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2025-04-26T05:07:30Z

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In der [[Gruppentheorie]] ist die '''Quaternionengruppe''' eine nicht-abelsche [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] der [[Gruppe (Mathematik)#Gruppenordnung|Ordnung]] <math>8</math>. Sie wird häufig mit dem Symbol <math>Q_8</math> bezeichnet. Ihren Namen erhält sie daher, dass sie aus den acht Elementen <math>\pm 1, \pm \mathrm i , \pm \mathrm j , \pm \mathrm k </math> im [[Schiefkörper]] der [[Quaternion|Hamiltonschen Quaternionen]] besteht.

== Definition ==

Die Quaternionengruppe ist die achtelementige Menge <math>Q_8 = \{\pm 1, \pm \mathrm i , \pm \mathrm j , \pm \mathrm k \}</math> mit der [[Zweistellige Verknüpfung|Verknüpfung]] <math>\cdot \colon Q_8 \times Q_8 \to Q_8</math>,
die neben den üblichen Vorzeichenregeln die folgenden Relationen erfüllt:
: <math>\mathrm i \cdot \mathrm i = \mathrm j \cdot \mathrm j = \mathrm k \cdot \mathrm k = \mathrm i \cdot \mathrm j \cdot \mathrm k = -1</math>.
Diese Regeln wurden von [[William Rowan Hamilton]] gefunden.<ref>[[William Rowan Hamilton]]: ''Einritzung in einen Stein der Broom (auch: Brougham) Bridge''. Dublin 1843.</ref>
Daraus ergibt sich folgende [[Verknüpfungstafel]]:

{| class="wikitable centered" style="text-align:right;"
|- class="hintergrundfarbe6"
! <math>\cdot</math>
! <math>\mathrm{ 1}</math>
! <math>\mathrm{-1}</math>
! <math>\mathrm{ i}</math>
! <math>\mathrm{-i}</math>
! <math>\mathrm{ j}</math>
! <math>\mathrm{-j}</math>
! <math>\mathrm{ k}</math>
! <math>\mathrm{-k}</math>
|-
!class="hintergrundfarbe6"| <math>\mathrm{ 1}</math>
| <math>\mathrm{ 1}</math> || <math>\mathrm{-1}</math> || <math>\mathrm{ i}</math> || <math>\mathrm{-i}</math> || <math>\mathrm{ j}</math> || <math>\mathrm{-j}</math> || <math>\mathrm{ k}</math> || <math>\mathrm{-k}</math>
|-
!class="hintergrundfarbe6"| <math>\mathrm{-1}</math>
| <math>\mathrm{-1}</math> || <math>\mathrm{ 1}</math> || <math>\mathrm{-i}</math> || <math>\mathrm{ i}</math> || <math>\mathrm{-j}</math> || <math>\mathrm{ j}</math> || <math>\mathrm{-k}</math> || <math>\mathrm{ k}</math>
|-
!class="hintergrundfarbe6"| <math>\mathrm{ i}</math>
| <math>\mathrm{ i}</math> || <math>\mathrm{-i}</math> || <math>\mathrm{-1}</math> || <math>\mathrm{ 1}</math> || <math>\mathrm{ k}</math> || <math>\mathrm{-k}</math> || <math>\mathrm{-j}</math> || <math>\mathrm{ j}</math>
|-
!class="hintergrundfarbe6"| <math>\mathrm{-i}</math>
| <math>\mathrm{-i}</math> || <math>\mathrm{ i}</math> || <math>\mathrm{ 1}</math> || <math>\mathrm{-1}</math> || <math>\mathrm{-k}</math> || <math>\mathrm{ k}</math> || <math>\mathrm{ j}</math> || <math>\mathrm{-j}</math>
|-
!class="hintergrundfarbe6"| <math>\mathrm{ j}</math>
| <math>\mathrm{ j}</math> || <math>\mathrm{-j}</math> || <math>\mathrm{-k}</math> || <math>\mathrm{ k}</math> || <math>\mathrm{-1}</math> || <math>\mathrm{ 1}</math> || <math>\mathrm{ i}</math> || <math>\mathrm{-i}</math>
|-
!class="hintergrundfarbe6"| <math>\mathrm{-j}</math>
| <math>\mathrm{-j}</math> || <math>\mathrm{ j}</math> || <math>\mathrm{ k}</math> || <math>\mathrm{-k}</math> || <math>\mathrm{ 1}</math> || <math>\mathrm{-1}</math> || <math>\mathrm{-i}</math> || <math>\mathrm{ i}</math>
|-
!class="hintergrundfarbe6"| <math>\mathrm{ k}</math>
| <math>\mathrm{ k}</math> || <math>\mathrm{-k}</math> || <math>\mathrm{ j}</math> || <math>\mathrm{-j}</math> || <math>\mathrm{-i}</math> || <math>\mathrm{ i}</math> || <math>\mathrm{-1}</math> || <math>\mathrm{ 1}</math>
|-
!class="hintergrundfarbe6"| <math>\mathrm{-k}</math>
| <math>\mathrm{-k}</math> || <math>\mathrm{ k}</math> || <math>\mathrm{-j}</math> || <math>\mathrm{ j}</math> ||<math>\mathrm{ i}</math> || <math>\mathrm{-i}</math> || <math>\mathrm{ 1}</math> || <math>\mathrm{-1}</math>
|}
Die Gruppenaxiome
# Existenz des neutralen Elements
# Existenz des inversen Elements
# Assoziativität
sind leicht nachgeprüft.

== Eigenschaften ==

Die Quaternionengruppe <math>Q_8</math> ist nicht [[Abelsche Gruppe|abelsch]], da beispielsweise <math>\mathrm i \cdot \mathrm j =\mathrm k \neq \mathrm j \cdot \mathrm i =-\mathrm k </math> gilt.
Sie und die [[Diedergruppe]] <math>D_4</math> sind bis auf [[Gruppenisomorphismus|Isomorphie]] die beiden einzigen nicht-abelschen Gruppen mit acht Elementen.

Die Gruppe <math>Q_8</math> ist zudem eine [[hamiltonsche Gruppe]]: sie ist zwar nicht-abelsch, aber dennoch ist jede Untergruppe ein [[Normalteiler]]. Jede hamiltonsche Gruppe hat eine zu <math>Q_8</math> isomorphe Untergruppe.

Der [[Schiefkörper]] <math>\mathbb{H}</math> der Hamiltonschen [[Quaternion]]en besteht aus dem reellen [[Vektorraum]] mit Basis <math>\{1,\mathrm i ,\mathrm j ,\mathrm k \}</math> und der Multiplikation, die die obige Multiplikationstabelle bilinear fortsetzt.<ref>Hans-Dieter Ebbinghaus et al.: ''Zahlen''. In: ''Grundwissen Mathematik'', Band 1. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York / Tokio 1983, ISBN 3-540-12666-X, S. 138–154.</ref> Umgekehrt kann man ausgehend vom Schiefkörper <math>\mathbb{H}</math> die Quaternionengruppe als die von den Elementen <math>\pm 1,\pm \mathrm i, \pm \mathrm j, \pm \mathrm k</math> gebildete Untergruppe definieren.

Man kann <math>Q_8</math> auch als Untergruppe der [[Allgemeine lineare Gruppe|allgemeinen linearen Gruppe]] <math>\operatorname{GL}_2(\Complex)</math> darstellen durch die [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] <math>\mathrm i = \left(\begin{smallmatrix}\sqrt{-1} & 0 \\ 0 & -\sqrt{-1} \end{smallmatrix}\right)</math> und <math>\mathrm j = \left(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{smallmatrix}\right)</math> und <math>\mathrm k = \left(\begin{smallmatrix} 0 & \sqrt{-1} \\ \sqrt{-1} & 0 \end{smallmatrix}\right)</math>.

Eine Anwendung der Quaternionengruppe ergibt sich in der [[Synthetische Geometrie|synthetischen Geometrie]]. Dort dienen ''[[Quasikörper]]'' als Koordinatenbereiche einer affinen oder [[Projektive Ebene|projektiven Ebene]] und es zeigt sich, dass einer der kleinsten Quasikörper, der kein Schiefkörper ist und über dem sich daher nichtdesarguesche Ebenen ergeben, eine zu <math>Q_8</math> isomorphe multiplikative Gruppe hat. → siehe [[Ternärkörper]].

== Automorphismen ==
Als [[Automorphismus]] (hier von <math>Q_8</math>) gilt eine [[Bijektivität|bijektive]] Abbildung <math>\phi \colon Q_8 \to Q_8</math>, bei der die Multiplikation [[Homomorphismus|homomorph]] behandelt wird, d. h.
: <math>\phi(x \cdot y) = \phi(x) \cdot \phi(y) \, </math>.

Da die [[Gruppentheorie#Ordnung von Elementen|Ordnung]] von Gruppenelementen hierbei erhalten bleibt, müssen <math>\pm 1</math> als einzige Elemente mit Ordnung 1 bzw. 2 festbleiben.
Dagegen können die 3 imaginären Einheiten <math> \mathrm i , \mathrm j , \mathrm k</math> jeweils in eine andere überführt werden. Genauer: die erste, sagen wir <math> \mathrm i</math>, hat alle 6 Ecken <math> \pm \mathrm i , \pm \mathrm j , \pm \mathrm k</math> dieses [[Oktaeder]]s zur Auswahl, das Negative dieses Werts muss dann dem „Antipoden“ <math> -\mathrm i \, </math> zugeteilt werden. Bleiben für die zweite, sagen wir <math> \mathrm j</math>, noch 4 Ecken. Danach sind die restlichen Zuordnungen festgelegt: Antipode <math> -\mathrm j</math> wie auch <math>\mathrm k</math> wegen <math>\mathrm k = \mathrm i \cdot \mathrm j</math> (diese Orientierung verbietet die Spiegelungen s. u.) und dessen Antipode <math>-\mathrm k</math>. Es gibt also 6·4 = 24 Automorphismen, die in [[Bijektive Funktion|eineindeutiger]] Korrespondenz zu den Drehungen des besagten Oktaeders stehen. Somit ist die [[Automorphismus#Automorphismengruppe|Automorphismengruppe]] <math>\operatorname{Aut}(Q_8)</math> [[Isomorphismus|isomorph]] zur [[Oktaedergruppe|Drehgruppe des Oktaeders]], die wiederum zur [[Symmetrische Gruppe|symmetrischen Gruppe ''S''4]] isomorph ist.

Eine elegante Realisierung von <math>\operatorname{Aut}(Q_8)</math> im Kontext der Quaternionen findet sich in [[Hurwitzquaternion#äußerer Automorphismus|Hurwitzquaternionen]].

Die [[Konjugation (Gruppentheorie)#Konjugation|inneren]] Automorphismen von <math>Q_8</math> werden durch die <math>q \in Q_8</math> [[modulo]] dem Zentrum <math>Z = \left\{\pm 1 \right\}</math> vermöge <math>x \mapsto q^{-1} \cdot x \cdot q</math> vermittelt. Sie bilden die Gruppe <math>\operatorname{Inn}(Q_8)</math> [[Konjugation (Gruppentheorie)#Konjugation|isomorph zu]] <math>Q_8/Z</math>, die zur [[Kleinsche Vierergruppe|kleinschen Vierergruppe ''V'']] isomorph ist.

Die [[Quaternion#Konjugation|Konjugation]] als Spiegelung an der reellen Achse, die hier gleichzeitig die Inversionsabbildung darstellt, ist antihomomorph,<ref>{{MathWorld |id=Antihomomorphism |title=Antihomomorphism}}</ref> das heißt
: <math>\overline{x \cdot y}=\bar y \cdot\bar x</math>     und auch     <math>\bar{\mathrm k} = \bar{\mathrm j} \cdot \bar{\mathrm i} \; \ne \; \bar{\mathrm i} \cdot \bar{\mathrm j}</math>,
und wird deshalb als [[Antiautomorphismus#Involutiver Antiautomorphismus|involutiver Antiautomorphismus]] bezeichnet.

== Charaktertafel ==
Die Quaternionengruppe hat folgende [[Charaktertafel]]:
{| class="wikitable" align="center" style="text-align:center;"
!style="background:#E1E5FF"| <math>G</math>
!style="background:#E1E5FF"| <math>1</math>
!style="background:#E1E5FF"| <math>1</math>
!style="background:#E1E5FF"| <math>2</math>
!style="background:#E1E5FF"| <math>2</math>
!style="background:#E1E5FF"| <math>2</math>
|-
!style="background:#E1E5FF"|
!style="background:#E1E5FF"| <math>1</math>
!style="background:#E1E5FF"| <math>-1</math>
!style="background:#E1E5FF"| <math>\rm i</math>
!style="background:#E1E5FF"| <math>\rm j</math>
!style="background:#E1E5FF"| <math>\rm k</math>
|-
!style="background:#E1E5FF"| <math>\chi_1</math>
| <math>1</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math>1</math>
|-
!style="background:#E1E5FF"| <math>\chi_2</math>
| <math>1</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math>-1</math> || <math>-1</math>
|-
!style="background:#E1E5FF"| <math>\chi_3</math>
| <math>1</math> || <math>1</math> || <math>-1</math> || <math>1</math> || <math>-1</math>
|-
!style="background:#E1E5FF"| <math>\chi_4</math>
| <math>1</math> || <math>1</math> || <math>-1</math> || <math>-1</math> || <math>1</math>
|-
!style="background:#E1E5FF"| <math>\chi_5</math>
| <math>2</math> || <math>-2</math> || <math>0</math> || <math>0</math> || <math>0</math>
|}
Die [[Diedergruppe|Diedergruppe D4]] hat dieselbe Charaktertafel ohne zur Quaternionengruppe isomorph zu sein. Damit ist die Quaternionengruppe ein Beispiel dafür, dass sich eine Gruppe nicht aus ihrer Charaktertafel rekonstruieren lässt.<ref>J. L. Alperin, R.B. Bell: ''Groups and Representations''. Springer-Verlag, (1995), ISBN 0-387-94525-3, Kap. 6, Beispiel 8</ref>

== Dizyklische Gruppen und verallgemeinerte Quaternionengruppen ==

Die Quaternionengruppe <math>Q_8</math> lässt sich wie folgt durch Erzeuger und Relationen präsentieren:
: <math>\left\langle x,y\mid x^4=1, x^2 = y^2, y x y^{-1} = x^{-1}\right\rangle</math>.
In obiger Schreibweise gilt <math>x=\mathrm i </math> und <math>y=\mathrm j </math>.

Die Quaternionengruppe ist daher eine sogenannte [[dizyklische Gruppe]]. Die ''dizyklische Gruppe'' der Ordnung <math>4n</math> für <math>n\ge2</math> erhält man durch folgende Präsentation über Erzeuger und Relationen:
: <math>\left\langle x,y\mid x^{2n}=1,x^n = y^2, y x y^{-1} = x^{-1}\right\rangle</math>.<ref>Steven Roman: ''Fundamentals of group theory''. Birkhäuser, Basel 2012, Kapitel 12, S. 347/348.</ref><ref>Thomas Keilen: [http://www.mathematik.uni-kl.de/~wwwagag/download/scripts/Endliche.Gruppen.pdf ''Endliche Gruppen''.] (PDF) Beispiel 9.11, S. 37.</ref>
Die dizyklischen Gruppen, deren Ordnung eine Zweierpotenz ist, heißen verallgemeinerte Quaternionengruppen.<ref>Bertram Huppert: ''Endliche Gruppen I''. Springer, Berlin 1967, Kapitel I, § 14, Satz 14.9, S. 91.</ref>

== Siehe auch ==
* [[Hurwitzquaternion#Lipschitzquaternion|Lipschitzquaternionen]]
* [[Hurwitzquaternion]]en

== Weblinks ==
* [http://www.polytope.de/plat4.html Platonische Polychora]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Endliche Gruppe]]

Quaternionengruppe - Versionsgeschichte

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