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2026-04-25T09:34:12Z

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{{Lückenhaft|Querkraftnachweis}}
[[Datei:Einfeldbalken.svg|400px|mini|Schnittgrößen an einem Balken mit [[Streckenlast]] q. Normalkraft N, Querkraft V, Biegemoment M. Die Querkraft ist an den Rändern am größten und hat einen linearen Verlauf.]]
Die '''Querkraft''' ist in der [[Balkentheorie|Theorie des Balkens]] die Bezeichnung einer [[Kraft]], die einerseits
* auf den Balken als [[Orthogonal|senkrecht]] zu seiner Längsachse gerichtete [[Belastung (Physik)|Belastung]] wirkt,
* und die andererseits in einer Querschnittsfläche des Balkens liegt und dort dessen [[Beanspruchung (Technische Mechanik)|Beanspruchung]] auf [[Scherung (Mechanik)|Scherung]] darstellt.

== Definition ==
Die Spannungsresultanten berechnen sich in der schubstarren, linearisierten Bernoulli-Theorie zu
<math>\begin{pmatrix}N_x(x)\\V_y(x)\\V_z(x)\end{pmatrix}=\int{
\begin{bmatrix}\sigma_{xx}&\sigma_{xy}&\sigma_{xz}\\\sigma_{xy}&\sigma_{yy}&\sigma_{yz}\\\sigma_{xz}&\sigma_{yz}&\sigma_{zz}\end{bmatrix}
\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\,\mathrm dA}</math>
mit
* <math>N_x(x)</math> der Normalkraft
* <math>V_y(x)</math> der Querkraftkomponente in y-Richtung
* <math>V_z(x)</math> der Querkraftkomponente in z-Richtung
* <math>\boldsymbol{\sigma}(x,y,z)=\begin{bmatrix}\sigma_{xx}&\sigma_{xy}&\sigma_{xz}\\\sigma_{xy}&\sigma_{yy}&\sigma_{yz}\\\sigma_{xz}&\sigma_{yz}&\sigma_{zz}\end{bmatrix}</math> dem [[Spannungstensor]]
* <math>\mathbf{n}=\mathbf{e}_x=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}</math> der normalen auf den Querschnitt (in der schubstarren, linearisierten Bernoulli-Theorie in x-Richtung)
* <math>A</math> der Querschnittsfläche in der verformten Lage

Die Querkraft berechnet sich somit zu
<math>\mathbf{V}(x)=\int\begin{pmatrix}0\\\sigma_{xy}(x,y,z)\\\sigma_{xz}(x,y,z)\end{pmatrix}\,\mathrm dA</math>

== Differenzialbeziehungen ==
In der Balkentheorie gibt es unter den [[Bernoullische Annahmen|Bernoullischen Annahmen]] folgende Differentialgleichungen für die Queranteile:
* <math> \frac{\mathrm{d}R(x)}{\mathrm{d}x} = -q(x)</math><ref name="pichler2013baustatik2"/><ref name="Kurrer"/>
* <math> \frac{\mathrm{d}M(x)}{\mathrm{d}x} = R(x)-N^{II}(x)\cdot\left[\frac{\mathrm dw_v}{\mathrm dx}+\frac{\mathrm dw}{\mathrm dx}\right]+m(x)</math><ref name="pichler2013baustatik2" />
* <math> \frac{\mathrm{d}\varphi(x)}{\mathrm{d}x} = -\left[\frac{M(x)}{E \cdot I(x)}+\kappa^e(x)\right]</math><ref name="pichler2013baustatik2"/><ref name="pichler2016baustatik"/>
* <math> \frac{\mathrm{d}w(x)}{\mathrm{d}x} = \varphi(x) + \frac{V(x)}{G\tilde A(x)}</math>
mit
* der Laufkoordinate <math>x</math> entlang der Balkenachse
* dem Elastizitätsmodul <math>E</math>
* dem [[Schubmodul]] <math>G</math> (Term tritt in der schubstarren Theorie nicht in den Differentialgleichungen auf)
* dem [[Flächenträgheitsmoment]] <math>I(x)</math>
* <math>R(x)</math> der Transversalkraft (in der [[Theorie I. Ordnung]] gilt <math>R(x)=V(x)</math>)
* <math>V(x)</math> der Querkraft
* <math>N^{II}(x)</math> die Normalkraft nach Theorie [[Theorie II. Ordnung]] (in der [[Theorie I. Ordnung]] tritt dieser Term in der Differenzialgleichung nicht auf)
* <math>q(x)</math> der Gleichlast (Querbelastung pro Längeneinheit<ref name="pichler2016baustatik" />)
* <math>M(x)</math> dem [[Biegemoment]]
* <math>m(x)</math> dem Streckenmoment (Biegebelastung pro Längeneinheit<ref name="pichler2016baustatik" />)
* <math>\varphi(x)</math> der Verdrehung
* <math>\kappa^e(x)</math> der eingeprägten Krümmung
* <math>w(x)</math> der Durchbiegung zufolge Belastung
* <math>w_v(x)</math> der Durchbiegung zufolge Vorverformung
* <math>\tilde A(x)=\kappa \cdot A</math> der [[Schubfläche]] (Term tritt in der schubstarren Theorie nicht auf).
Durch diese Differentialgleichungen ist somit ein Zusammenhang zwischen der Durchbiegung <math>w</math> und dem Biegemoment <math>M_y(x)</math> im Balken gegeben. Dies führt zu drei Gleichungen, für die ein Zusammenhang zwischen der Durchbiegung und den [[Schnittreaktion|Schnittlasten]] im Balken (Biegemoment und Querkraft) sowie der äußeren [[Flächenlast]] <math>q_z(x)</math> gegeben ist (Die Koordinate <math>x</math> wird hierbei entlang der Balkenachse gezählt, die Biegung erfolgt um die Koordinaten-Achse <math>y</math>, die Koordinate <math>z</math> verläuft in Richtung der Querkraft.):

== Berechnung der Querkraft in der Theorie 1. Ordnung ==
Die Berechnung der Querkraft ist besonders einfach, wenn das Bauteil, wie im Beispiel oben, [[Statische Bestimmtheit|statisch bestimmt]] gelagert ist, sodass die Schnittreaktionen aus den [[Mechanisches Gleichgewicht|Gleichgewichtsbedingungen]] ableitbar sind. Unter der Voraussetzung, dass nur [[Geometrische Linearisierung|kleine Verformungen]] auftreten, kann ihr Einfluss auf die Kraftangriffspunkte vernachlässigt werden. Bei statisch unbestimmten Problemen oder großen Verformungen müssen alle Gleichungen ([[Mechanisches Gleichgewicht]], [[Kinematik]], [[Elastizitätsgesetz]]) gleichzeitig gelöst werden,<ref name="Hauger2" details="14f" /> beispielsweise mit der [[Finite-Elemente-Methode]].

An dieser Stelle wird statische Bestimmtheit bei kleinen Verformungen vorausgesetzt, die in vielen Anwendungen, insbesondere im technischen Bereich, vorliegen. Die [[Ableitungsfunktion]] der Querkraft nach der x-Koordinate in Richtung der Balkenachse liefert die [[Streckenlast]] q:<ref name="Hauger1" details="184" />

:<math>\frac{\operatorname{d}Q}{\operatorname{d}x}=-q</math>

Umgekehrt ergibt sich der Querkraftverlauf aus der [[Integralrechnung#Stammfunktionen und der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung|Integration]] der verteilten Last.<ref name="Hauger1" details="185" /> An Stellen, wo
* abrupte Änderungen der verteilten Last (beispielsweise an den Enden ihrer Einwirkung),
* Querkräfte, insbesondere Lagerreaktionen, oder
* Knicke
im Balken auftreten, weist der Querkraftverlauf Knicke oder Sprünge auf. An diesen Stellen ist die Querkraft nicht [[Differenzierbarkeit|differenzierbar]] und die Streckenlast nicht [[Integralrechnung#Axiomatischer Zugang|integrierbar]].

Um obige Formeln trotzdem anwenden zu können, wird der Balken mittels des [[Schnittprinzip]]s in Stücke zerlegt, in denen keine abrupten Änderungen stattfinden. In diesen Stücken wird die Querkraft berechnet und mit Hilfe der [[Randbedingung|Übergangsbedingungen]] an den Rändern zum kompletten Verlauf zusammengesetzt.

Die bereichsweise Integration ist schon bei zwei Feldern mit einigem Aufwand verbunden. Die Arbeit lässt sich jedoch mit der [[Föppl-Klammer]] <math>\langle\dots\rangle</math> ({{enS|Macauley Brackets}}) vereinfachen. Mit ihrer Hilfe können Unstetigkeiten wie Sprünge oder Knicke einfach beschrieben werden.<ref name="Hauger1" details="196" />

== Schubmittelpunkt ==
{{Hauptartikel|Schubmittelpunkt}}
Der Schubmittelpunkt ist der Punkt auf einem Balken[[Querschnitt (Mechanik)|querschnitt]], an dem eine Kraft ausgeübt werden muss, damit keine [[Torsion (Mechanik)|Torsion]] entsteht.

Bei Querschnittsflächen mit einer [[Symmetrieachse]] liegt der Schubmittelpunkt auf der Symmetrieachse. Bei Querschnittsflächen mit wenigstens zwei Symmetrieachsen liegt der Schubmittelpunkt im Schwerpunkt des Querschnitts ([[Flächenschwerpunkt]]).
Im Allgemeinen, insbesondere bei offenen Profilen, stimmen Schubmittelpunkt und Flächenschwerpunkt aber nicht überein.

== Schubspannungen ==
Aus den [[Bernoullische Annahmen|Bernoullischen Annahmen]] (insbesondere dass die axiale Verschiebung im Balkenquerschnitt nur von der axialen Koordinate abhängt) folgt eine konstante [[Schubspannung]] im Querschnitt<ref name="Hauger2" details="104,135" />

:<math>\tau_{xz}=G\left(\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial z}\right)
=G(w'(x)+\psi(x))</math>

Mit
* der [[Schubspannung]] <math>\tau_{xz}</math>, wo der erste Index die [[Flächennormale]] und der zweite die Wirkrichtung angibt,
* dem [[Schubmodul]] G,
* der [[Ableitungsfunktion]] w' der [[Biegelinie]] w in
* der axialen Richtung x, und
* dem Drehwinkel ψ der Querschnittsfläche.

Diese Spannungsverteilung ist nur eine erste grobe Näherung und gibt nur die mittlere Schubspannung im Querschnitt an. Wegen der [[Cauchy-eulersche Bewegungsgesetze#Satz von der Gleichheit der zugeordneten Schubspannungen|Gleichheit der zugeordneten Schubspannungen]] <math>\tau_{xz}=\tau_{zx}</math> und gleichzeitiger Abwesenheit von Schubspannungen auf der Balkenoberfläche müssen die Schubspannungen an den Querschnittsrändern verschwinden. Aus der Gleichgewichtsbedingung<ref name="Hauger2" details="137f" />

:<math>\tau(z)b(z)=\int_z^{\frac h2}\int_{y_0}^{y_0+b}
\frac{\partial\sigma_{x}(y,z)}{\partial x}\operatorname{d}y\,\operatorname{d}z</math>

ergibt sich aus der Querkraft in einem rechteckigen Balkenquerschnitt mit Höhe h und Breite b(z)=const der parabelförmige Verlauf

:<math>\tau_{xz}(z)=\frac{3Q}{2bh}\left(1-\frac{4z^2}{h^2}\right)</math>

Die maximale Schubspannung

:<math>\tau_{xz,{\rm max}}=\frac32\frac Q{bh}</math>

tritt bei z=0 auf und ist um die Hälfte größer als die mittlere Schubspannung <math>\bar{\tau}=\tfrac Q{bh}</math>, und bei <math>z=\pm\tfrac h2</math> ist die Schubspannung null.

Die Schubspannung ist in der linearen Elastizität, die hier vorausgesetzt ist, proportional zur [[Gleitung]] γ im Querschnitt, der infolgedessen nicht eben bleibt und sich verwölbt.<ref name="Sadd"/> Die Bernoullische Annahme vom Ebenbleiben der Querschnitte ist daher nur eine erste Näherung, und die Winkeländerung <math>w'+\psi</math> eines Balkenelements muss als mittlere Winkelverzerrung angesehen werden.

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="pichler2013baustatik2">
{{Literatur
| Autor=Bernhard Pichler
| Titel=202.068 Baustatik 2
| Auflage=WS2013
| Ort=Wien
| Datum=2013
| Kapitel=''VO_06_ThIIO_Uebertragungsbeziehungen''
| Online=[https://tuwel.tuwien.ac.at/course/view.php?id=5027 Onlineplattform der TU Wien]
}}</ref>
<ref name="pichler2016baustatik">
{{Literatur
| Autor=Bernhard Pichler, Josef Eberhardsteiner
| Titel=Baustatik VO – LVA-Nr 202.065
| Auflage=SS2016
| Verlag=TU Verlag
| Ort=Wien
| Datum=2016
| ISBN=978-3-903024-17-5
| Kapitel=''Lineare Stabtheorie ebener Stabtragwerke''
| Umfang=520
}}</ref>
<ref name="Kurrer">Diese Beziehung findet sich schon 1851 in elementarer Form bei [[Johann Wilhelm Schwedler]]. Siehe {{Literatur
| Autor=[[Karl-Eugen Kurrer]]
| Titel=The History of the Theory of Structures. Searching for Equilibrium
| Verlag=Ernst & Sohn
| Ort=Berlin
| ISBN=978-3-433-03229-9
| Seiten=494
}}</ref>
<ref name="Hauger1">
{{Literatur
| Autor=D. Gross, W. Hauger, [[Jörg Schröder (Bauingenieur)| J. Schröder]], W. A. Wall
| Titel=Technische Mechanik 1
| TitelErg=Statik
| Verlag=Springer-Verlag
| Ort=Heidelberg
| Jahr=2011
| ISBN=978-3-642-13805-8
| DOI=10.1007/978-3-642-13806-5
}}</ref>
<ref name="Hauger2">
{{Literatur
| Autor=D. Gross, W. Hauger, [[Jörg Schröder (Bauingenieur)| J. Schröder]], W. A. Wall
| Titel=Technische Mechanik 2
| TitelErg=Elastostatik
| Band=Band 2
| Verlag=Springer-Verlag
| Ort=Heidelberg
| Jahr=2014
| Online=[https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-40966-0_6 Der Arbeitsbegriff in der Elastostatik]
| ISBN=978-3-642-40965-3
| DOI=10.1007/978-3-642-40966-0_6
}}</ref>
<ref name="Sadd">
{{Literatur
| Autor=Martin H. Sadd
| Titel=Elasticity – Theory, applications and numerics
| Verlag=Elsevier Butterworth-Heinemann
| Jahr=2005
| Seiten=145ff
| Online=https://www.sciencedirect.com/book/9780126058116/elasticity
| ISBN=0-12-605811-3}}
</ref>
</references>

[[Kategorie:Statik]]

Querkraft - Versionsgeschichte

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