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2025-02-22T16:45:16Z

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'''Randbedingungen''' (gelegentlich auch als '''Rahmenbedingungen''' bezeichnet) sind im Allgemeinen Umstände, die nur mit großem Aufwand oder gar nicht beeinflussbar sind oder sich aus der Problemstellung zwingend ergeben, und daher als gegebene Größen ([[Datenparameter]]) betrachtet werden müssen, beispielsweise bei wissenschaftlichen Versuchen oder bei mathematischen Berechnungen.

In vielen Fällen wird der Begriff Randbedingung auch als Synonym zu „[[Nebenbedingung]]“ verwendet.

== Randbedingungen und Differentialgleichungen ==
Im Bereich der [[Differentialgleichung]]en sind Randbedingungen konkrete Angaben zum Berechnen der Lösungsfunktion <math>u</math> auf einem [[Definitionsbereich]] <math>D</math>. Dazu werden die Werte der Funktion auf dem [[Rand (Topologie)|Rand]] (im [[Topologie (Mathematik)|topologischen Sinn]]) von <math>D</math> vorgegeben.

Im einfachsten Fall ist <math>D=(a,b)</math> ein Intervall, und die Randbedingungen sind vorgegebene [[Funktionswert]]e <math>u(a)=c_1;\;u(b)=c_2</math>.

Werden hier statt zwei Werten nur an einem [[Randpunkt]] des Intervalles – meistens <math>a</math> – Werte für <math>u</math> und zusätzlich für Ableitungen von <math>u</math> vorgegeben, so spricht man von einem [[Anfangswertproblem]] und nennt die vorgegebenen Werte seine [[Anfangsbedingung]]en.

[[Partielle Differentialgleichung]]en betrachtet man meistens auf [[Sobolew-Raum|Sobolew-Räumen]]. In diesen Räumen werden Funktionen, die bis auf [[Nullmenge]]n übereinstimmen, als gleich angesehen. Da der Rand eines Gebietes üblicherweise eine Nullmenge ist, ist der Begriff der Randbedingung problematisch. Lösungen für dieses Problem sind sobolewsche Einbettungssätze oder – allgemeiner – [[Spuroperator]]en.

[[Randwertproblem|Randwertaufgaben]] haben nicht immer eine Lösung (siehe Beispiel unten), im Falle ihrer Existenz ist die Lösung nicht in allen Fällen eindeutig. Die Berechnung einer Näherungslösung für eine Randwertaufgabe mit Mitteln der [[Numerische Mathematik|numerischen Mathematik]] ist oft aufwendig und läuft meist auf die Lösung sehr großer [[Lineares Gleichungssystem|Gleichungssystem]]e hinaus.

=== Beispiel ===
Sei die gegebene Differentialgleichung <math>y''(x)=-y(x)</math>. Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist <math>a\sin(x)+b\cos(x)</math>.

*Gesucht ist die Lösung mit <math>y(0)=1</math> und <math>y(\pi/2)=0</math> <math>\Rightarrow</math> Die Lösung ist <math>y=\cos(x)</math>.

*Periodische Randbedingung: Gesucht ist die Lösung mit <math>y(0)=0</math> und <math>y(\pi)=0</math> <math>\Rightarrow</math> Es gibt unendlich viele Lösungen der Form <math>a\sin(x)</math> mit beliebigem <math>a</math>.

*Gesucht ist die Lösung mit <math>y(0)=0</math> und <math>y(2\pi)=1</math> <math>\Rightarrow</math>Es gibt keine Lösung.

=== Arten von Randbedingungen ===
Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, auf dem Rand des betrachteten [[Gebiet (Mathematik)|Gebietes]] Werte vorzuschreiben:
* Werte der Lösung vorschreiben; im Fall einer auf dem [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>\left[a,b\right]</math> definierten [[gewöhnliche Differentialgleichung|gewöhnlichen Differentialgleichung]] schreibt man also <math>y(a)</math> und <math>y(b)</math> vor und spricht dann von ''[[Dirichlet-Randbedingung]]en''.
* Bedingungen an die [[Differentialrechnung #Ableitungsfunktion|Ableitungen]] stellen, also <math>y^\prime(a)</math> und <math>y^\prime(b)</math> vorgeben, dann spricht man von ''[[Neumann-Randbedingung]]en'' (bei gewöhnlichen Differentialgleichungen, wie oben ausgeführt, von Anfangsbedingungen).
* Ein Spezialfall sind [[periodische Randbedingung]]en, hier muss (im Beispiel einer auf dem Intervall <math>\left[a,b\right]</math> betrachteten gewöhnlichen Differentialgleichung) gelten: <math>y(a) = y(b)</math> bzw. <math>y^\prime(a) = y^\prime(b)</math>.

=== Künstliche Randbedingungen ===
Bei unbeschränkten Gebieten erfordert die numerische Lösung üblicherweise eine Einschränkung des Gebiets. Hier sind dann Randbedingungen vorzugeben, die im eigentlichen Problem nicht vorhanden, also künstlich sind.

== Wirtschaftswissenschaften ==
In der [[Betriebswirtschaftslehre]] und der [[Volkswirtschaftslehre]] entsprechen die Randbedingungen den kurzfristig oder gar nicht durch den [[Entscheidungsträger]] beeinflussbaren [[Datenparameter]]n wie beispielsweise die [[Umweltzustand|Umweltzustände]] der [[Witterung]] oder der [[Gesetz]]e.

== Weblinks ==
{{Wiktionary|Randbedingung}}

{{Normdaten|TYP=s|GND=4725397-6}}

[[Kategorie:Theorie der Differentialgleichungen]]

[[nl:Randvoorwaarde (wiskunde)]]

Randbedingung - Versionsgeschichte

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