imported>Sinuspi: /* Aussage */ Dies ist überflüssig - das steht ja schon oben: "Gibt es ein q < 1 {\displaystyle q<1}, so dass für fast alle n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } gilt ..."

2025-05-22T13:02:16Z

Aussage: Dies ist überflüssig - das steht ja schon oben: "Gibt es ein q < 1 {\displaystyle q<1}, so dass für fast alle n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } gilt ..."

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Das '''Quotientenkriterium''' ist ein [[Mathematik|mathematisches]] [[Konvergenzkriterium]] für [[unendliche Reihe|Reihe]]n. Es basiert auf dem [[Majorantenkriterium]], das heißt, eine komplizierte Reihe wird durch eine einfache, hier die [[geometrische Reihe]], nach oben abgeschätzt. Die geometrische Reihe [[Grenzwert (Folge)|konvergiert]] genau dann, wenn der Betrag der Folgenglieder abnimmt, also der (konstante) Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder <math>q</math> kleiner als 1 ist. Nimmt eine andere Reihe ab einem bestimmten Element mindestens genauso schnell ab, ist also der Quotient kleiner oder gleich <math>q</math>, so ist auch diese konvergent. Mit dem Quotientenkriterium kann auch Divergenz nachgewiesen werden. Bleibt der Quotient immer größer oder gleich 1, wird der Betrag der Folgenglieder nicht kleiner. Da diese dann keine [[Nullfolge]] bilden, ist die Reihe divergent.

Entwickelt wurde das Quotientenkriterium von dem Mathematiker und Physiker [[Jean-Baptiste le Rond d’Alembert]], zu dessen Ehren diese mathematische Aussage auch '''d’Alembertsches Konvergenzkriterium''' genannt wird.<ref>{{Literatur | Autor = Wilhelm Merz | Titel = Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler | Jahr = 2013 | Verlag = Springer Spektrum | Ort = Berlin | ISBN = 978-3-642-29979-7 | Seiten = 170 }}</ref>

== Aussage ==
[[Datei:Flowchart für das Quotientenkriterium.svg|mini|Entscheidungsbaum für das Quotientenkriterium]]
Gegeben sei eine Reihe <math>S := \sum_{n=0}^\infty a_n</math> mit reellen oder komplexen Summanden, <math>a_n\neq 0</math> für [[fast alle]] <math>n \in \N</math>. Gibt es ein <math>q < 1</math>, so dass für fast alle <math>n \in \N</math> gilt
:<math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \le q<1,</math>
so ist die Reihe [[Absolute Konvergenz|absolut konvergent]]. Gilt dagegen für fast alle <math>n \in \N</math>
:<math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \ge 1</math>,
so ist die Reihe divergent.<ref>{{BibISBN|351942231X|Seite=205f}}</ref>

Dabei darf <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|</math> nicht von unten gegen 1 streben. Gilt dagegen lediglich <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1</math>, kann also der Quotient beliebig nahe an 1 herankommen, so liefert das Quotientenkriterium keine Aussage über die Konvergenz oder die Divergenz.

== Beispiele ==
* Wir betrachten die Reihe <math> \sum_{n=0}^\infty \frac{5 + n}{10^n} </math> und prüfen diese auf Konvergenz. Über das Quotientenkriterium erhalten wir
:: <math> \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{5 + (n+1)}{10^{n+1}} \cdot \frac{10^n}{5+n} = \frac{1}{10} \cdot \frac{6+n}{5+n} \leq \frac{3}{25} < 1 </math>.
: Folglich ist die Reihe absolut konvergent.

* Wir betrachten die Reihe <math> \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{2^n} </math> und prüfen diese auf Konvergenz. Wir erhalten
:: <math> \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{(n+1)!}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n!} = \frac{n+1}{2} \geq 1 </math>.
: Somit ist diese Reihe divergent.

* Wir wollen den [[Konvergenzradius]] der [[Potenzreihe]] <math> \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n} z^n </math> für [[komplexe Zahl]]en <math> z \in \mathbb{C} </math> bestimmen. Für <math> z = 0 </math> ist die Reihe offensichtlich gegen 0 konvergent, sei also <math> z \not= 0 </math> und wir erhalten
:: <math> \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{(n+1)!n^n}{n!(n+1)^{n+1}} \frac{z^{n+1}}{z^n} \right| = \left( \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} \right)^n |z| \, \, \overset{n \to \infty}{\longrightarrow} \, \, \frac{|z|}{e}</math>.
: Der Konvergenzradius ist also die [[eulersche Zahl]] <math> e </math>.

* Ein Beispiel für die Nichtanwendbarkeit des Quotientenkriteriums ist die [[Harmonische Reihe|allgemeine harmonische Reihe]] <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}</math>. Es gilt
:: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left(\frac{n}{n+1}\right)^\alpha \overset{n \to \infty}{\longrightarrow} 1</math>.
: Für <math>\alpha=1</math> ist die allgemeine harmonische Reihe divergent, für <math>\alpha>1</math> konvergent; das Quotientenkriterium kann aber die beiden Fälle nicht unterscheiden.

== Beweisidee ==
Der Fall der Konvergenz folgt mit dem [[Majorantenkriterium]] aus der Konvergenz von <math>\sum_{n=0}^\infty q^n </math>, einer [[Geometrische Reihe|geometrischen Reihe]]. Das Kriterium für Divergenz folgt daraus, dass die Glieder dann wegen <math>0<\left|a_n\right|\leq\left|a_{n+1}\right|</math> keine Nullfolge bilden können.

== Spezialfälle ==
Existiert <math>L:=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|</math>, so liefert das Quotientenkriterium
#für <math>L<1</math> absolute Konvergenz,
#für <math>L>1</math> Divergenz,
#für <math>L=1</math> keine Konvergenzaussage.

Unter Verwendung von [[Limes superior und Limes inferior]] lässt sich das Quotientenkriterium folgendermaßen formulieren:
#Ist <math>\limsup_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1</math>, so ist die Reihe absolut konvergent,
#ist <math>\liminf_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1</math>, so ist die Reihe divergent,
#ist <math>\liminf_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leq 1\leq \limsup_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|</math>, so lässt sich keine Konvergenzaussage machen.

Im Gegensatz zum [[Wurzelkriterium]] muss für das Divergenzkriterium nicht der Limes superior, sondern der Limes inferior verwendet werden.

== Abgewandeltes Quotientenkriterium ==
Neben dem „gewöhnlichen“ Quotientenkriterium gibt es noch folgende Versionen (siehe auch [[Kriterium von Raabe]]): Sei <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge mit echt positiven Gliedern. Wenn nun
:<math>\exists d>1,n_0\in\mathbb{N}:\forall n\ge n_0:\frac{a_{n+1}}{a_n}\le 1-\frac{d}{n}</math>,
so gilt, dass <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> konvergent ist.

Ist andererseits
:<math>\exists n_0:\forall n\ge n_0: \frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1-\frac{1}{n}</math>,
so folgt:
:<math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> divergiert gegen <math>\infty</math>.

== Anwendungen ==
Mit dem Quotientenkriterium lässt sich beispielsweise die Konvergenz der [[Taylorreihe]]n für die [[Exponentialfunktion]] und für die [[Sinus und Kosinus|Sinus- und Kosinusfunktionen]] zeigen.

== Literatur ==
* [[Otto Forster]]: ''Analysis I Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen.'' Rowohlt, Hamburg 1976.
* [[Konrad Knopp]]: ''Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen.'' 6. Auflage. Springer, 1996, ISBN 3-540-59111-7 ([http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=264078 online], Ausgabe von 1964).
* Peter Hartmann: ''Mathematik für Informatiker.'' 4. Auflage. Vieweg, 2006, ISBN 3-8348-0096-1, S. 254.

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium}}
* [http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/aussage/aussage23/ Mathematik-Online-Lexikon] (Definition und Beweis)

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Konvergenzkriterium]]

Quotientenkriterium - Versionsgeschichte

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