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2020-12-21T16:44:45Z

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Im [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Algebra]] ist ein '''Quotientenmodul''' oder '''Faktormodul''' eine der grundlegenden Konstruktionen der Theorie der [[Modul (Mathematik)|Moduln]]. Zu einem Modul <math>M</math> und einem Untermodul <math>N\subseteq M</math> ist der Quotientenmodul <math>M/N</math> das im Wesentlichen eindeutig bestimmte Ziel eines surjektiven Homomorphismus <math>M\to M/N</math> mit [[Kern (Algebra)|Kern]] <math>N</math>.

Quotientenmoduln sind das Analogon der Begriffe ''[[Faktorraum]]'' in der Theorie der [[Vektorraum|Vektorräume]] sowie ''[[Faktorgruppe]]'' in der [[Gruppentheorie]].

== Definition ==

Es sei <math>A</math> ein [[Ring (Algebra)|Ring]]. Zu einem <math>A</math>-(Links-)Modul <math>M</math> und einem Untermodul <math>N\subseteq M</math> ist der Quotientenmodul <math>M/N</math> die Menge der [[Äquivalenzklasse]]n von Elementen von <math>M</math> nach der Äquivalenzrelation
: <math>m_1\equiv m_2\mod N\iff m_1-m_2\in N</math>
mit der eindeutig bestimmten Modulstruktur, für die die kanonische surjektive Abbildung <math>M\to M/N</math> ein Homomorphismus ist:<ref>[[Kurt Meyberg]]: ''Algebra, Teil 1'', Hanser-Verlag 1980, ISBN 3-446-13079-9, Kapitel 5.1: ''Linksmoduln''</ref>
: <math>a\cdot (m+N)=am+N, \quad m\in M, a\in A</math>
: <math>(m_1+N)+(m_2+N) = (m_1+m_2)+N, \quad m_1,m_2 \in M.</math>

== Eigenschaften ==

* [[Isomorphiesatz|Isomorphiesätze]]: Für zwei Untermoduln <math>M,N</math> eines Moduls <math>Q</math> gilt<ref>Kurt Meyberg: ''Algebra, Teil 1'', Hanser-Verlag 1980, ISBN 3-446-13079-9, Satz 5.1.7</ref>
:: <math>M/(M\cap N)\cong(M+N)/N.</math>
: Für Untermoduln <math>N\subseteq Q\subseteq P</math> gilt<ref>Kurt Meyberg: ''Algebra, Teil 1'', Hanser-Verlag 1980, ISBN 3-446-13079-9, Satz 5.1.8</ref>
:: <math>(P/N)/(Q/N)\cong P/Q.</math>
* Es gibt eine kanonische Entsprechung zwischen Isomorphieklassen von Monomorphismen mit Ziel <math>M</math> und Isomorphieklassen von Epimorphismen mit Quelle <math>M</math>; einem Monomorphismus <math>i\colon N\to M</math> entspricht der Quotientenmodul <math>M/i(N)</math>, einem Epimorphismus <math>p\colon M\to Q</math> der Untermodul <math>\ker p</math>.
* Ist ein Modul [[Erzeuger (Algebra)|endlich erzeugt]], oder hat er eine endliche [[Länge (Algebra)|Länge]], so gilt dies auch für jeden Quotientenmodul.
* Ist <math>B</math> eine (unitäre, assoziative) <math>A</math>-Algebra, so ist
:: <math>B\otimes_A(M/N)\cong(B\otimes_AM)/U;</math>
: dabei steht <math>U</math> für das Bild von <math>B\otimes_AN</math> in <math>B\otimes_AM</math>.
* Ist <math>I</math> ein (zweiseitiges) Ideal in <math>A</math>, so ist der Faktormodul <math>A/I</math> dasselbe wie der [[Faktorring]] <math>A/I</math>.

== Einzelnachweise ==
<references />
[[Kategorie:Modul (Mathematik)]]
[[Kategorie:Algebra]]

Quotientenmodul - Versionsgeschichte

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