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2025-03-01T09:13:33Z

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Die '''Quantisierungsabweichung''' oder der '''Quantisierungsfehler''' ist die Abweichung, die bei der [[Quantisierung (Signalverarbeitung)|Quantisierung]] von analogen Größen entsteht (z. B. bei der [[Analog-Digital-Umsetzung]]).
Während [[Analogsignal|analoge Signale]] dem [[Zielmenge|Wertebereich]] der [[Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] genügen, werden in der [[Stellenwertsystem|digitalen Darstellung]] nur [[Diskrete Mathematik|diskret]]e Werte verwendet. Daher ist mit der Quantisierung eine [[Rundung]] verbunden, die eine Abweichung verursacht.
[[Datei:QuantErr.svg|mini|hochkant=2.2|'''Beispiel für Quantisierung und Quantisierungsfehler''' █ ursprüngliches Signal, █ quantisiertes Signal, █ Quantisierungsabweichung.]]

== Definition ==
[[Datei:DMT Dig-Näherung.svg|mini|hochkant=1.5|Oben: Grenzfälle einer digitalen Darstellung anstelle einer analogen. Beide linear gestufte Kennlinien beginnen bei <math>U=0</math> mit <math>N=0</math>. Unten: die zugehörige Quantisierungsabweichung <math>F_q</math> . Diese Zeichnung verwendet die in verschiedenen anderen Disziplinen verwendete Definition: [[Fehler#Physik und Messtechnik|Fehler]] bzw. [[Messabweichung]] = ausgegebener minus wahrer oder richtiger Wert.<ref name="Tr">H-R. Tränkler: ''Taschenbuch der Messtechnik.'' 2. Auflage. 1990, S. 127.</ref><ref name="Bm">K. Bergmann: ''Elektrische Messtechnik.'' 6. Auflage. 2000, S. 24, S. 30.</ref><ref>Karl Dirk Kammeyer, Kristian Kroschel: ''Digitale Signalverarbeitung: Filterung und Spektralanalyse mit MATLAB-Übungen.'', 7. Auflage. 2009, S. 126.</ref><ref>Bronstein-Semendjajew: ''Taschenbuch der Mathematik.'' 19. Auflage. 1979, S. 151.</ref><ref>DIN 1319-1 ''Grundlagen der Messtechnik; Grundbegriffe.'' 1995, Nr. 5.11.</ref>]]
Die Quantisierungsabweichung <math>e_q</math> ist die Differenz zwischen dem Eingangswert <math>x</math> und dem quantisierten Wert <math>\hat x</math>:
<ref name="proakis">{{Literatur
| Autor=John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis
| Titel=Digital Signal Processing
| Auflage=3. | Verlag=Prentice Hall | Jahr=1996 | Kapitel= Kapitel 9.2 | Seiten=751 ff | ISBN=0-13-394289-9 }}</ref>
<ref>{{Literatur
| Autor= Roman Kuc
| Titel=Introduction to Digital Signal Processing
| Verlag=BSP, Wiley | Jahr=1982 | Seiten=395 f | ISBN=81-7800-168-3 }}</ref>

:<math>e_q = x - \hat x</math>.

Die Reihenfolge, welcher Wert von welchem abzuziehen ist, ist allerdings in der Literatur nicht einheitlich. Der „granulare Fehler“ (von {{enS|''granular error''}}) kann allgemein nicht größer werden als das zugehörige Quantisierungsintervall, sonst läge er im benachbarten Intervall.

:<math>|e_q| \le \Delta</math>

Bei einer gleichförmigen [[Quantisierungskennlinie]] mit der Intervallbreite <math>\Delta</math> ist nicht von vornherein festgelegt oder bekannt, wo der Nullpunkt innerhalb der Stufe 0 liegt. Wenn aber seine Lage als bekannt vorausgesetzt werden kann, wird aus der 2 Digit breiten Spanne in verstehender Ungleichung ein Intervall der Breite von 1 Digit. Im ersten Bild liegt der Nullpunkt in der Mitte der Stufe. Dann liegt die Quantisierungsabweichung durch das Runden bis zur Quantisierungsstufe immer im Intervall

:<math>- \frac \Delta 2 < e_q \le \frac \Delta 2</math>.

Den allgemeineren Fall zeigt das zweite Bild. Man erkennt die Abweichung am Abstand zwischen der gestuften Kennlinie und der ungestuften geneigten Geraden. Der Stufenhöhe von einem [[Digit (Digitaltechnik)|Digit]] (Ziffernschritt auf der niederwertigsten Stelle der ganzen Zahl <math>N</math>) entspricht die Stufenbreite <math>U_q</math>. Die vertikale Abweichung liegt in der rechten Bildhälfte im Bereich 0 … –1 Digit. Wenn bei <math>U=0</math> als quantisierter Wert eine Null entsteht, ist die seitliche Lage der Treppenfunktion noch um (fast) eine Stufenbreite unbestimmt; die Abweichung kann auch wie in der linken Bildhälfte bei +1 Digit … 0 liegen oder beliebig dazwischen, z. B. im Bereich −0,5 … +0,5 Digit.

== Beispiele ==
=== Analog-Digital-Umsetzer ===
Ein 10-Bit-Umsetzer mit linearer Quantisierungskennlinie, der in <math>N_\text{max}</math> = 210 = 1024 [[Quantisierungsstufe]]n auflöst, soll eine [[elektrische Spannung]] <math>U</math> umsetzen in einem Bereich 0 bis 10,24 V. Dieses erfordert eine Schrittweite von <math>U_q =\frac{10{,}24\,\mathrm V}{2^{10}} = 10\,\mathrm{mV}</math>.

Mit einer Zahl <math>N</math> werden die Stufen fortlaufend durchnummeriert, wobei <math>0 \le N \le N_\text{max} -1</math> ist. Dann ist der durch die Stufung gerundete Wert
:<math>U_\text{gestuft} = N\cdot U_q</math>.
Der Wert <math>N\cdot U_q</math> weicht vom wahren Wert <math>U</math> ab um die Quantisierungsabweichung
:<math>F_q = N \cdot U_q - U</math>.

=== Digitalmultimeter ===
Bei [[Messgerät]]en mit [[Anzeige (Technik)|Ziffernanzeige]] ist der Nullpunkt innerhalb der Breite einer Stufe der Kennlinie anhand der Null-Anzeige nicht justierbar (''Nullpunktsabweichung''). Zusammengefasst mit der Quantisierungsabweichung ist bei der Ablesung eines Messwertes eine [[Messgeräteabweichung]] bis ± 1 Ziffernschritt selbst bei sonst fehlerfreiem Betrieb zu beachten.

Der durch die Quantisierung verursachte Anteil an der absoluten [[Fehlergrenze]] eines Messgerätes ist also eine Konstante und beträgt <math>U_q</math> oder im numerischen Abbild 1 Digit. Gelegentlich wird auch eine Angabe in Bezug zum [[Messbereichsendwert]] <math>U_\text{MB}</math> verwendet –
: Beispiel: 0,05 % v.E., wenn der Messbereich von 0 bis <math>U_\text{MB}</math> in 2000 Schritte aufgelöst wird.

Die zugehörige relative Fehlergrenze beträgt <math>1/ N_\text{max}</math> und wird umso kleiner, je größer die Zahl <math>N_\text{max}</math> ist.

== Quantisierungsrauschen ==
[[Datei:Pcm.svg|mini|hochkant=1.5|Die Abweichung der '''Abtastwerte''' vom '''Ursprungssignal''' kann als Rauschen beschrieben werden und nimmt je nach Anwendung auch wie ein solches Einfluss.]]
Wenn für das Eingangssignal einige Annahmen gemacht werden können, kann die Quantisierungsabweichung auch als [[stochastischer Prozess]] modelliert werden – dem '''Quantisierungsrauschen''' oder der ''Quantisierungsverzerrung''.<ref>IEC 60050, deutschsprachige Ausgabe bei [https://www.dke.de/de/services/iev-woerterbuch/iev-schablonen-detailseite?id=51153&type=dke%7Ciev DKE Deutsche Kommission Elektrotechnik Elektronik Informationstechnik in DIN und VDE: ''Internationales Elektrotechnisches Wörterbuch''], IEV-Nummer 702-07-69.</ref> Dabei wird angenommen, dass die Abweichung [[Stetige Gleichverteilung|stetig gleichverteilt]], [[Weißes Rauschen (Physik)|weiß]], [[Stationärer stochastischer Prozess|stationär]] und [[Korrelation|unkorreliert]] zum Eingangssignal ist. Weiterhin wird für das Eingangssignal angenommen, dass es [[Mittelwertfreiheit|mittelwertfrei]] und stationär ist. Diese Annahme trifft in der Praxis z. B. auf Sprache oder Musik zu und vor allem dann, wenn eine hinreichend hohe Quantisierungsauflösung verwendet wird.<ref>K.-D. Kammeyer: ''Nachrichtenübertragung.'' 3. Auflage. Teubner, 2004, ISBN 3-519-26142-1.</ref>

Dieses Rauschsignal wird zum Eingangssignal addiert (an Stelle der Quantisierung) und ergibt sodann den quantisierten Wert:
:<math>\hat x(t) = x(t) + e_q(t)</math>

Auf diese Weise kann der Quantisierer als [[LTI-System]] beschrieben und analysiert werden.

Um den [[Signal-Rausch-Verhältnis|Signal-Rausch-Abstand]] bei einem Signal möglichst hoch zu halten, werden Signale mit kleineren Amplituden bei Bedarf feiner und größere Amplituden gröber aufgelöst, was auch als [[Quantisierungskennlinie#Nichtlineare Quantisierung|nichtlineare Quantisierung]] bezeichnet wird.

=== Signal- zu (Quantisierungs)Rausch-Verhältnis ===
Bei der Angabe des [[Signal-Rausch-Verhältnis]]ses wird üblicherweise von einem voll ausgesteuerten (auf 1 normierten) sinusförmigen Eingangssignal ausgegangen. Dessen [[Leistung (Physik)#Definitionen|mittlere Leistung]] beträgt
:<math>P_A =\frac12 \hat u^2= \frac12</math>.

Die mittlere Leistung bei einer gleichverteilten Quantisierungsabweichung entspricht der [[Stetige Gleichverteilung#Varianz|Varianz der Gleichverteilung]]:
:<math>\sigma^2 = \frac{q^2}{12}</math>.

Hiermit erhält man
:<math>\text{SNR} = \frac{P_A}{\sigma^2} = \frac{1/2}{q^2/12} = \frac6{q^2}</math>
oder als logarithmisches Verhältnis (gemäß Schreibweise wie in<ref>DIN EN 60027-3:2007 ''Formelzeichen für die Elektrotechnik – Logarithmische und verwandte Größen in ihre Einheiten''</ref>)
:<math>Q_\text{(SNR)} = 10\;\lg\frac{P_A}{\sigma^2}\;\mathrm{dB}</math>.
Dabei ist <math>q</math> die Breite der Quantisierungsintervalle bei linearer Quantisierungskennlinie; bei Kodierung mit <math>n</math> Bits pro Sample ist hier <math>q = 2^{1-n}</math>, da hier von −1 bis 1 quantisiert wird (das sinusförmige Eingangssignal ist auf 1 normiert).

Dies eingesetzt liefert die meistens übliche Formel:
:<math>Q_\text{(SNR)} =10\,\lg(1{,}5 \cdot 2^{2 \cdot n})\,\mathrm{dB} = n \cdot 6{,}02\,\mathrm{dB + 1{,}76\,dB}</math>
Somit hätte ein 16-bit-AD-Umsetzer bei sinusförmigem Eingangssignal und Vollpegel einen [[Signal-Rausch-Verhältnis|Signal-Rausch-Abstand]] von 98,1 dB. Wesentlich ist, dass diese Berechnung nur unter den oben genannten Voraussetzungen gültige Ergebnisse liefert und diese Gleichung keine allgemein gültige Lösung zum Berechnen des Quantisierungsrauschens darstellt. Bei AD-Umsetzern mit nichtlinearer Kennlinie, wie sie beispielsweise bei dem [[A-law]]-Verfahren im Bereich der Telekommunikation eingesetzt werden, gilt aufgrund der nichtlinearen [[Übertragungsfunktion]] die hergeleitete Beziehung des Quantisierungsrauschens nicht.

Wenn nicht als Referenz der Effektivwert der Spannung des Signals im Verhältnis zum Effektivwert des Rauschens betrachtet wird, sondern der [[Spitze-Tal-Wert]] der Spannung des Signals im Verhältnis zum Effektivwert des Rauschens (bei Video üblich), gilt
:<math>Q_\text{(SNR)} = n\cdot \mathrm{6{,}02\,dB + 10{,}78\,dB}</math>
Bei realen Umsetzern reduzieren sich die Werte durch zusätzliche Abweichungen des Umsetzers. Ein weiterer Aspekt ist, dass in der Praxis das Rauschen häufig bewertet (z. B. [[Frequenzbewertung|DIN-A]] oder CCIR-468) oder bandbegrenzt (z. B. 0 Hz … 20 kHz) wird.

=== Erhöhung des SNR durch Überabtastung ===
{{Siehe auch|Delta-Sigma-Wandler}}

Durch eine Kombination von [[Überabtastung]] und [[Tiefpass]]filterung nach der Quantisierung – ggf. zusätzlich noch [[Rauschformung]] – lässt sich das SNR weiter erhöhen.<ref name="AD" />

:<math>Q_\text{(SNR)} = n \cdot 6{,}02\,\mathrm{dB} + 1{,}76\,\mathrm{dB} + 10\,\lg \left( \frac{f_\text{sample}}{2\cdot B} \right)</math>

(<math>n</math>: Anzahl der Bits, <math>f_\text{sample}</math>: Abtastfrequenz, <math>B</math>: Bandbreite des Eingangssignals)

=== Quantisierungsrauschen bei nicht sinusförmigen Signalen ===
Soll das Quantisierungsrauschen nicht nur bei sinusförmigen Signalen ermittelt werden, lässt sich für beliebige, stationäre Signale und bei linearem A/D-Umsetzer auch folgende, verallgemeinerte Berechnung für das Quantisierungsrauschen bei Vollpegel ermitteln:
:<math>Q_\text{(SNR)} = n \cdot 6{,}02\,\mathrm{dB} + 4{,}77\,\mathrm{dB} - 20 \cdot \lg\left(\frac{A_{\text{peak}}}{A_{\text{eff}}}\right)</math>

Dabei stellt <math>A_{\text{peak}}</math> den Spitzenwert des Nutzsignals und <math>A_{\text{eff}}</math> den [[Effektivwert]] dar. Bei einem sinusförmigen Signal ist die Beziehung zwischen Spitzenwert und Effektivwert <math>A_{\text{peak}}/A_{\text{eff}} = \sqrt{2}</math>, was nach Einsetzen auf obige Gleichung führt.

Bei typischen Audiosignalen wie Musik und Sprache kann mit einem Faktor von rund 4 als Relation zwischen Spitzenwert und Effektivwert in guter Näherung gerechnet werden. Damit ist bei sonst gleichen Parametern der Signal-Rausch-Abstand infolge des Quantisierungsrauschen bei einem Sprachsignal um etwa 9 dB schlechter als bei einem rein sinusförmigen Signal.

=== Beispiele ===
[[Datei:Amplqrp.png|mini|hochkant=1.5|Spannungsverlauf bei 1-Bit-(oben) und 4-Bit-Quantisierung.]]
Das Diagramm zeigt den Spannungsverlauf zweier Signale. Das untere wurde mit 4 Bits quantisiert, entsprechend 16 unterschiedlichen Werten. Für das obere Signal stand 1 Bit mit entsprechend 2 verschiedenen Spannungswerten zur Verfügung.

Der Abstand zwischen Nutzsignalleistung und [[Rauschleistung]] bei 1-Bit-Quantisierung beträgt in diesem Beispiel fast 8 dB. Es liegt oberhalb der Rauschschwelle, die für Sprachverständlichkeit erforderlich ist. Auch bei einer Abtastung mit nur zwei verschiedenen Spannungswerten bleibt Sprache verständlich. Selbst Lautstärkemodulationen bleiben erkennbar.

Klangbeispiele:
* Signal mit 8 Bit Abtastung, ca. 50 dB Signal-Rausch-Abstand:
*:{{Audio|amplecartia.ogg|Das Ausgangssignal, ein Auszug aus einem gesprochenen Text.}} ([[Ockhams Rasiermesser]])
*: [[Datei:amplecartia.ogg]]

* Signal mit 4 Bit, ca. 26 dB:
*: {{Audio|ampl4rp.ogg|Signal nach 4-Bit-Quantisierung}}
*: [[Datei:ampl4rp.ogg]]
* Signal mit 1 Bit, ca. 8 dB:
*:{{Audio|ampl1rp.ogg|Signal nach 1-Bit-Quantisierung}}
*: [[Datei:ampl1rp.ogg]]

== Literatur ==
* Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer: ''Zeitdiskrete Signalverarbeitung.'' 3. durchgesehene Auflage. Oldenbourg Verlag, München u. a. 1999, ISBN 3-486-24145-1.

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="AD">{{internetquelle
| autor=Walt Kester
| hrsg=Analog Devices
| url=https://www.analog.com/media/en/training-seminars/tutorials/MT-001.pdf
| format=pdf
| sprache=englisch
| titel=Taking the Mystery out of the Infamous Formula, "SNR = 6.02N + 1.76dB," and Why You Should Care
| seiten=7
| datum=2009
| zugriff=2014-03-10
}}</ref>
</references>

[[Kategorie:Digitale Signalverarbeitung]]
[[Kategorie:Messabweichung]]

Quantisierungsabweichung - Versionsgeschichte

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