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2025-06-11T13:33:28Z

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'''Quotientenabbildung''', '''kanonische Surjektion''' oder '''kanonische Projektion''' ist ein mathematischer Begriff, der in vielen [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebieten]] auftritt. Es handelt sich dabei um eine Abbildung, die jedem Element einer Menge, auf der eine [[Äquivalenzrelation]] vorliegt, seine [[Äquivalenzklasse]] zuordnet. In der [[Kategorientheorie]] wird der Begriff für [[Quotientenobjekt]]e verallgemeinert.

== Beispiele ==
* Ist <math>V</math> ein [[Vektorraum]] und <math>U\subset V</math> ein [[Untervektorraum]], so kann man den [[Quotientenvektorraum]] <math>V/U</math> bilden, der aus allen [[Nebenklasse (Mathematik)|Nebenklassen]] <math>x+U</math> mit <math>x\in V</math> besteht. Die Abbildung <math>V\rightarrow V/U</math>, die den Vektor <math>x\in V</math> auf <math>x+U</math> abbildet, nennt man die Quotientenabbildung.<ref>R. Meise, D. Vogt: ''Einführung in die Funktionalanalysis'', Vieweg, 1992, ISBN 3-528-07262-8, Kap. 0, §1</ref>
* Ist allgemeiner <math>G</math> eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] mit einem [[Normalteiler]] <math>N\subset G</math>, so kann man die [[Quotientengruppe]] <math>G/N</math> der Nebenklassen <math>xN</math> bilden, wobei <math>x\in G</math>. Wieder nennt man die kanonische Abbildung <math>G\rightarrow G/N, x\mapsto xN</math> die Quotientenabbildung.

Beiden Beispielen liegt eine [[Äquivalenzrelation]] <math>\sim</math> zu Grunde. Im Vektorraumbeispiel hat man <math>x\sim y</math> genau dann, wenn <math>x-y \in U</math>, und ganz analog im Gruppenbeispiel <math>x\sim y</math> genau dann, wenn <math>xy^{-1} \in N</math>. Daher verallgemeinert die folgende Konstruktion obige Beispiele.
* Es sei <math>X</math> eine Menge und <math>\sim</math> eine Äquivalenzrelation auf <math>X</math>. Dann sei <math>X/\!\!\sim</math> die Menge der [[Äquivalenzklasse]]n <math>[x]</math>. Die Abbildung <math>X\rightarrow X/\!\!\sim,\, x\mapsto [x]</math> heißt Quotientenabbildung.
* Ist <math>f\colon X\rightarrow Y</math> eine [[Surjektive Funktion|surjektive]] Abbildung, so ist durch <math>x\sim y\;:\Leftrightarrow\; f(x) = f(y)</math> eine Äquivalenzrelation gegeben. In diesem Falle ist die Abbildung <math>X/\!\!\sim \,\rightarrow Y,\, [x] \mapsto f(x)</math> [[Bijektive Funktion|bijektiv]]. Man nennt dann auch <math>f</math> eine Quotientenabbildung.
*Ist <math>f\colon X\rightarrow Y</math> eine surjektive Abbildung auf einem [[Topologischer Raum|topologischen Raum]] <math>X</math>, so gibt es eine [[feinere Topologie|feinste Topologie]] auf <math>Y</math>, bzgl. der <math>f</math> [[Stetige Funktion|stetig]] ist, die sogenannte [[Quotiententopologie]]. Daher nennt man die Abbildung auch in diesem Fall eine Quotientenabbildung.<ref>[[Johann Cigler]], [[Hans-Christian Reichel]]: ''Topologie. Eine Grundvorlesung'', Bibliographisches Institut Mannheim (1978), ISBN 3-411-00121-6, Kapitel 2.6.</ref>

Diese Beispiele werden in der [[Kategorientheorie]] zu sogenannten [[Quotientenobjekt]]en verallgemeinert. In der Tat sind solche Quotientobjekte gewisse [[Epimorphismus|Epimorphismen]], so dass es sich dabei im Wesentlichen um die hier vorgestellten Quotientenabbildungen handelt, allerdings müssen Morphismen in der Kategorientheorie keine Abbildungen sein.

== Einzelnachweise ==
<references />

== Siehe auch ==
* [[Faktorring]]
* [[Homomorphiesatz]]
* [[Quotientennorm]]

[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Topologie]]

Quotientenabbildung - Versionsgeschichte

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