imported>Christian1985: /* Beispiele */

2026-03-17T20:42:22Z

Beispiele

Neue Seite

Das '''Radonmaß''' oder '''Radon-Maß''' ist ein Begriff aus dem [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet der [[Maßtheorie]]. Es handelt sich um ein spezielles [[Maß (Mathematik)|Maß]] auf der [[Borelsche σ-Algebra|Borelschen σ-Algebra]] eines [[Hausdorff-Raum]]s mit bestimmten Regularitätseigenschaften. Der Begriff wird in der Fachliteratur jedoch nicht einheitlich verwendet. Die in diesem Artikel präferierte Definition ist (laut [[Jürgen Elstrodt]]) „besonders vorteilhaft für die Behandlung des [[Darstellungssatz von Riesz-Markow|Darstellungssatzes von Riesz]]“.<ref>Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 7. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17904-4, S. vii.</ref> Benannt sind die Radonmaße nach dem Mathematiker [[Johann Radon]].<ref>{{Literatur |Autor= |Hrsg=Guido Walz |Titel=Radon, Johann Karl August |Sammelwerk=Lexikon der Mathematik |Auflage=1 |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Mannheim/Heidelberg |Datum=2000 |ISBN=3-8274-0439-8}}</ref>

== Definition ==
Eine Definition (von [[Laurent Schwartz]]<ref>[[Laurent Schwartz]]: ''Radon measures on arbitrary topological spaces and cylindrical measures'' (= ''Studies in Mathematics.'' Bd. 6). Oxford University Press, London 1973, ISBN 0-19-560516-0.</ref> und [[Jürgen Elstrodt]]<ref>Elstrodt: ''Maß- und Integrationstheorie.'' 2009, S. 313.</ref>) lautet:
: Sei <math>(X,\tau)</math> ein [[topologischer Raum]], der [[Hausdorff-Raum|hausdorff]] ist. Ein ''Radonmaß'' <math>\mu</math> auf <math>X</math> ist ein Maß auf der [[Borelsche σ-Algebra|Borelschen σ-Algebra]] <math>\mathcal{B}(X)</math>, das [[Lokal endliches Maß|lokal endlich]] und [[Reguläres Maß|von innen regulär]] ist.

Lokal-endlich bedeutet: Für jedes <math>x \in X</math> existiert eine [[Offene Umgebung|Umgebung]] <math>U</math> mit <math>\mu(U) < \infty</math>.

Von innen regulär bedeutet:
:<math>\mu(A)=\sup \{ \mu(K) \mid K\subset A,\ K\ \textrm{kompakt} \}</math>
für alle <math>A\in\mathcal{B}(X)</math>.

== Weitere Bedeutungen ==
Teilweise wird zusätzlich zur obigen Definition noch gefordert, dass das Maß endlich sein soll.

Manche Autoren verwenden den Begriff "Radon-Maß" für ein Borel-Maß, bei dem jede kompakte Menge [[endliches Maß]] hat.<ref>{{MathWorld
| id = RadonMeasure
| title = Radon Measure
| author =
}}</ref> Dabei bezeichnen sie ein Maß als Borel-Maß, wenn es auf der Borelschen σ-Algebra eines topologischen Raumes definiert ist. Für einen lokal kompakten Hausdorff-Raum ist dieses Radon-Maß dann [[Lokal endliches Maß|lokal endlich]] und entspricht somit in diesem Sonderfall einem Borel-Maß (im Sinne eines lokal endlichen Maßes auf der Borelschen σ-Algebra eines Hausdorff-Raumes).

Im Englischen werden lokal endliche Maße auf der Borelschen σ-Algebra eines Hausdorff-Raumes, die von innen regulär sind (also Radon-Maße im Sinne der hier gegebenen Definition) als ''tight measures'' bezeichnet<ref>{{EoM
| Autor =
| Titel = Tight measure
| Url = https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Tight_measure
| id =
}}</ref>. Sie entsprechen dann aber nicht den [[Straffes Maß|straffen Maßen]], wie sie im deutschen Sprachraum gebräuchlich sind.

Soweit nicht explizit anders erwähnt, behandelt dieser Artikel die Eigenschaften von Radon-Maßen im Sinne der oben gegebenen Definition.

== Beispiele ==
Beispiele für Maße mit dieser Regularitätseigenschaft sind:
* Die [[Lebesgue-Stieltjes-Maß]]e auf den Borel-Mengen des <math>\mathbb R^n</math> sind genau die Radonmaße.
* Das [[Haar-Maß]] auf [[Lokalkompakter Raum|lokalkompakten]] hausdorffschen [[Topologische Gruppe|topologischen Gruppen]].

Zu dem Begriff des Radonmaßes kommt man in natürlicher Weise, wenn man [[Positives Funktional|positive]] <math>\textstyle \left(f\ge 0 \Rightarrow \int f \ge 0 \right)</math> lineare [[Funktional]]e „<math>\textstyle \int</math>“ (sogenannte [[Radon-Integral]]e) auf <math>C_c(X)</math> (den [[Stetige Funktion mit kompaktem Träger|stetigen, reellwertigen Funktionen mit kompaktem Träger]]) auf einem lokalkompakten Hausdorff-Raum untersucht.
In solchen lokalkompakten Räumen ist die Eigenschaft der Lokal-Endlichkeit eines Maßes äquivalent zu Endlichkeit des Maßes auf kompakten Mengen (siehe [[Borelmaß]]).

== Eigenschaften ==
* Auf <math>\mathbb R^n</math> ist jedes lokal endliche Borelmaß ein Radonmaß.<ref>{{Literatur|Autor=Lawrence C. Evans und Ronald F. Gariepy|Titel=Measure Theory and Fine Properties of Functions|Datum=2015|ISBN=978-1-4822-4238-6|Auflage=überarbeitete|Verlag=Boca Raton, FL: CRC Press|Kommentar=Die hier verwendeten Definitionen weichen von den Definitionen dieses Buches stark ab. Nach Definitionen 1.1, 1.6 und 1.9 definieren die Autoren den Begriff Radonmaß als lokal endliches Borelmaß. Nach Theorem 1.8 hat ein Radonmaß im Sinne dieses Buches die Eigenschaften, von innen und außen regulär zu sein.}}</ref>
* Sei <math>X</math> ein [[polnischer Raum]], <math>\mathcal{M}_1(X)</math> der Raum der [[Borelmaß|Borel-Wahrscheinlichkeitsmaße]] über <math>X</math> und <math>\mu\in\mathcal{M}_1(X)</math>. Dann ist <math>\mu</math> ein Radonmaß.<ref>{{Literatur|Autor=Gopinath Kallianpur und Jie Xiong|Titel=Stochastic differential equations in infinite-dimensional spaces: Chapter 2. Probability measures|Datum=1995|Seiten=54|DOI=10.1214/lnms/1215451870|Online=https://projecteuclid.org/ebooks/institute-of-mathematical-statistics-lecture-notes-monograph-series/Stochastic-differential-equations-in-infinite-dimensional-spaces/Chapter/Chapter-2-Probability-measures/10.1214/lnms/1215451870?tab=ChapterArticleLink}}</ref>
* Sei <math>G</math> eine hausdorffsche topologische Gruppe, wenn darauf ein nicht-triviales linksinvariantes Radon-Maß <math>\mu</math> existiert, dann ist <math>G</math> lokalkompakt.<ref>{{Literatur |Autor=Chandra Gowrisankaran |Titel=Radon Measures on Groups |Sammelwerk=Proceedings of the American Mathematical Society 25 |Nummer=2 |Datum=1970 |Seiten=381–84 |DOI=10.2307/2037226}}</ref>

== Literatur ==
*{{Literatur |Autor=[[Jürgen Elstrodt]] |Titel=Maß- und Integrationstheorie |Auflage=6., korrigierte |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin Heidelberg |Datum=2009 |ISBN=978-3-540-89727-9 |DOI=10.1007/978-3-540-89728-6}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Radonmass}}
[[Kategorie:Maß (Mathematik)]]

Radonmaß - Versionsgeschichte

imported>Christian1985: /* Beispiele */