* W. McLean: ''Strongly Elliptic Systems and Boundary Integral Equations'', Cambridge University Press
* S. Sauter, C. Schwab: ''Randelementmethoden. Analyse, Numerik und Implementierung schneller Algorithmen'', Vieweg+Teubner

== Zeitschriften ==
* [http://www.elsevier.com/locate/enganabound Engineering Analysis with Boundary Elements], Elsevier {{ISSN|0955-7997}}

[[Kategorie:Numerische Mathematik]]

[[fr:Méthode des moments (analyse numérique)]]

Randelementmethode - Versionsgeschichte

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