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Das '''Quantisierungstheorem''' liefert im Rahmen der [[Signaltheorie]] bei der [[Quantisierung (Signalverarbeitung)|Quantisierung]], dies ist die Überführung von einem wertkontinuierlichen Signal in ein wertdiskretes Signal, eine Aussage über die fehlerfreie Rekonstruierbarkeit des ursprünglichen wertkontinuierlichen Signals. Es stellt das Pendant zu dem [[Nyquist-Shannon-Abtasttheorem]] dar, welches die Grenzen zur fehlerfreien Rekonstruktion im Zeitbereich bei der [[Abtastung (Signalverarbeitung)|Abtastung]] beschreibt. Das Quantisierungstheorem wurde 1961 von [[Bernard Widrow]] mit Hilfe der [[Fouriertransformation]] von [[Verteilungsdichte]]n formuliert und ist dem Bereich der statistischen Signalverarbeitung zuzuordnen.<ref name="widlar61" />

== Beschreibung ==
[[Datei:Quantisierungstheorem.svg|mini|hochkant=2|Zonenabtastung und Spektraldarstellung]]
Ein amplitudenkontinuierliches und bandbegrenztes Signal <math>x</math> mit einer Verteilungsdichtefunktion <math>p_X(x)</math>, wie in der Abbildung rechts dargestellt, wird durch den Quantisierer Q in ein amplitudendiskretes Signal <math>y</math> mit der Verteilungsdichtefunktion <math>p_Y(y)</math> übergeführt. Die kontinuierliche Verteilungsfunktion <math>p_X(x)</math> wird durch Integration über die einzelnen Quantisierungsintervalle mit der Breite Q, in der Skizze begrenzt durch die strichlierten Bereiche, in eine diskrete Verteilungsdichtefunktion <math>p_Y(y)</math> umgewandelt. Die beiden zugehörigen [[Frequenzspektrum|Frequenzspektren]] <math>P_X(u)</math> und <math>P_Y(u)</math> der Verteilungsdichtefunktionen, welche durch die Fouriertransformation und die [[Fouriertransformation#Diskrete Fourier-Transformation|diskrete Fourier-Transformation]] <math>\mathcal{F}</math> gebildet werden, sind in der Skizze rechts mit roten Verlauf beispielhaft dargestellt. Durch die Diskretheit der Verteilungsdichtefunktion <math>p_Y(y)</math> weist das zugehörige Spektrum <math>P_Y(u)</math> eine [[periodische Fortsetzung]] mit der Quantisierungsfrequenz <math>u_0</math> auf.

Das Quantisierungstheorem besagt nun, dass wenn die Quantisierungsfrequenz <math>u_0</math> mit:

:<math>u_0 = \frac{2 \pi}{Q}</math>

doppelt so groß wie die höchste Frequenzkomponente in <math>P_X(u)</math> ist, sich dann die einzelnen Frequenzkomponenten <math>P_Y(u)</math> der zeitdiskreten Verteilungsdichtefunktion nicht überlappen. Dieser Fall ist in der Abbildung rechts unten dargestellt. Nur dann ist eine Rekonstruktion der wertkontinuierlichen Verteilungsdichtefunktion <math>p_X(x)</math> aus der quantisierten Verteilungsdichtefunktion <math>p_Y(y)</math> möglich.

Ist die doppelte Quantisierungsfrequenz kleiner als doppelte Frequenzkomponente in <math>P_X(u)</math>, kommt es zu einer spektralen Überlappung bei der Verteilung der diskreten Verteilungsdichtefunktion und eine fehlerfreie Abbildung auf die wertkontinuierliche Verteilungsdichtefunktion ist nicht möglich.

== Quellen ==
<references>
<ref name="widlar61">
{{Literatur
|Autor=Bernhard Widrow
| Titel = Statistical analysis of amplitude-quantized sampled-data systems
| Sammelwerk = Transactions of the [[American Institute of Electrical Engineers]], Part II: Applications and Industry
| Band = 79
| Datum = 1961
| Nummer = 6
| Seiten = 555–568
| DOI= 10.1109/TAI.1961.6371702
| Online= [https://isl.stanford.edu/~widrow/papers/j1961statisticalanalysis.pdf PDF]}}
</ref>
</references>

== Literatur ==
*{{Literatur
|Autor=Bernard Widrow, István Kollár
|Titel=Quantization Noise: Roundoff Error in Digital Computation, Signal Processing, Control, and Communications
|Verlag=Cambridge University Press
|Datum=2008
|ISBN=978-0-521-88671-0}}

[[Kategorie:Digitale Signalverarbeitung]]

Quantisierungstheorem - Versionsgeschichte

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