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2024-09-09T18:47:39Z

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Als '''quellfrei''' oder '''quellenfrei''' wird in der [[Physik]] und [[Potentialtheorie]] ein [[Vektorfeld]] bezeichnet, dessen [[Feldlinien]] im betrachteten Gebiet keinen Anfangspunkt besitzen. Quellfrei ist z. B. der Außenraum eines [[Kraftfeld (Physik)|Kraft-]] oder [[Schwerefeld]]es, wenn er keinerlei [[Massenpunkt]]e oder Ladungen enthält.

In der Natur ist dieser Idealfall kaum gegeben, weil es fast überall – auch im [[interplanetarer Raum| interplanetaren Raum]] – restliche Gasmoleküle, Staubteilchen und freie Elektronen gibt. Für die naturwissenschaftliche Praxis und in der [[Astronomie]] ist Quellfreiheit hingegen überall dort gegeben, wo die Materie- bzw. Gas[[dichte]] unter einigen Teilchen pro cm<sup>3</sup> liegt. Für die Laborphysik kann das beste technisch erzeugbare [[Hochvakuum]] der Referenzwert sein, der mit einem Restgasdruck von etwa 10<sup>−11</sup> [[Millibar]] weit darüber liegt.

== Feldlinien und Divergenz ==
In der [[Elektrodynamik]] und [[Strömungslehre]] werden quellfreie Räume dadurch charakterisiert, dass im betrachteten Raumabschnitt ebenso viele [[Feldlinie]]n eintreten wie austreten. Dieses Verhalten der Feldlinien lässt sich mathematisch durch die [[Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]] des Vektorfeldes beschreiben.

Die [[Mathematik]] nennt den Begriff „quellfrei“ auch '''divergenzfrei''', denn das Fehlen von Quellen ist mit dem Verschwinden der Divergenz gekoppelt: in einem quellfreien Vektorfeld <math>\vec a</math> gilt:

:<math>\operatorname{div} \, \vec a \, = \, 0 </math>

Hierbei steht <math>\operatorname{div}</math> für den Divergenz-Operator (siehe auch [[Nabla-Operator]]).

Umgekehrt wird das Vorhandensein von Quellen charakterisiert durch <math>\operatorname{div} \, \vec a > 0</math> und das Vorhandensein von Senken durch <math>\operatorname{div} \, \vec a < 0.</math>

== Interpretation und Beispiele ==
Physikalisch lässt sich die Divergenz eines Vektorfeldes als Maß für die Quellstärke interpretieren, denn nach dem [[Gaußscher Integralsatz|Satz von Gauß]] ist das [[Integralrechnung|Integral]] der Divergenz über ein Volumen gleich dem [[Fluss (Physik)|Fluss]] durch die Oberfläche des Volumens. Dementsprechend bezeichnet man ein Vektorfeld, dessen Divergenz Null ist, als quellfrei, denn hier ist für beliebige ''geschlossene'' Flächen der Fluss gleich Null, d. h., netto fließt nicht mehr heraus als herein. Es gibt also im Inneren des Volumens, das von der Fläche umschlossen wird, weder [[Quelle und Senke|Quellen noch Senken]].

Wichtige Beispiele für quellfreie Felder in der Physik sind das [[magnetische Flussdichte| Magnetfeld]], genauer: die [[magnetische Flussdichte|magnetische Induktion]], und die [[Geschwindigkeitsfeld]]er von [[inkompressibles Fluid|inkompressiblen]] Strömungen, die aufgrund der [[Kontinuitätsgleichung]] quellfrei sind.

Für alle zweimal stetig-differenzierbaren Vektorfelder <math>\vec V(\vec r)</math> gilt nach dem [[Satz von Schwarz]]

:<math>\mbox{div} \, (\mbox{rot} \, \vec V(\vec r)) \, \equiv \, 0.</math>

Somit ist die [[Rotation eines Vektorfeldes|Rotation]] eines zweimal stetig differenzierbaren Vektorfelds immer quellfrei.

(Für ein Vektorfeld <math>\vec V(\vec r)</math> ergibt <math>\mbox{div}\, \vec V</math> die ''Quellendichte'' und <math>\mbox{rot}\, \vec V</math> die sog. ''Wirbeldichte''.)

Die Umkehrung gilt unter den Annahmen des [[Poincaré-Lemma|Poincaréschen Lemmas]]: Ein einmal stetig differenzierbares, überall quellfreies Vektorfeld <math>\vec B(\vec r),</math> wie z. B. das Magnetfeld, also mit <math>\mbox{div} \vec B (\vec r)\equiv 0</math> für alle <math>\vec r,</math> besitzt überall ein zweimal stetig differenzierbares Vektorpotential <math>\vec A(\vec r),</math> sodass also <math>\vec B(\vec r)=\mbox{rot}\,\vec A(\vec r) \ \ (=\vec \nabla\times \vec A(\vec r))</math> gilt, wobei <math>\vec A(\vec r)</math> zudem aus den Wirbeldichten von <math>\vec B(\vec r)</math> durch Integration berechnet werden kann.

Wenn das Feld dagegen wie im elektrischen Fall, also bei <math> \vec E(\vec r),</math> nicht quellfrei, sondern wirbelfrei ist, besitzt es statt des Vektorpotentials <math>\vec A(\vec r)</math> ein skalares Potential <math>\Phi (\vec r),</math> aus dem es durch Gradientenbildung abgeleitet werden kann, <math>\vec E(\vec r)=-\mbox{grad}\,\Phi (\vec r) \ \ (=-\vec \nabla\Phi(\vec r)).</math> Das skalare Potential kann aus den Quellendichten von <math>\vec E</math> durch Integration berechnet werden. Die Beweisschritte sind analog wie oben (siehe theoretische [[Elektrodynamik]]).

== Literatur und Weblinks ==
* [[Bernhard Hofmann-Wellenhof]] et al.: ''Physical Geodesy.'' Springer-Verlag, Wien 2005, ISBN 978-3-211-33544-4 (Lehrbuch).
* E.Fromm: ''[https://www-user.tu-chemnitz.de/~doto/pdf/elektrodynamik-ss07.pdf Elektrodynamik] (PDF; 231 kB).'' TU Chemnitz, 2007 (Vorlesungsskript).

[[Kategorie:Feldtheorie]]
[[Kategorie:Vektoranalysis]]

Quellfreies Vektorfeld - Versionsgeschichte

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