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2025-07-01T22:01:44Z

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Ein '''Quantil-Quantil-Diagramm''', kurz '''Q-Q-Diagramm''' ({{enS|''quantile-quantile plot''}}, kurz ''Q-Q-Plot'') ist ein exploratives, grafisches Werkzeug, in dem die [[Empirisches Quantil|Quantile]] zweier statistischer Variablen gegeneinander in einem [[Parameterdarstellung|parametrischen Plot]] aufgetragen werden, um ihre [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|Verteilungen]] zu vergleichen.

Ein '''P-P-Diagramm''' bzw. '''Probability-Probability-Plot''' ist ein exploratives, grafisches Werkzeug, in dem die [[Verteilungsfunktion]]en zweier statistischer Variablen gegeneinander abgetragen werden, um ihre [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|Verteilungen]] zu vergleichen.

== Q-Q-Diagramm ==
=== Vergleich der Verteilung zweier statistischer Merkmale ===

Die Beobachtungswerte zweier [[Merkmal]]e, deren Verteilung man vergleichen will, werden jeweils ''der Größe nach geordnet''. Diese geordneten Daten werden zu Wertepaaren zusammengefasst und in einem [[Koordinatensystem]] abgetragen. Das Sortieren und Bilden der Wertepaare impliziert, dass die Wertepaare ursprünglich nicht zusammengehörten. Deshalb kann die Grafik nur eine Aussage über die Verteilung der Merkmale machen, aber nicht über einen eventuellen Zusammenhang (Korrelation). Ergeben die Punkte (annähernd) eine Gerade, kann man vermuten, dass den beiden Merkmalen die gleiche Verteilung zu Grunde liegt. Problematisch ist das Verfahren, wenn von den beiden Merkmalen unterschiedlich viele Beobachtungen vorliegen. Hier kann mit [[Interpolation (Mathematik)|Interpolationsverfahren]] abgeholfen werden.

Angegeben ist hier ein Beispiel für ca. 110 Kriegsschiffe bei Ausbruch des Zweiten Weltkriegs. Erhoben wurden die Variablen Länge und Breite. Das [[Streudiagramm]] zeigt, dass es offensichtlich zwei unterschiedliche Gruppen gibt, die sich deutlich als Cluster abheben. Für das Quantil-Quantil-Diagramm wurden die Daten standardisiert, um die Vergleichbarkeit zu erleichtern. Man sieht an der Lücke in der Punktkurve das Zerfallen der Daten in zwei Cluster. Für den Cluster unten links scheint der Typ der Verteilung für beide Variablen gleich zu sein. Für den zweiten Cluster oben rechts ist die Breite im Vergleich zum ersten Cluster tendenziell größer. Die „Ausbeulung“ des Plots zeigt, dass hier die Verteilungen von Länge und Breite ungleich sind.
{|
|[[Bild:WarshipsScatter.png|250px|mini|Streudiagramm der Variablen Länge und Breite]]
|[[Bild:WarshipsQQPlot.png|250px|mini|Q-Q-Diagramm der Variablen Länge und Breite]]
|}

=== Überprüfung der Verteilung eines Merkmals ===
[[Datei:Qqnormexp.png|mini|300px|Q-Q-Diagramm mit großen Abweichungen zwischen den Verteilungen]]
[[Datei:WarshipsWidthQQPlot.png|mini|300px|Q-Q-Diagramm der Breite von Kriegsschiffen verglichen mit der Normalverteilung]]
[[Datei:WarshipsWidthDetrendedQQPlot.png|mini|300px|Trendbereinigtes Q-Q-Diagramm der Breite von Kriegsschiffen verglichen mit der Normalverteilung]]

Die Beobachtungswerte eines Merkmals werden der Größe nach geordnet. Als Vergleich dienen die Quantile der theoretischen Verteilung, die dem entsprechenden Verteilungswert zugehören.<ref>Peter P. Eckstein: [https://books.google.de/books?id=8Z2RCwAAQBAJ&pg=PA97&lpg=PA97&dq=q-q-diagramm&source=bl&ots=MRWQGO94sg&sig=nLZFne0ensQYz_MhkyQPHt5ymbI&hl=de&sa=X&ved=0ahUKEwiE6KnY38vTAhWLAMAKHbfuBfI4FBDoAQglMAA#v=onepage&q=q-q-diagramm&f=false ''Angewandte Statistik mit SPSS''], S. 97</ref> Wenn die Merkmalswerte aus der Vergleichsverteilung stammen, stimmen die empirischen und die theoretischen Quantile annähernd überein. In einem [[Parameterdarstellung|parametrischen Plot]] der p-Quantile und der empirischen p-Quantile liegen die so gepaarten Daten annähernd auf einer Diagonalen (und es liegt ein hoher [[Rangkorrelationskoeffizient]] vor).

Große systematische Abweichungen von dieser Diagonalen geben einen Hinweis darauf, dass sich die theoretische und empirische Verteilung voneinander unterscheiden. Das Quantil-Quantil-Diagramm kann jedoch keinen [[Verteilungstest]] ersetzen.

==== Formale Definition ====
Zu jeder der <math>n</math> Beobachtungen <math>x_i</math> wird ein empirischer [[Empirisches Quantil|Unterschreitungsanteil]] <math>p_i=F_{\text{empirisch}}(x_i)</math> bestimmt. Mit Hilfe der inversen Verteilungsfunktion (oder [[Quantilfunktion]]) der theoretischen Verteilung wird das [[Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Quantil]]

:<math>y_i = F^{-1}_{\text{theoretisch}}(p_i)</math>

berechnet. Geplottet wird nun <math>x_i</math> versus <math>y_i</math>.

Die Berechnung des Unterschreitungsanteils <math>p_i</math> erfolgt mit Hilfe des [[Rang (Statistik)|Rangs]] <math>R(x_i)</math> der Beobachtung <math>x_i</math>:

{| class="wikitable"
! Methode
! Formel für <math>p_i</math>
! colspan="2" | <math>p_i</math> für
|-
! !! !!<math>R(x_i)=1</math>!!<math>R(x_i)=n</math>
|-
|Blom ||<math>\frac{R(x_i)-3/8}{n+1/4}</math>||<math>\frac{5}{8n+2}</math>||<math>\frac{8n-3}{8n+2}</math>
|-
|Rankit||<math>\frac{R(x_i)-1/2}{n}</math>||<math>\frac{1}{2n}</math>||<math>\frac{2n-1}{2n}</math>
|-
|Tukey||<math>\frac{R(x_i)-1/3}{n+1/3}</math>||<math>\frac{2}{3n+1}</math>||<math>\frac{3n-1}{3n+1}</math>
|-
|Van der Waerden||<math>\frac{R(x_i)}{n+1}</math>||<math>\frac{1}{n+1}</math>||<math>\frac{n}{n+1}</math>
|}

==== Trendbereinigtes Q-Q-Diagramm ====
Im trendbereinigten Quantil-Quantil-Diagramm werden statt <math>(x_i, y_i)</math> die Punkte <math>(x_i, x_i-y_i)</math> geplottet. Stimmen die empirische und die theoretische Verteilung überein, so liegen alle Punkte auf <math>(x_i, 0)</math>. Die Abweichungen <math>x_i-y_i</math> kommen nur von den Unterschieden zwischen der theoretischen und empirischen Verteilung. Im Quantil-Quantil-Plot gehen die Punkte im Diagramm immer von links unten nach rechts oben, d. h. Abweichungen zwischen der theoretischen und empirischen Verteilung werden hier im Verhältnis zum Wertebereich der theoretischen und empirischen Verteilung dargestellt. Das trendbereinigte Q-Q-Diagramm bietet also eine bessere Ansicht bezüglich der Struktur der Abweichungen als das Q-Q-Diagramm.

== P-P-Diagramm ==
[[Datei:WarshipsWidthPPPlot.png|mini|300px|P-P-Diagramm der Breite von Kriegsschiffen verglichen mit der Normalverteilung]]
[[Datei:WarshipsWidthDetrendedPPPlot.png|mini|300px|Trendbereinigtes P-P-Diagramm der Breite von Kriegsschiffen verglichen mit der Normalverteilung]]

=== Überprüfung der Verteilung eines Merkmals ===

Für die Beobachtungswerte werden die Unterschreitungsanteile <math>p_i</math> nach Blom etc. berechnet. Für die zu vergleichende Verteilung werden die Beobachtungswerte in die kumulierte theoretische Verteilungsfunktion eingesetzt. So erhält man den theoretischen Unterschreitungsanteil <math>t_i = F_{\text{theoretisch}}(x_i)</math>. Wenn die Merkmalswerte aus der Vergleichsverteilung stammen, stimmen die Werte von <math>p_i</math> und <math>t_i</math> annähernd überein, d. h. die Werte liegen auf einer Diagonalen.

Im Gegensatz zum Q-Q-Diagramm haben die Ränder der Verteilung beim P-P-Diagramm einen geringeren visuellen Einfluss. Der Probability-Probability-Plot kann jedoch nicht einen [[Verteilungstest]] ersetzen.

=== Trendbereinigtes P-P-Diagramm ===
Im trendbereinigten Probability-Probability-Plot werden statt <math>(p_i, t_i)</math> die Punkte <math>(p_i, p_i-t_i)</math> geplottet. Stimmen die empirische und die theoretische Verteilung überein, so liegen alle Punkte auf <math>(p_i, 0)</math>. Wie beim trendbereinigten Q-Q-Diagramm bietet diese Grafik eine bessere Übersicht über die Abweichungen.

== Anwendungsbeispiele ==
* Vergleich einer empirischen Häufigkeitsverteilung mit einer theoretischen bzw. hypothetischen Verteilung:
** Grafische Inspektion von [[Störgröße und Residuum|Regressionsresiduen]] auf Normalverteilung
** Optische Prüfung von Verteilungsvoraussetzungen vor der Durchführung eines parametrischen Testverfahrens

== Literatur ==
* Hartung, Joachim, Elpelt, Bärbel, Klösener, Karl-Heinz: ''Statistik.'' München 2002
* J. M. Chambers, W. S. Cleveland, Beat Kleiner, Paul A. Tukey: ''Graphical Methods for Data Analysis.'' Wadsworth, 1983.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Q-Q plot|Quantil-Quantil-Diagramm}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Diagramm (Statistik)]]
[[Kategorie:Datenanalyse]]

Quantil-Quantil-Diagramm - Versionsgeschichte

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