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2025-04-23T07:27:20Z

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In der [[Funktionentheorie]] ist eine '''quasikonforme Abbildung''' eine Verallgemeinerung einer [[biholomorph]]en Abbildung. Hier wird im Wesentlichen auf die [[Winkeltreue Abbildung|Winkeltreue]] verzichtet.

== Definition ==
Seien <math>G</math> und <math>H</math> zwei [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] der komplexen Zahlenebene. Ein [[Homöomorphismus]]
:<math>f\colon G\longrightarrow H</math>
heißt '''quasikonform''', wenn es eine positive reelle Zahl <math>k</math> kleiner 1 gibt, so dass
:<math>\|\mu\|_{\infty} < k</math>
gilt. Dabei ist
:<math>\mu = \frac{f_{\bar{z}}}{f_z}=\frac{\partial_{\bar{z}}f}{\partial_z f}</math>
die '''komplexe Dilatation''', auch '''Beltrami-Koeffizient''' genannt.

Die ''Dilatation'' von ''f'' im Punkt ''z'' ist definiert als

:<math>K(z) = \frac{1+|\mu(z)|}{1-|\mu(z)|}.</math>

Das [[Supremum]]

:<math>K = \sup_{z\in D} |K(z)| = \frac{1+\|\mu\|_\infty}{1-\|\mu\|_\infty}</math>

ist die Dilatation von ''f''.

== Beltrami-Gleichung ==
Sei k eine positive [[reelle Zahl]] kleiner 1. Die [[partielle Differentialgleichung]]

<math>
\partial_{\bar{z}}f=\mu(z)\partial_z f,
</math>

wobei <math>\mu(z)</math> eine [[integrierbare Funktion]] mit <math>\|\mu\|_{\infty} < k </math> ist, heißt Beltrami-Gleichung.

== Hauptsatz ==
Auf der [[Riemannsche Zahlenkugel|riemannschen Zahlenkugel]] gilt, dass die Lösungen der Beltrami-Gleichung genau die quasikonformen Abbildungen sind.

Als Anwendung dieses Satzes kann man zeigen, dass alle [[fastkomplexe Struktur|fastkomplexen Strukturen]] auf der 2-Sphäre und auf allen anderen zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten integrabel sind, d. h., alle fastkomplexen Strukturen sind komplexe Strukturen.

== Literatur ==
* C. B. Morrey: ''On the solutions of quasilinear elliptic partial differential equations''. Trans. Amer. Math. Soc., Bd. 43, 1938, Seiten 126–166.
* V. Gol'dshtein, Yu. G. Reshet'nyak: ''Quasiconformal mappings and Sobolev spaces''. Kluwer, 1990 (übersetzt aus dem Russischen).
* A. Bejancu: ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Quasi-conformal_mapping Quasi-conformal mapping]''. In: Hazewinkel, Michiel: ''[[Encyclopaedia of Mathematics]]''. Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.
* Papadopoulos, Athanase, ed. (2007), Handbook of Teichmüller theory. Vol. I, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 11, European Mathematical Society (EMS), Zürich, {{DOI|10.4171/029}}, ISBN 978-3-03719-029-6, MR2284826
* Papadopoulos, Athanase, ed. (2009), Handbook of Teichmüller theory. Vol. II, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 13, European Mathematical Society (EMS), Zürich, {{DOI|10.4171/055}}, ISBN 978-3-03719-055-5, MR2524085
[[Kategorie:Funktionentheorie]]

Quasikonforme Abbildung - Versionsgeschichte

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