imported>SeGiba: /* Definitionen */ Da der Begriff vorher nicht definiert wurde, "Quasi-Einbettung" durch "quasi-isometrische Einbettung" ersetzt (Ich halte Quasi-Einbettung auch nicht für einen üblichen Begriff.)

2026-01-15T15:50:15Z

Definitionen: Da der Begriff vorher nicht definiert wurde, "Quasi-Einbettung" durch "quasi-isometrische Einbettung" ersetzt (Ich halte Quasi-Einbettung auch nicht für einen üblichen Begriff.)

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Der Begriff der '''Quasi-Isometrie''' dient in der [[Mathematik]] dazu, die „grobe“ globale Geometrie [[Metrischer Raum|metrischer Räume]] zu untersuchen. Er spielt in zahlreichen Gebieten der Geometrie, Analysis und [[Geometrische Gruppentheorie|geometrischen Gruppentheorie]] eine wichtige Rolle, etwa in der Theorie der [[Hyperbolische Gruppe|hyperbolischen Gruppen]] oder in Beweisen von Starrheitssätzen.

== Definitionen ==
Seien <math>(M_1,d_1)</math> und <math>(M_2,d_2)</math> zwei [[Metrischer Raum|metrische Räume]].

* Eine (nicht notwendig stetige) Abbildung <math>f \colon M_1 \to M_2</math> ist eine ''quasi-isometrische Einbettung,'' wenn es Konstanten <math>A \ge 1</math> und <math>B \ge 0</math> gibt derart, dass<math>\frac{1}{A}\; d_1(x,y)-B\leq d_2(f(x),f(y))\leq A\; d_1(x,y)+B\quad\mbox{für alle}\; x,y\in M_1</math>.
* Zwei Abbildungen <math>f,g \colon M_1 \to M_2</math> haben ''endlichen Abstand'', falls <math>\sup_{x\in M_1}d_2(f(x),g(x)) < \infty</math>.
* Zwei Abbildungen <math>f \colon M_1 \to M_2</math> und <math>g \colon M_2 \to M_1</math> sind ''quasi-invers'' zueinander, wenn <math>g \circ f</math> und <math>id_{M_1}</math> sowie <math>f \circ g</math> und <math>id_{M_2}</math> jeweils endlichen Abstand haben.
* Eine Abbildung <math>f : M_1 \to M_2</math> ist eine ''Quasi-Isometrie'', wenn sie eine quasi-isometrische Einbettung ist und es eine zu <math>f</math> quasi-inverse quasi-isometrische Einbettung <math>g : M_2 \to M_1</math> gibt.

* Die Räume <math>(M_1,d_1)</math> und <math>(M_2,d_2)</math> sind ''quasi-isometrisch,'' wenn es eine Quasi-Isometrie <math>f \colon M_1 \to M_2</math> gibt.<ref>Clara Löh: ''Geometric Group Theory,'' Springer-Verlag 2017, ISBN 978-3-319-72253-5, Definition 5.1.6</ref>

== Eigenschaften ==
* Die [[identische Abbildung]] auf einem metrischen Raum ist eine Quasi-Isometrie.
* Die [[Komposition (Mathematik)|Verkettung]] von quasi-isometrischen Einbettungen (Quasi-Isometrien) ist wieder eine quasi-isometrische Einbettung (Quasi-Isometrie).
* Eine Abbildung, die einen endlichen Abstand von einer quasi-isometrischen Einbettung (Quasi-Isometrie) hat, ist wieder eine quasi-isometrische Einbettung (Quasi-Isometrie).
* Eine Quasi-Einbettung zwischen metrischen Räumen ist genau dann eine Quasi-Isometrie, wenn sie quasi-dicht ist, was wie folgt definiert ist: Eine Abbildung <math>f \colon M_1 \to M_2</math> zwischen metrischen Räumen ist ''quasi-dicht,'' wenn eine Konstante <math>C \ge 0</math> existiert so, dass es für jedes <math>u \in M_2</math> ein <math>x \in M_1</math> mit <math>d_2(u,f(x)) \le C</math> gibt.<ref>Clara Löh: ''Geometric Group Theory,'' Springer-Verlag 2017, ISBN 978-3-319-72253-5, Proposition 5.1.10</ref>
== Beispiele ==
[[Datei:Real number line.svg|mini|350px|Die Einbettung <math>\Z \to \R</math> ist eine Quasi-Isometrie]]
Jeder beschränkte metrische Raum ist quasi-isometrisch zum Punkt.

Die Einbettung <math>f \colon \Z^n \to \R^n</math> ist eine Quasi-Isometrie für die [[euklidische Metrik]] auf <math>\Z^n</math> und <math>\R^n</math>. Man kann in obiger Definition <math>A=1</math>, <math>B=0</math> und <math>C=1</math> setzen.

Die zu verschiedenen endlichen [[Erzeugendensystem]]en <math>S_1</math>, <math>S_2</math> einer [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] <math>G</math> zugeordneten [[Cayley-Graph]]en sind quasi-isometrisch.

[[Albert S. Schwarz|Švarc]]-[[John Willard Milnor|Milnor]]-Lemma: Wenn eine endlich erzeugte Gruppe <math>G</math> [[G-Raum#Kokompakte Wirkung|kokompakt]] und [[G-Raum#Eigentlich diskontinuierliche Wirkung, Diskontinuitätsbereich|eigentlich diskontinuierlich]] durch Isometrien auf einer [[Riemannsche Mannigfaltigkeit|riemannschen Mannigfaltigkeit]] <math>Y</math> wirkt, dann ist (der Cayley-Graph von) <math>G</math> quasi-isometrisch zu <math>Y</math>. (Siehe auch [[Satz von Švarc-Milnor]].)

Mit <math>Y=\widetilde{X}</math> erhält man daraus insbesondere: Die [[Fundamentalgruppe]] <math>\pi_1X</math> einer kompakten riemannschen Mannigfaltigkeit <math>X</math> ist quasi-isometrisch zur [[Universelle Überlagerung|universellen Überlagerung]] <math>\widetilde{X}</math>.

== Kategorien ==
Die metrischen Räume mit den quasi-isometrischen Einbettungen bilden nach obigen Eigenschaften eine [[Kategorientheorie|Kategorie]]. Diese ist allerdings für Quasi-Isometrien nicht interessant, da ihre Isomorphismen bijektiv sein müssen und daher viele wichtige Quasi-Isometrien keine Isomorphismen sind, wie zum Beispiel die in den obigen Beispielen genannte Quasi-Isometrie zwischen <math>\Z^n</math> und <math>\R^n</math>.

Man geht daher zu einer Kategorie über, in der die metrischen Räume immer noch die Objekte sind, aber die Morphismen [[Äquivalenzklasse]]n quasi-isometrischer Einbettungen sind. Dabei heißen zwei quasi-isometrische Einbettungen äquivalent, wenn sie endlichen Abstand haben; dies definiert offenbar eine Äquivalenzrelation. Bezeichnet <math>[f]</math> die Äquivalenzklasse der quasi-isometrischen Einbettung <math>f</math>, so ergeben die Definitionen
* <math>1_M := [\mathrm{id}_M]</math>
* <math>[f] \circ [g] := [f\circ g]</math> ([[Wohldefiniertheit]]!)
eine Kategorie. In dieser Kategorie sind die [[Isomorphismus#Kategorientheorie|Isomorphismen]] genau die Äquivalenzklassen von Quasi-Isometrien. Die in dieser Kategorie gebildete [[Automorphismengruppe]] eines metrischen Raums heißt dessen ''Quasi-Isometrie-Gruppe''.<ref>Clara Löh: ''Geometric Group Theory,'' Springer-Verlag 2017, ISBN 978-3-319-72253-5, Remark 5.1.12 und Definition 5.1.13</ref>

== Literatur ==
* Clara Löh: ''[https://loeh.app.uni-regensburg.de/teaching/ggt_ws1415/lecture_notes.pdf Geometric group theory, an introduction.]'' Skript zur Vorlesung Geometrische Gruppentheorie an der Universität Regensburg, 2015. (Engl.; PDF; 1,3 MB), Kapitel 5.
* [[Michael Kapovich]]: ''[https://www.math.ucdavis.edu/~kapovich/EPR/pc_lectures3.pdf Lectures in quasi-isometric rigidity.]'' (Engl.; PDF; 319 kB).

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Differentialgeometrie]]
[[Kategorie:Fraktale Geometrie]]
[[Kategorie:Geometrische Topologie]]
[[Kategorie:Metrische Geometrie]]
[[Kategorie:Geometrische Gruppentheorie]]

Quasi-Isometrie - Versionsgeschichte

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