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2024-08-15T17:07:43Z

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{{SEITENTITEL:R0-Raum}}
In der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] und verwandten Gebieten der [[Mathematik]] sind '''R0-Räume''' spezielle topologische Räume, die gewisse angenehme Eigenschaften besitzen. Die Eigenschaft, ein R0 zu sein, wird zu den sogenannten [[Trennungsaxiom]]en gezählt.

== Definition ==
Gegeben seien ein [[topologischer Raum]] ''X'' und zwei Punkte ''x'' und ''y'' in ''X''. Man sagt, dass ''x'' und ''y'' getrennt sind oder getrennt werden können, wenn ''x'' und ''y'' jeweils in einer [[offene Menge|offenen Menge]] liegen, die den anderen Punkt nicht enthält. Weiter heißen ''x'' und ''y'' [[Kolmogoroff-Raum|topologisch unterscheidbar]], falls eine offene Menge existiert, die genau einen der beiden Punkte enthält.

''X'' heißt R0-Raum, falls zwei beliebige topologisch unterscheidbare Punkte getrennt sind. Ein R0-Raum wird auch '''symmetrischer Raum''' genannt.

== Eigenschaften ==
Sei ''X'' ein topologischer Raum. Folgende Aussagen sind äquivalent:
*''X'' ist ein R0-Raum.
*Für jedes ''x'' in ''X'' enthält der [[Abgeschlossene Hülle|Abschluss]] von {''x''} nur die Punkte, die von ''x'' topologisch nicht unterscheidbar sind.
*Jeder [[Elementarfilter]] zu ''x'' konvergiert nur gegen Punkte, die von ''x'' topologisch nicht unterscheidbar sind.
*Der [[Kolmogoroff-Raum|Kolmogoroff-Quotient]] KQ(''X'') ist ein T1-Raum.

In topologischen Räumen gilt immer folgende Implikation
:getrennt ⇒ topologisch unterscheidbar
Falls diese umgekehrt werden kann, handelt es sich um einen R0-Raum.

Ist ''X'' ein R0-Raum, so gilt dies auch für jeden [[Teilraumtopologie|Teilraum]].

Ist (''Xi'') eine Familie von R0-Räumen, so ist auch deren [[Produkttopologie|Produktraum]] ein R0-Raum und umgekehrt.

== Beispiele ==
* <math>\mathbb{Z}</math> sei die Menge der [[ganze Zahlen|ganzen Zahlen]]. Für <math>x \in \mathbb{Z}</math> sei <math>G_x</math> definiert durch <math>G_x = X \setminus \{x,x+1\}</math> für gerades <math>x</math> und <math>G_x = X \setminus \{x-1,x\}</math> für ungerades <math>x</math>. Durchläuft <math>A</math> die endlichen Teilmengen von <math>\mathbb{Z}</math>, so bilden die Mengen <math>U_A = \cap_{x\in A} G_x</math> eine [[Basis (Topologie)|Basis]] einer Topologie. Wir erhalten einen R0-Raum, der kein [[Kolmogoroff-Raum]] (für ein gerades <math>x</math> sind <math>x</math> und <math>x+1</math> topologisch nicht unterscheidbar) und somit auch kein [[T1-Raum|T1-Raum]] ist.

* Ist <math>(X,d)</math> ein [[Pseudometrik|pseudometrischer]] Raum, so ist dieser in Bezug auf die von der Metrik <math>d</math> induzierte Topologie ein R0-Raum. Für die von einem Punkt <math>x \in X</math> topologisch nicht unterscheidbaren Punkte <math>y \in X</math> gilt gerade <math>d(x,y) = 0</math>.

{{Navigationsleiste Topologie}}

[[Kategorie:Trennbarkeit]]
[[Kategorie:Topologischer Raum]]

R0-Raum - Versionsgeschichte

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