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2026-04-13T03:40:41Z

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[[Datei:Rademacherfunktionen.png|mini|Die ersten drei Rademacherfunktionen]]
Die '''Rademacherfunktionen''', benannt nach [[Hans Rademacher]], sind für jede [[natürliche Zahl]] <math>n</math> auf dem (halboffenen) [[Intervall (Mathematik)#Bezeichnungs- und Schreibweisen|Einheitsintervall]] [0,1) definierte Funktionen, die nur die Werte −1 und 1 annehmen.

== Definition ==
Die <math>n</math>-te Rademacherfunktion wird definiert durch:
:<math>r_n(t) := (-1)^k\,</math>, falls <math>\frac{k}{2^n} \leq t < \frac{k+1}{2^n}</math> gilt (für ein <math>k</math> mit <math>0 \leq k < 2^n-1</math>).

Alternativ kann man die <math>n</math>-te Rademacherfunktion durch
:<math>r_n(t) := \sgn\big(\sin\big( 2^n \pi t \big)\big)</math>

definieren. Diese Definition ist äquivalent zur ersten Definition für alle Zahlen <math>t</math>, die nicht von der Form <math>k/2^n\,</math> sind. Wenn <math>t</math> diese Form hat, so ist <math>\sin\left( 2^n \pi t \right)=0</math> und daher verschwindet auch das [[Vorzeichenfunktion|Vorzeichen]] (sgn). Der Unterschied betrifft jedoch für jedes <math>n</math> nur endlich viele <math>t</math> und spielt daher z. B. in Funktionenräumen wie <math>L^2([0,1])</math> keine Rolle (da hier die Funktionen auf [[Nullmenge]]n beliebig verändert werden können).

In der Literatur werden gelegentlich die Rademacherfunktionenen auch außerhalb des Basisintervalls periodisch fortgesetzt und die Definition der Rademacherfunktionen erfolgt mit Bezug zu den [[Walsh-Funktion#Walsh-Kaczmarz-Funktionen|Walsh-Kaczmarz-Funktionen]] „Walsh-Sinus“ <math>\operatorname{sir}</math> und „Walsh-Cosinus“ <math>\operatorname{cor}</math> als:<ref>{{Literatur |Autor=Eugen Gauß |Titel=Walsh-Funktionen für Ingenieure und Naturwissenschaftler |Verlag=Teubner |Ort=Stuttgart |Datum=1994 |ISBN=3-519-02099-8 |Kommentar=Kapitel 3.1}}</ref>

:<math> \operatorname{sir}(x) := (-1)^{\lfloor 2x \rfloor} = \operatorname{sign}(\sin (2\pi x))</math>
:<math> \operatorname{cor}(x) := (-1)^{\lfloor 2x + \frac{1}{2}\rfloor} = \operatorname{sign}(\cos (2\pi x))</math>

Die Rademacherfunktionen sind dann in diesem Zusammenhang als Paar definiert als:
:<math>\operatorname{sir}(2^n x)</math>
:<math>\operatorname{cor}(2^n x)</math>

Mit obiger Festlegung lassen sich leichter Beziehungen aufstellen – ähnlich wie bei den trigonometrischen Funktionen – wie beispielsweise:

:<math>\operatorname{sir}(x) \operatorname{cor}(x) = \operatorname{sir}(2x)</math>

== Beispiele ==
Für die Funktion <math>r_1(t)\,</math> gilt also:
:<math>r_1(t) =
\begin{cases}
1 \quad & 0 \leq t < 1/2,\\
-1 & 1/2 \leq t < 1,
\end{cases}</math>

und für die Funktion <math>r_2(t)\,</math>:
:<math>r_2(t) = \begin{cases}
1 \quad & 0 \leq t < 1/4,\\
-1 & 1/4 \leq t < 1/2,\\
1 \quad & 1/2 \leq t < 3/4,\\
-1 & 3/4 \leq t < 1.\\
\end{cases}</math>

Allgemein ordnet die <math>n</math>-te Rademacher-Funktion einer Zahl <math>t</math> im Einheitsintervall eine −1 zu, wenn die <math>n</math>-te Ziffer in der [[Binärdarstellung]] von <math>t</math> eine 1 ist, und eine 1, falls diese Ziffer 0 ist.<ref>Diese Beschreibung ist allerdings mehrdeutig für Zahlen der Form <math>t=k/2^n</math> (die auch ''dyadische Rationalzahlen'' genannt werden). Diese Zahlen haben zwei Binärdarstellungen (Bsp.: 1/2 = 0,1<sub>2</sub> = 0,0111…<sub>2</sub>).</ref> Zum Beispiel gilt
: <math>r_1(0{,}375) = r_1(0{,} {\color{red}0} 11_2)=1</math>
und
: <math>r_2(0{,}375) = r_2(0,0 {\color{red} 1} 1_2) =-1</math>.

== Rademachersystem ==
Die Rademacherfunktionen bilden ein [[Orthonormalsystem]] des Raums der [[Quadratintegrierbar|quadratintegrierbaren Funktionen]] <math>L^2([0,1])</math>. Das heißt, es gilt
:<math>\int_0^1 r_n(x) r_m(x) \mathrm{d} x = \delta_{mn}</math>,

wobei <math>\delta_{mn}</math> das [[Kronecker-Delta]] ist. Dieses Orthonormalsystem trägt den Namen Rademachersystem, es ist jedoch keine [[Orthonormalbasis]] von <math>L^2([0,1])</math>.

== Normale Zahlen ==
Die Zahl <math>t \in [0,1)</math> heißt ''einfach normal zur Basis 2'' (siehe auch [[normale Zahl]]), wenn die beiden Ziffern 0 und 1 in ihrer Binärdarstellung gleich häufig vorkommen. Die Tatsache, dass fast alle Zahlen einfach normal sind, kann man mit Hilfe
der Rademacherfunktionen so beschreiben:

Es gilt für fast alle <math>t</math> in <math>[0,1)</math>
:<math>\lim_{n \to \infty}\frac{r_1(t) + \cdots + r_n(t)}{n}=0.</math>

Interpretiert man die Binärdarstellung jeder der Zahlen im Einheitsintervall als unendliche Folge von Münzwürfen ([[Bernoulli-Prozess]] mit <math>p = 1/2</math>), so ist das gerade die Aussage des [[Starkes Gesetz der großen Zahlen|starken Gesetzes der großen Zahlen]].

== Chintschin-Ungleichung ==
{{Hauptartikel|Chintschin-Ungleichung}}
Eine einfache Version dieser Ungleichung, die nach [[Alexander Jakowlewitsch Chintschin]] benannt ist und in der die Rademacherfunktionen <math>r_n(t)\,</math> vorkommen, lautet wie folgt.<ref>{{Internetquelle |autor=Peter Karlhuber-Vöckl |url=http://www.jku.at/analysis/content/e83758/employee_groups_wiss83763/employees83765/subdocs166640/content170250/Karlhuber_ger.pdf |titel=Orthonormale Systeme, Singuläre Integrale und Fastdiagonale Matrizen |titelerg=Diplom-Arbeit |werk=Universität Linz |datum=2004-10 |format=PDF; 1,2 MB |archiv-url=https://web.archive.org/web/20160305074535/http://www.jku.at/analysis/content/e83758/employee_groups_wiss83763/employees83765/subdocs166640/content170250/Karlhuber_ger.pdf |archiv-datum=2016-03-05 |abruf=2026-04-13 |abruf-verborgen=1 |kommentar=S. 9}}</ref>

Ist <math>(a_n)_n</math> eine Folge reeller Zahlen, so gilt für jede natürliche Zahl <math>N</math>
:<math>\int_0^1\left|\sum_{n=1}^N a_n r_n(t)\right|\mathrm{d}t \ge \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sum_{n=1}^N a_n^2\right)^{1/2}.</math>

== Rademacher-Mittelung ==
Sind <math>E</math> und <math>F</math> Vektorräume, so können die Rademacherfunktionen eingesetzt werden, um alternative Darstellungen von Elementen aus dem [[Tensorprodukt]] <math>E \otimes F</math> zu finden. Es gilt für alle <math>x_1,\ldots,x_n \in E</math> und <math>y_1,\ldots, y_n \in F</math>:
:<math>\sum_{i=1}^n x_i \otimes y_i = \int_0^1 \left( \sum_{i=1}^n r_i(t) x_i \right) \otimes \left( \sum_{i=1}^n r_i(t) y_i \right) \,\mathrm{d}t</math>.
Diese Formel nennt man Rademacher-Mittelung. Sie kann verwendet werden, um Normen des [[Projektives Tensorprodukt|projektiven Tensorproduktes]] [[Normierter Raum|normierter Räume]] abzuschätzen.<ref>Raymond A. Ryan: ''Introduction to Tensor Products of Banach Spaces'', Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Lemma 2.22: ''Rademacher averaging''</ref>

== Siehe auch ==
* [[Haar-Wavelet]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Hans Rademacher
|Titel=Einige Sätze über Reihen von allgemeinen Orthogonalfunktionen
|Sammelwerk=Mathematische Annalen
|Band=87
|Nummer=1/2
|Datum=1922
|ISSN=0025-5831
|Seiten=112–138
|Online=https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0087}}
* {{Literatur
|Autor=[[Mark Kac]]
|Hrsg=Mathematical Association of America
|Titel=Statistical independence in probability, analysis and number theory
|Reihe=The Carus Mathematical Monographs
|BandReihe=12
|Ort=Ithaca NY
|Datum=1959
|ISBN=0-88385-012-5
|Kommentar=Kapitel 1 und 2: Anwendung auf [[Münzwurf]]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Stefan Kaczmarz]], [[Hugo Steinhaus]]
|Titel=Theorie der Orthogonalreihen
|Reihe=Monografie Matematyczne
|BandReihe=6
|ISSN=0077-0507
|Verlag=Z Subwencji Funduszu Kultury Narodowej
|Ort=Warszawa u. a.
|Datum=1935
|Kommentar=Insbesondere Kapitel 4
|Online=[http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=6&wyd=10&jez=pl matwbn.icm.edu.pl]}}
* [[Donald E. Knuth]]: ''The Art of Computer Programming.'' Volume 4, A: ''Combinatorial algorithms.'' Part 1. Addison-Wesley, Upper Saddle River NJ u. a. 2011, ISBN 978-0-201-03804-0, besonders S. 287–288.

== Weblinks ==
* {{MathWorld|id=SquareWave|title=Square Wave}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mathematische Funktion]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Rademacherfunktionen - Versionsgeschichte

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