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2025-08-05T10:26:23Z

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Der '''quaternionisch-hyperbolische Raum''' ist in der [[Mathematik]] ein mit Hilfe von [[Quaternion]]en definierter negativ gekrümmter symmetrischer Raum.

== Definition ==

Seien <math>\mathbb H</math> die Quaternionen und sei <math>\mathbb H^{n,1}</math> der <math>\mathbb H</math>-[[Vektorraum]] <math>\mathbb H^{n+1}</math> mit der [[Hermitesche Form|Quaternionisch-hermiteschen Form]]
:<math>\langle U,V\rangle=-u_{n+1}\overline{v}_{n+1}+\sum_{j=1}^nu_j\overline{v}_j</math>
für <math>U=(u_1,\ldots,u_{n+1}), V=(v_1,\ldots,v_{n+1})</math>. (Hierbei ist die quaternionische Konjugation definiert durch <math>\overline{a+bi+cj+dk}:=a-bi-cj-dk</math> für reelle Zahlen a,b,c,d.)

Der ''n-dimensionale quaternionisch-hyperbolische Raum'' <math>\mathbb HH^n</math> ist
:<math>\mathbb HH^n=\left\{X\in\mathbb H^{n,1}: \langle X,X\rangle=-1\right\}</math>
mit der von der Hermiteschen Form <math>\langle .,.\rangle</math> induzierten [[Riemannsche Mannigfaltigkeit|Riemannschen Metrik]].

== Siegel-Modell ==

Eine äquivalente Definition erhält man mit dem [[Carl Ludwig Siegel|Siegel]]-Modell.<ref>[[Inkang Kim]], [[John R. Parker]]: ''Geometry of quaternionic hyperbolic manifolds''. In: [[Cambridge Philosophical Society]]: ''Mathematical Proceedings'', 135 (2003), no. 2, 291–320. {{ISSN|0305-0041}} [http://www.portalsaberlivre.com.br/manager/uploads/apostilas/1332873208.pdf pdf]</ref> Hier benutzt man die quaternionisch-hermitesche Form <math>\langle U,V\rangle=\overline{u}_1v_{n+1}+\overline{u}_2v_2+\ldots+\overline{u}_nv_n+\overline{u}_{n+1}v_1</math>, betrachtet das Bild von <math>V_-:=\left\{U\in\mathbb H^{n+1}:\langle U,U\rangle <0\right\}</math> unter der Projektion auf den [[Projektiver Raum|projektiven Raum]] <math>\pi:\mathbb H^{n+1}\rightarrow P\mathbb H^n</math> und definiert <math>\mathbb HH^n:=\pi(V_-)\subset P\mathbb H^n</math>.

== Geometrie ==

<math>\mathbb HH^n</math> ist ein [[symmetrischer Raum]] vom Rang 1.

Für die [[Schnittkrümmung]] von Ebenen im <math>\mathbb HH^n</math> gilt die Ungleichung <math>-4\le K\le -1</math>. Ebenen in <math>\mathbb RH^n\subset \mathbb HH^n</math> haben Schnittkrümmung <math>-1</math>, während die Ebene <math>\mathbb CH^1\subset\mathbb HH^1\subset\mathbb HH^n</math> die Schnittkrümmung <math>-4</math> hat.

== Isometrien und Quasi-Isometrien ==

Die [[Isometrie (Riemannsche Geometrie)|Isometriegruppe]] des <math>\mathbb HH^n</math> ist <math>PSp(n,1)=Sp(n,1)/\left\{\pm 1\right\}</math>, dabei ist <math>Sp(n,1)</math> die [[Lie-Gruppe]]
:<math>Sp(n,1)=\left\{A\in GL(n+1,\mathbb H): \langle AU,AV\rangle=\langle U,V\rangle \forall U,V\in\mathbb H^{n,1}\right\}=GL(n+1,\mathbb H)\cap U(2n,2)</math>.

Alle [[Quasi-Isometrie]]n des <math>\mathbb HH^n</math> haben endlichen Abstand von einer Isometrie.<ref>[[Pierre Pansu]]: ''Métriques de Carnot-Carathéodory et quasiisométries des espaces symétriques de rang un''. In: ''[[Annals of Mathematics]]'', (2) 129 (1989), no. 1, 1–60. {{ISSN|0003486X}}[http://www.jstor.org/stable/1971484 pdf]</ref>

== Quaternionisch-hyperbolische Mannigfaltigkeiten ==

Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit heißt quaternionisch-hyperbolisch, wenn ihre [[universelle Überlagerung]] isometrisch zum <math>\mathbb HH^n</math> ist.

== Weblinks ==

* [[Jean-François Quint]]: ''An overview of Patterson-Sullivan theory'' [http://www.math.u-bordeaux1.fr/~jquint/publications/courszurich.pdf pdf]
* Gongopadhyay, Parsad: ''Classification of quaternionic hyperbolic isometries'' [https://www.ams.org/journals/ecgd/2013-17-07/S1088-4173-2013-00256-7/S1088-4173-2013-00256-7.pdf pdf]

== Quellen ==
<references />

[[Kategorie:Riemannsche Mannigfaltigkeit]]

Quaternionisch-hyperbolischer Raum - Versionsgeschichte

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