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2026-02-19T14:45:10Z

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Die '''Quotientenregel''' ist eine grundlegende [[Differentialrechnung|Ableitungsregel]]. Mit ihr wird die [[Differentialrechnung#Ableitungsberechnung|Ableitung]] eines [[Produkt (Mathematik)|Quotienten]] von [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] aus den Ableitungen der einzelnen Funktionen berechnet. In Kurzschreibweise lautet sie
: <math>\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}</math>.

== Aussage ==
Sind die Funktionen <math>u(x)</math> und <math>v(x)</math> von einem [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>D</math> in die [[Reelle Zahl|reellen]] oder [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] an einer Stelle <math>x_0 \in D</math> mit <math>v(x_0)\neq 0</math> differenzierbar, dann ist auch die Funktion <math>f</math> mit

: <math> f(x) := \frac{u(x)}{v(x)}</math>

an der Stelle <math>x_0</math> differenzierbar und es gilt

: <math>f'(x_0) = \frac{u'(x_0)\cdot v(x_0) - u(x_0)\cdot v'(x_0)}{(v(x_0))^2}</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Forster, Lindemann |Titel=Analysis 1 |Verlag=Springer Spektrum |Datum=2023 |Seiten=235}}</ref>

== Beispiele ==
* Die Funktion <math>f(x) = \frac{x^2 - 1}{2 - 3 x}</math> ist Quotient der Funktionen
::<math> u(x) = x^2 - 1 \quad</math>und <math> \quad v(x) = 2-3x</math>,
:welche differenzierbar sind mit
::<math>u'(x) = 2x \quad</math> und <math>\quad v'(x)=-3</math>.
:Für <math display="inline">x \neq 2/3</math> erhält man durch Anwendung der Quotientenregel
:: <math>f'(x) = \frac{2 x \cdot (2 - 3 x) - (x^2 - 1) \cdot (-3)}{(2 - 3 x)^2} = \frac{-3 \cdot x^2 + 4 \cdot x - 3}{(2 - 3 x)^2}</math>.
* Die [[Differentialrechnung#Ableitungsberechnung|Ableitung]] des [[Tangens und Kotangens|Tangens]] kann bestimmt werden, wenn die Ableitung von [[Sinus und Kosinus#Ableitung|Sinus und Kosinus]] bekannt ist. Aus der Beziehung <math>\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}</math> folgt für alle <math>\cos(x)\neq 0</math> mit der Quotientenregel
:: <math>\tan'(x) = \frac{\cos(x) \cdot \cos(x) - \sin(x) \cdot (-\sin(x))}{(\cos(x))^2}
= \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}
= \frac{1}{\cos^2(x)} </math>.

== Herleitung ==
Wenn <math>x</math> um <math>\Delta x</math> anwächst, ändert sich <math>u</math> um <math>\Delta u</math> und <math>v</math> um <math>\Delta v</math>. Die Änderung des Quotienten <math>u/v</math> beträgt damit

: <math>
\frac{u + \Delta u}{v + \Delta v} - \frac{u}{v}
</math>,
oder, indem man den Hauptnenner bildet,
:<math>
\frac{(u + \Delta u) \cdot v - u \cdot ( v + \Delta v )}{( v + \Delta v ) \cdot v}
= \frac{\Delta u \cdot v - u \cdot \Delta v}{v^2 + \Delta v \cdot v}.

</math>

Dividiert man noch durch <math>\Delta x</math>, so erhält man den Differenzenquotienten von <math>u/v</math> als

: <math> \frac{\frac{\Delta u}{\Delta x}\cdot v - u \cdot \frac{\Delta v}{\Delta x}}{ v^2 + \Delta v \cdot v }. </math>

Bildet man nun den [[Grenzwert (Funktion)|Grenzübergang]] <math>\Delta x \to 0</math>, so erhält man schließlich die Ableitung

: <math> \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{ u ' \cdot v - u \cdot v ' }{ v^2 }. </math><ref>{{Literatur |Autor=[[Gregor Michailowitsch Fichtenholz|G. M. Fichtenholz]] |Titel=Differential- und Integralrechnung |Verlag=VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften |Ort=Berlin |Datum=1989 |ISBN=3-326-00398-6 |Seiten=187 |Online=https://archive.org/details/fic1_20230721/fic1/page/186/mode/2up}}</ref>

== Beweise ==

=== Anhand des Differenzenquotienten ===
Ist <math>v</math> an <math>x_0</math> differenzierbar, so ist <math>v</math> dort insbesondere stetig. Unter der Voraussetzung <math>v(x_0) \neq 0</math> gibt es deshalb eine [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] <math>U</math> von <math>x_0</math>, in der überall <math>v(x) \neq 0</math> ist. In dieser Umgebung ist der [[Differenzenquotient]]

:<math>\frac{1}{x-x_0} \left( \frac{u(x)}{v(x)}-\frac{u(x_0)}{v(x_0)} \right) = \frac{1}{x-x_0} \cdot \frac{u(x)v(x_0)-u(x_0)v(x)}{v(x)v(x_0)} </math>

von <math>f(x)=\tfrac{u(x)}{v(x)}</math> [[Wohldefiniertheit|wohldefiniert]]. Addition und Subtraktion des Terms <math>u(x_0)v(x_0)</math> im Zähler des rechts stehenden Bruchs und elementare Termumformungen liefern die äquivalente Darstellung

:<math>\frac{1}{v(x)v(x_0)} \left[ \frac{u(x)-u(x_0)}{x-x_0}v(x_0) - u(x_0)\frac{v(x)-v(x_0)}{x-x_0} \right] </math>.
Beim Grenzübergang <math>x \to x_0</math> strebt der Differenzenquotient von <math>u</math> gegen <math>u'(x_0)</math>, der Differenzenquotient von <math>v</math> gegen <math>v'(x_0)</math> und <math>v(x)v(x_0)</math> gegen <math> v(x_0)^2</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Herbert Amann, Joachim Escher |Titel=Analysis 1 |Auflage=3. |Verlag=Birkhäuser |Ort=Basel / Berlin |Datum=2010 |ISBN=978-3-7643-7755-7 |Seiten=321}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[Karl Strubecker]] |Titel=Einführung in die höhere Mathematik. Band II: Differentialrechnung einer reellen Veränderlichen |Verlag=Oldenbourg |Ort=München |Datum=1967 |Seiten=88}}</ref>

=== Mithilfe der Produkt- und Kehrwertregel ===
Für <math> f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} = u(x) \cdot \frac{1}{v(x)}</math> gilt nach der [[Produktregel]]
: <math>f'(x) = u'(x) \cdot \frac{1}{v(x)} + u(x) \cdot \left(\frac{1}{v(x)}\right)'</math>.
Mit der [[Reziprokenregel|Kehrwertregel]]
: <math>\left(\frac1{v(x)}\right)' = -\frac{v'(x)}{v^2(x)}</math>
folgt hieraus
: <math> f'(x) = u'(x) \cdot \frac{1}{v(x)} + u(x) \cdot \left(-\frac{v'(x)}{v^2(x)}\right) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v^2(x)}</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Forster, Lindemann |Titel=Analysis 1 |Datum=2023 |Seiten=236}}</ref>

== Siehe auch ==
* [[Reziprokenregel|Kehrwertregel]]
* [[Produktregel]]
* [[Faktorregel]]
* [[Summenregel]]
* [[Kettenregel]]
* [[Umkehrregel]]

== Literatur ==
Die Quotientenregel für Funktionen wird in fast jedem Einführungsbuch zur Differentialrechnung erläutert. Einige Beispiele sind:

* [[Otto Forster]], Florian Lindemann: ''Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen.'' 13. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2023, ISBN 978-3-658-40129-0, S. 235–236.
* [[Konrad Königsberger]]: ''Analysis 1''. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4, S. 129
* [[Harro Heuser]]: ''Lehrbuch der Analysis. Teil 1''. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 1980, ISBN 3-519-02221-4 (17. aktualisierte Auflage. ebenda 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9), S. 270–271 ({{Google Buch |BuchID=CQ_wc67PkFQC |Seite=270 |Linktext=Auszug (Google) |KeinText=ja}})

== Weblinks ==
* ''[[b:MathGymOS/ Analysis/ Differentialrechnung/ Quotientenregel|Quotientenregel]]'' auf Wikibooks

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analysis]]

Quotientenregel - Versionsgeschichte

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