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In der [[Mathematik]] und in den [[Naturwissenschaft]]en bezeichnet der '''Quotient''' ein '''Verhältnis''' von zwei [[Größe (Mathematik)|Größen]] zueinander, also das Ergebnis einer [[Division (Mathematik)|Division]]. Der Quotient von zwei [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] ([[Division (Mathematik)#Definition|Dividend]] und [[Division (Mathematik)#Definition|Divisor]]) ist immer eine [[rationale Zahl]] und kann als [[Bruchrechnung|Bruch]] geschrieben werden, z. B. <math>\tfrac23 = 2/3 = 2:3</math> für zwei Drittel.

Ein Quotient dient oftmals der Einordnung eines Wertes in einen Gesamtmaßstab, so z. B. der [[Intelligenzquotient]], der die mit einem [[Intelligenztest]] ermittelte Zahl für eine Person mit der ihrer Altersgruppe entsprechenden „durchschnittlichen [[Intelligenz]]“ in Beziehung setzt. Der Intelligenzquotient 100 steht dabei für den [[Arithmetisches Mittel|Durchschnitt]]. Weitere Beispiele sind die [[Proportionen der Nationalflaggen]] oder [[Seitenverhältnis]]se.

Verhältnisse gleichartiger Größen werden häufig in [[Prozent]] angegeben, wobei sich der Wert des Verhältnisses nicht verändert, z. B. <math>\tfrac15 = 20\,\%</math>. Um den Prozentwert zu erhalten, wird der Verhältnisbruch mit eins multipliziert, wobei <math>1=100\,\%</math>. Im Beispiel: <math>\tfrac15 = \tfrac{100}5\,\% = 20\,\%</math>.

Besondere ''Quotienten'' in diesem Sinne sind z. B.:
* Die [[Steigung]] als Verhältnis des Wertzuwachses auf der senkrechten [[Koordinate]]nachse zum Wertzuwachs auf der waagerechten Achse.
* Der [[Maßstab (Verhältnis)|Maßstab]] als Verhältnis zweier [[Länge (Physik)|Längen]].
Auch viele [[physikalische Größe]]n werden als Quotienten definiert, z. B.
* [[Ausdehnungskoeffizient]], [[Wirkungsgrad]],
* [[Spezifische Größe]]n wie die [[Dichte]].

== Proportionen ==
{{Hauptartikel|Dreisatz}}
'''Verhältnisgleichungen''' oder '''Proportionen''' sind [[Gleichung]]en, die zwei Verhältnisse gleichsetzen:
: <math>a: b = c: d</math>
<math>a</math> und <math>c</math> heißen auch ''Vorderglieder'', <math>b</math> und <math>d</math> ''Hinterglieder'' der Proportion. Darüber hinaus heißen <math>a</math> und <math>d</math> ''Außenglieder'' sowie <math>b</math> und <math>c</math> ''Innenglieder''. Die Proportion kann durch ''[[Kreuzweise Multiplikation|Kreuzmultiplikation]]'' in eine Gleichung der Form <math>a\cdot d = c\cdot b</math> umgeformt werden. Durch Vertauschen der Innenglieder bzw. der Außenglieder einer Proportion entstehen neue Proportionen: <math>a: c = b: d</math> und <math>d: b = c: a</math>. Darüber hinaus gelten die ''Gesetze der korrespondierenden Addition und Subtraktion'':

=== Gesetze der korrespondierenden Addition und Subtraktion ===
Es sei die Proportion <math>a : b = c: d</math> gegeben. Dann gelten auch die Proportionen
: <math>\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}</math> und <math>\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}</math> und <math>\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}</math> und <math>\frac{a}{a-b}=\frac{c}{c-d}</math> und <math>\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}</math>.

=== Fortlaufende Proportionen ===
Gelegentlich findet sich auch die Schreibweise
: <math>a: b: c = u: v: w</math>,
die als „<math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> verhalten sich wie <math>u</math> zu <math>v</math> zu <math>w</math>“ ausgesprochen wird. Diese ''fortlaufenden Proportionen'', auch ''Kettenproportionen'' oder ''Verhältnisketten'' genannt, sind nicht als eine einzelne Gleichung zu verstehen, sondern sind vielmehr eine Kurzform für die beiden Gleichungen
* <math>a: b = u: v</math> und
* <math>b: c = v: w</math>
bzw. äquivalent
* <math>a: u = b: v</math> und
* <math>b: v = c: w</math>.<ref>Walter Gellert, [[Herbert Kästner]], Siegfried Neuber (Hrsg.): ''Lexikon der Mathematik'', VEB Bibliographisches Institut Leipzig, 1979, S. 447: „Proportion“.</ref>

=== Beispiele ===
* Die Definition des [[Goldener Schnitt|Goldenen Schnitts]]
* Der [[Sinussatz]]
* Die [[Strahlensatz|Strahlensätze]]
* Das [[Brechungsgesetz]] der [[Optik]]
* Die [[Oktave]] der Musik

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
* [https://www.henked.de/begriffe/verhaeltnis.htm Der mathematische Begriff „Verhältnis“]

== Einzelnachweise ==
<references/>

{{Normdaten|TYP=s|GND=4312649-2}}

[[Kategorie:Division (Mathematik)]]
[[Kategorie:Proportionalität]]

Quotient - Versionsgeschichte

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