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Als '''Quantengruppe''' bezeichnet man in der mathematischen [[Gruppentheorie]] eine bestimmte Gattung von [[Hopf-Algebra|Hopf-Algebren]], nämlich Quantisierungen (d. h. nicht-triviale Deformationen) der einhüllenden [[Hopf-Algebra|Hopf-Algebren]] von [[Halbeinfache Lie-Algebra|halbeinfachen]] [[Lie-Algebra|Lie-Algebren]]. Alternativ kann man Quantengruppen als Deformationen von der Algebra der regulären Funktionen auf [[Algebraische Gruppe|algebraischen Gruppen]] betrachten.

Der Begriff wurde im Rahmen des [[Internationaler Mathematikerkongress|International Congress of Mathematicians]] 1986 in Berkeley von dem ukrainisch-US-amerikanischen Mathematiker [[Vladimir Drinfeld]] geprägt. Unabhängig von ihm wurden sie um die gleiche Zeit von dem japanischen Mathematiker [[Michio Jimbō]] gefunden.

== Beispiel ==
Die einfachste Quantengruppe ist <math>U_q(\mathfrak{sl}(2))</math>. Dies ist die Algebra, die von den Variablen <math>K</math>, <math>K^{-1}</math>, <math>E</math> und <math>F</math> erzeugt wird und in der die Relationen
:<math>KK^{-1} = K^{-1}K = 1</math>,
:<math>KEK^{-1} = q^2E</math>,
:<math>KFK^{-1} = q^{-2}F</math>,
:<math>[E,F]=\frac{K-K^{-1}}{q-q^{-1}} </math>
gelten.

Die Hopfalgebra-Struktur ist gegeben durch
:<math>\Delta(E) = 1\otimes E + E\otimes K</math>,
:<math>\Delta(F) = K^{-1}\otimes F + F\otimes 1</math>,
:<math>\Delta(K) = K \otimes K</math>,
:<math>\Delta(K^{-1}) = K^{-1} \otimes K^{-1}</math>,

:<math>\epsilon(E)=\epsilon(F)= 0 </math>,
:<math>\epsilon(K)=\epsilon(K^{-1}) = 1</math>,

:<math>S(E)= -EK^{-1}</math>,
:<math>S(F)= -KF</math>,
:<math>S(K)= K^{-1}</math>,
:<math>S(K^{-1})= K</math>.

<math>E</math> und <math>F</math> sind folglich schiefprimitiv, und <math>K</math> und <math>K^{-1}</math> sind gruppenartig.

=== Universelle einhüllende Algebra <math>U(\mathfrak{sl}(2))</math> ===
<math>U_1(\mathfrak{sl}(2))</math> ist in dieser Form nicht definiert, da man dabei durch 0 teilen müsste. Es ist jedoch möglich, die Definition mit Hilfe einer weiteren Variable <math>L</math> so zu formulieren, dass dies möglich ist.
:<math>KK^{-1} = K^{-1}K = 1</math>,
:<math>KEK^{-1} = q^2E</math>,
:<math>KFK^{-1} = q^{-2}F</math>,
:<math>[E,F]=L</math>
:<math>(q-q^{-1})L=K-K^{-1}</math>
:<math>[L,E]=q(EK+K^{-1}E)</math>
:<math>[L,F]=-q^{-1}(FK+K^{-1}F)</math>

In dieser Form ist <math>U_1(\mathfrak{sl}(2))</math> wohldefiniert und hängt eng mit der [[Universelle einhüllende Algebra|universellen einhüllenden Algebra]] <math>U(\mathfrak{sl}(2))</math> zusammen. Es gilt nämlich
:<math>U_1(\mathfrak{sl}(2))/(K-1) \cong U(\mathfrak{sl}(2))</math>,
wobei <math>E</math> auf <math>X</math>, <math>F</math> auf <math>Y</math> und <math>L</math> auf <math>H</math> abgebildet wird.

== Literatur ==
* Christian Kassel: ''Quantum Groups'' (Graduate Texts in Mathematics). Springer-Verlag 1998, ISBN 0-387-94370-6 ''(englisch)''

[[Kategorie:Algebra]]

Quantengruppe - Versionsgeschichte

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