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Mit der '''Radargleichung''' (oder ''Radargrundgleichung'') kann die vom Empfänger registrierte Leistung in Abhängigkeit von der Sendeleistung, der Entfernung und den Eigenschaften des reflektierenden Objektes ermittelt werden. Damit kann abgeschätzt werden, ob unter den gegebenen Umständen das Objekt im Empfänger ein ausreichend starkes Signal erzeugt, sodass es erkannt werden kann.<ref name="Handbook">Radar Handbook Merrill I. Skolnik, [https://books.google.ca/books?id=76uF2Xebm-gC books.google.ca] 22. Januar 2008, McGraw-Hill-Verlag, ISBN 978-0-07-148547-0, Kapitel 1.4</ref>
Aufgrund der unterschiedlichen Reflexionsbedingungen bei Punktzielen (Luftraumaufklärung) und bei Volumenzielen (Wetterradar) werden für diese beiden Fälle unterschiedliche Radargleichungen formuliert. Generell wird die Radargleichung aus dem [[Abstandsgesetz]] abgeleitet und gilt wie dieses nur für ungehinderte Abstrahlungen in den freien Raum.

== Allgemeiner Überblick ==
[[Datei:Inverse square law.svg|mini|Illustration des Abstandsgesetzes für Energiegrößen]]

Von wenigen Sonderfällen abgesehen ist bei Radaranwendungen das Verhältnis von Entfernung zu Wellenlänge so groß, dass die Sendeantenne – unabhängig von ihrer Abmessung – als mathematischer Punkt betrachtet werden kann. Deshalb verteilt sich die Energie wie bei einer [[Abstandsgesetz|Kugelwelle]] auf immer größere Flächen. Für die Ermittlung der reflektierten Energie muss deshalb unterschieden werden:

* Bei einem „Punktziel“ (z. B. ein Flugzeug) ist die [[Antennenwirkfläche|Absorptionsfläche]] konstant; deshalb nimmt die empfangene Energie, als Funktion der Entfernung r mit 1/r² ab. Ein Teil davon wird (passiv) zum Radargerät zurückgestrahlt, wobei auch die rückgestrahlte Energie wieder mit 1/r² abnimmt; die Empfangsantenne ist ja ebenfalls ein Punktziel. Insgesamt muss man beide Faktoren multiplizieren und es gilt somit ein 1/r4-Zusammenhang.
* Bei sehr großen flächigen Zielen wie beispielsweise (nicht zu weit entfernten) Wolken vergrößert sich auch das angestrahlte Volumen mit dem Faktor r². Das heißt, die ''gesamte'' von der Wolke empfangene Energie ist konstant. Ein gewisser, vom Reflexionsfaktor des Objekts abhängiger Bruchteil davon wird zurückgestrahlt. Nur für diesen ''Rückweg'' gilt die 1/r²-Abhängigkeit der Energie, so dass auch insgesamt nur ein 1/r²-Zusammenhang gilt.
Interessanterweise gilt diese Vergrößerung nur für ein halb-transparentes Volumen – nicht für eine spiegelnde Fläche. Bei dieser Fläche würde sich die reflektierte Energie über die Zeit verteilen, da die Laufzeit mittig zu dieser Fläche kürzer ist als bis zum Rand der Fläche. Dieses Problem führt bei [[Radarhöhenmesser#Radaraltimetry|Radaraltimetern]] ebenfalls zu einer wesentlichen zeitlichen Verformung des Echoimpulses auf bis zur Vervielfachung der Dauer des Sendeimpulses.
* Mit steigender Entfernung der Wolken füllen diese jedoch einen immer kleineren Anteil der Strahlungskeule aus, denn ein wachsender Teil der gesendeten Energie trifft die Wolke nicht mehr. Dann gilt keiner der beiden vorhergehenden Punkte; es ergibt sich in diesem Fall ein Übergang von einem Abschnitt mit 1/r²- zu einem Abschnitt mit 1/r4-Zusammenhang.

Die Radargleichung gilt nur für Primärradar. Ein [[Sekundärradar]] nutzt nicht die ''passive'' Reflexion von Funkwellen. Es besteht vielmehr aus einer bidirektionalen Funkverbindung. Die Empfangsleistung verringert sich in der Entfernung nach einer 1/r²-Abhängigkeit durch das einfache [[Abstandsgesetz]]. Wenn der Transponder antwortet, so ist seine Sendeleistung nicht abhängig von der empfangenen Leistung. Somit gilt für den Rückweg separat eine 1/r²-Abhängigkeit.

== Radargleichung für ein Punktziel ==

Punktziele werden reflektierende Objekte genannt, die das [[Impulsvolumen]] eines Radars nicht vollständig ausfüllen, das heißt, dass ihre geometrische Ausdehnung sehr viel kleiner als das Produkt aus Ausbreitungsgeschwindigkeit und Sendeimpulslänge (''c''0·''τ''), sowie sehr viel kleiner als die Breite des Antennendiagramms am Ort der Reflexion sind. Diese Bedingungen liegen zum Beispiel bei [[Luftraumüberwachung|Luftraumaufklärungs]]- und [[Zielverfolgungsradar]] vor.

:{| class=toptextcells
|<math>P_{\text{r}} = P_{\text{t}}{{G_{\text{t}} G_{\text{r}} \lambda^2 \sigma}\over{{(4\pi)}^3 R_{\text{t}}^2R_{\text{r}}^2}}</math>
| style="padding-left:4em;"|Hierbei bedeutet:
| style="padding-left:1em;"|
:<math>P_{\text{r}}</math>: Empfangsleistung
:<math>P_{\text{t}}</math>: Sendeleistung
:<math>G_{\text{t}}</math>: [[Antennengewinn]] der Sendeantenne
:<math>G_{\text{r}}</math>: Antennengewinn der Empfangsantenne
:<math>\lambda </math>: [[Wellenlänge]] der Trägerfrequenz
:<math>\sigma </math>: [[effektive Reflexionsfläche]] (RCS), ''σ''0 = kugelförmig streuende Referenzfläche von 1 m2
:<math>R_{\text{t}}</math>: Entfernung Sendeantenne – reflektierendes Objekt
:<math>R_{\text{r}}</math>: Entfernung reflektierendes Objekt – Empfangsantenne
|}

Die Gleichung setzt voraus, dass die Entfernung zwischen Objekt und Sender deutlich größer als die Wellenlänge des Radars ist. Das heißt, das Objekt muss sich im [[Nahfeld und Fernfeld (Antennen)|Fernfeld]] des Senders befinden. Weiterhin wird durch das Leistungsverhältnis vorausgesetzt, dass die Dauer des Sendeimpulses etwa der Dauer des Echosignals in der Signalverarbeitung entspricht, dass also kein [[Pulskompressionsverfahren]] angewendet wird.

Durch Umstellung der obigen Gleichung nach der Entfernung erhält man eine Form der Radargleichung, die oft in der Praxis verwendet wird, um die betriebliche Leistungsfähigkeit von Radaranlagen zu beurteilen:

:<math>R_\text{max} = \sqrt[4]{\frac{P_{\text{t}} \cdot G^2 \cdot \lambda^2 \cdot \sigma}{P_{\text{r}_\text{min}} \cdot(4\pi)^3 \cdot L_\text{ges}}}</math>

Hier wurden der Antennengewinn im Sendefall und Empfangsfall zu ''G''2 zusammengefasst: das ist möglich, wenn eine monostatische Radarantenne (''R''t ≡ ''R''r) im Sendemoment das gleiche [[Antennendiagramm]] formt, wie während der Empfangszeit (''G''t = ''G''r). Die maximale Reichweite ''R''max richtet sich dann nach der [[Empfängerempfindlichkeit]] ''P''r,min. Für die praktische Anwendung fließen noch diverse interne und externe Verluste als ''L''ges mit ein.

== Radargleichung für ein Volumenziel ==
Die Radargleichung für Volumenziele (sprich: für Wetterradar) nutzt radarseitig die gleichen Parameter und Zusammenhänge. Wesentlicher Unterschied sind jedoch die charakteristischen Eigenschaften der Reflexionsfläche, die sich zusätzlich mit zunehmender Entfernung zum Radar ändern.
Bei einem Regen ist jeder einzelne Regentropfen sehr viel kleiner als die Wellenlänge des Radargerätes. Deshalb wird die effektive Rückstrahlfläche eines Regentropfens durch die [[Rayleigh-Streuung]] bestimmt:

:<math>\sigma_i = \frac {\pi^5}{\lambda^4} |K|^2D_i^6</math>mit:<math>|K|^2=\left|\frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon + 2}\right|^2</math>

mit D als den Regentropfendurchmesser und ε als dielektrische Konstante. Für die bei Radargeräten üblichen [[Frequenzband|Frequenzbänder]] L bis X hat Wasser den Faktor |''K''|2= 0,93 und für Eis gilt |''K''|2= 0,2.

Bei einem Volumenziel wird das Impulsvolumen nun vollständig durch diese reflektierenden Objekte ausgefüllt. Die Summe dieser reflektierenden Fläche wird mit der temporären Variablen ''η'' bezeichnet:

:<math>\eta = \frac {\pi^5}{\lambda^4} |K|^2Z</math>mit:<math>Z=\sum_{i=1}^N D_i^6</math>

Das Impulsvolumen ''V'' vergrößert sich durch die [[Divergenz]] des Antennenstrahls mit der Entfernung zum Radar:

:{| class=toptextcells
| <math>V = \frac {\pi \phi \theta R^2 c_0 \tau }{8}</math>
|style="padding-left:4em;"| Hierbei bedeuten:
|style="padding-left:1em;"|
:<math>\phi </math>: vertikaler Öffnungswinkel des Antennendiagramms
:<math>\theta</math>: horizontaler Öffnungswinkel
:<math>R </math>: Entfernung zum Radar
:<math>\tau </math>: Sendeimpulsdauer
:<math>c_0 </math>: Lichtgeschwindigkeit
|}

Die internen Parameter des Radars sowie partiell die [[Freiraumdämpfung]] werden für meteorologische Belange in einem Faktor ''C'' zusammengefasst, der als:

:<math>C = \frac {P_t \tau G^2\theta^2 c_0\pi^3}{512(2\ln2)\lambda^2}</math>

weiterverwendet wird. Hierbei wurde schon berücksichtigt, dass die meisten Wetterradargeräte eine symmetrische Diagrammform mit ''φ=θ'' verwenden und deshalb ''φ·θ=θ''2 ist. Das führt zu einer stark vereinfachten Form der Radargleichung für Volumenziele, wie sie in der Meteorologie genutzt wird:

:<math>P_r = \left [ \frac C {R^2} \right] \left[ |K|^2 \sum D_i^6 \right]</math>

Mit dieser Gleichung kann nun aus der gemessenen Empfangsleistung direkt auf die [[Reflektivität]] geschlossen werden. Diese ist ein Maß für Art und Anzahl der reflektierenden Objekte, wobei dieser Schluss noch nicht eindeutig ist: Viele kleine Wassertröpfchen ergeben die gleiche Reflektivität wie wenige große. Um diese Mehrdeutigkeiten teilweise aufzulösen, wird [[polarimetrisches Radar]] genutzt und eine [[Reflektivität (Radar)#Differentielle Reflektivität|differentielle Reflektivität]] gemessen.

== Literatur ==
* R. J. Doviak, D. S. Zrnic: ''Doppler Radar and Weather Observations'', Academic Press. Second Edition, [[San Diego]] Cal. ISBN 978-0-12-221420-2, Seite 562, 1993.
* J. R. Probert-Jones: ''The radar equation in meteorology'', [[Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society]], 1962, Band 88, Ausgabe 378, Seiten 485–495.

== Weblinks ==
* [https://www.radartutorial.eu/01.basics/Die%20Radargleichung.de.html Radartutorial] (Herleitung der Radargrundgleichung für ein Punktziel)
* [http://www.radartutorial.eu/15.weather/wx05.de.html Radartutorial] (Herleitung der Radargleichung für ein Volumenziel)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Radar]]

[[en:Radar#Radar equation]]

Radargleichung - Versionsgeschichte

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