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2024-11-02T15:29:15Z

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[[Datei:Quadrupol xy.svg|mini|''Aufbau eines elektrischen Quadrupols für den Spezialfall einer quadratischen Anordnung.'' Die [[Elektrische Ladung|Ladung]] der roten Punkte beträgt +Q, die der blauen Punkte −Q.]]
[[Datei:QuadrupoleContour.svg|mini|Potential eines realen elektrischen Quadrupols]]
[[Datei:Quadrupole-potential-contour-xy.svg|mini|Potential eines elektrischen Punkt-Quadrupols]]

Ein '''Quadrupol''' entsteht aus der nebenstehend dargestellten Anordnung zweier entgegengesetzt-gleicher elektrischer oder magnetischer [[Dipol (Physik)|Dipole]] mit beliebigem Abstandsvektor, typischerweise <math>\vec a</math> genannt.

Allgemein kann einer beliebigen [[Ladungsverteilung|Ladungs-]] oder [[Elektrischer Strom|Strom]]<nowiki/>verteilung, sofern sie ''nicht'' bestimmte [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrien]] besitzt, in zweiter Ordnung ein [[Multipolmoment]] zugeordnet werden. Dazu wird das eigentliche [[Potential (Physik)|Potential]] durch eine [[Taylorentwicklung]] genähert. Dabei ergibt sich in dieser [[Multipolentwicklung]] u. a. auch ein '''Quadrupolmoment'''.

== Elektrischer Quadrupol ==
Ein elektrischer Quadrupol kann aus zwei gleich großen positiven und zwei ebensogroßen negativen [[elektrische Ladung|Ladungen]] bestehen, die zwei entgegengesetzt-gleiche Dipole bilden. Im einfachsten Fall befinden sich die vier Ladungen in abwechselnder Anordnung an den Ecken eines [[Parallelogramm]]s (in der Regel sogar eines [[Quadrat]]es).

=== Mathematische Beschreibung ===

Mathematisch präzise wird die Definition durch einen als „Quadrupol-Limes“ bezeichneten [[Grenzwertprozess]], bei dem der Flächeninhalt des Parallelogramms gegen Null ''konvergiert'', während gleichzeitig die Ladungsstärke der an den Ecken des Parallelogramms befindlichen Ladungen ''divergiert'', und zwar so, dass das Produkt konstant bleibt, etwa <math>\{\lim_{a\to 0;\, a^2 Q = \text{konst.}}\dots\} \, ,</math> wobei die Konstante positiv sein soll.

Das Quadrupol[[Elektrostatik#Potential und Spannung|potential]] <math>\phi_\text{Q}</math> ergibt sich als Überlagerung ([[Superposition (Physik)|Superposition]]) der Dipolpotentiale <math>\phi_\text{D}</math>:

:<math>\begin{align}
\phi_\text{Q}(\vec{r}) & = \phi_\text{D} \left(\vec r + \dfrac{\vec a}{2} \right)- \phi_\text{D} \left(\vec r - \dfrac{\vec a}{2} \right)\\
\ & = \vec a \cdot \vec \nabla \phi_\text{D}(\vec r) + \mathcal{O}(|\vec a|^3)
\end{align}</math>

Beim Übergang zur letzten Gleichung wurden die Taylorentwicklung benutzt und Terme der Größenordnung <math>|\vec a|^3</math> vernachlässigt.

Aus der Multipolentwicklung erhält man mit dem [[Kronecker-Delta]] <math>\delta</math> den ''Quadrupolmoment[[tensor]]'' <math>Q</math> mit [[SI-Einheit]] [[Coulomb|C]]·m²:

:<math>Q_{kl} = \sum_{i=1}^{n} q_i(3r_{ik} \, r_{il} - (r_i)^2 \, \delta_{kl})</math>

bzw. für kontinuierliche [[Ladungsverteilung]]en:

:<math>Q_{kl} = \int \rho(\vec{r}\,') \cdot (3r'_k \, r'_l - (r')^2 \, \delta_{kl}) \cdot \mathrm d^3r'</math>

Dabei kann man erkennen, dass der Quadrupoltensor symmetrisch und [[Spur (Mathematik)|spurfrei]] ist. Aufgrund der Symmetrie sind nur drei von sechs Nichtdiagonalelementen unabhängig, die Spurfreiheit begrenzt die drei Diagonalelemente auf zwei unabhängige. Somit werden die neun Einträge durch fünf Freiheitsgrade eingeschränkt, sodass sich die Berechnung oft abkürzen lässt.

Alternativ lässt sich das Potential auch darstellen als:

:<math>\begin{align}
\phi_\text{Q}(\vec r) & = \frac{1}{8 \pi \varepsilon_0} \frac{\vec r^T \cdot Q \cdot \vec r} {r^5}\\
& = \frac{1}{8 \pi \varepsilon_0} \frac{ r_i \cdot Q_{ij} \cdot r_j}{r^5}
\end{align}</math>

wobei
* die [[einsteinsche Summenkonvention]] verwendet wurde und
* <math>\varepsilon_0</math> die [[elektrische Feldkonstante]] ist.

=== Quantenmechanik ===

Elementarteilchen und zusammengesetzte Teilchen (Hadronen, Atomkerne) können nur dann ein elektrisches Quadrupolmoment besitzen, wenn ihr Gesamtspin 1 oder größer ist. Generell sind Multipolmomente 2''n'' nur möglich bei {{nowrap|1=Spin ≥ {{Bruch|''n''|2}}}}. Ein magnetisches Quadrupolmoment würde die [[Zeitumkehr (Physik)|Zeitumkehrinvarianz]] verletzen.

=== Anwendungen ===
In der Praxis wird jede Anordnung von vier abwechselnd gepolten [[Elektrode]]n verkürzt als „Quadrupol“ bezeichnet, auch wenn sie kein reines Quadrupolfeld erzeugt.

Im [[Wechselspannung]]s<nowiki />betrieb lässt diese Anordnung von einem entlang der Achse fliegenden Strahl geladener Teilchen nur Teilchen mit einem bestimmten Verhältnis von Masse zu Ladung durch. Daher wird diese Anordnung in [[Quadrupol-Massenspektrometer|Massenspektrometern]] verwendet.

Eine weitere Anwendung eines elektrischen Quadrupols ist der [[RFQ-Beschleuniger|Hochfrequenz-Quadrupol-Beschleuniger]].

== Magnetischer Quadrupol ==
Ein magnetischer Quadrupol besteht im einfachsten Fall aus zwei entgegengesetzt gerichteten [[magnetischer Dipol|magnetischen Dipolen]] im Abstand <math>\vec a</math>.

Anwendungen:
* [[Quadrupolmagnet]]: Fokussierungsmagnet in [[Teilchenbeschleuniger]]n und Teilchen-[[Strahlführung]]en
* selektive Trennung in [[Massenspektrometrie]]-Systemen
* zusammen mit der [[Kernspinresonanzspektroskopie]]: Aussagen über die lokale Geometrie des [[Atomkern]]s in [[Festkörper]]n.

Ein sphärisches magnetisches Quadrupolfeld lässt sich zum Beispiel mit einer [[Helmholtz-Spule#Anti-Helmholtz-Spule|Maxwell-Spule]] erzeugen.<ref>{{Literatur | Autor = [[Dieter Meschede]] | Titel = Optik, Licht und Laser | Jahr = 2008 | Verlag = Vieweg+Teubner | Ort = Wiesbaden | ISBN = 978-3-8351-0143-2 | Seiten = 568}}</ref>

== Gravitation ==
[[Datei:Massenquadrupol.svg|mini|Illustration des gravitativen Quadrupolmoments: eine zu einem Ellipsoid deformierte homogene sphärische Massenverteilung besitzt neben dem Monopol- ein Quadrupolmoment.]]
Im Gegensatz zum [[Elektromagnetismus]] gibt es für die [[Gravitation]] nur positive Ladungen, die [[Masse (Physik)|Massen]]. Daher lässt sich ein gravitativer Quadrupol nicht wie oben über zwei Dipole definieren. Dennoch haben [[Massenverteilung]]en ein Quadrupolmoment, beispielsweise die Erde, da sie keine perfekte Kugel ist: Die Abplattung der Erde bedeutet, dass im Vergleich zu einer exakt sphärischen Massenverteilung (reiner Monopol) an den Polen Masse „fehlt“ und am Äquator ein „Überschuss“ vorliegt („Äquatorwulst“). Einige [[Himmelsmechanik|himmelsmechanische]] Phänomene, wie die [[Präzession]] der Erdachse und die dynamische Entwicklung der [[Bahnelemente]] von Satelliten, lassen sich mit dem daraus resultierenden Quadrupolmoment beschreiben.

== Gravitationswellen ==
{{Hauptartikel|Gravitationswellen}}
In der Theorie der Gravitationswellen ist der Quadrupol von fundamentaler Bedeutung. Da es keine zeitlich veränderlichen gravitativen Dipole gibt, ist die niedrigste Ordnung von Gravitationswellen eine Quadrupolstrahlung, die in der Form der Ausbreitung der elektromagnetischen Quadrupolstrahlung entspricht.<ref>{{Literatur | Autor = Ulrich E. Schröder | Titel = Gravitation: Eine Einführung in die allgemeine Relativitätstheorie | Jahr = 2007 | Verlag = Harri Deutsch Verlag | Ort = Frankfurt am Main | ISBN = 978-3-8171-1798-7 | Seiten = 133 |Online = {{Google Buch|BuchID=qTC6IpDIUtIC|Seite=133}}}}</ref>

== Höhere Multipole ==
Analog können höhere Multipole behandelt werden, sog. ''Oktupole'' beispielsweise durch alternierende [[Punktladung]]en auf den acht Ecken eines [[Parallelepiped]]s, z. B. eines Würfels der Kantenlänge ''a'', mit dem „Oktupol-Limes“  <math>\{\lim_{a\to 0; \, a^3 Q = \text{konst.}}\dots\}</math> (oder allgemeiner: ein einziger 2''l''-Pol wird angenähert durch Überlagerung zweier verschobener 2(''l''−1)-Pole mit entgegengesetztem [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]]).

== Fachliteratur ==
* [[Horst Stöcker]]: ''Taschenbuch der Physik.'' 4. Auflage, Verlag Harry Deutsch, Frankfurt am Main 2000, ISBN 3-8171-1628-4.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Quadrupoles}}

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Elektrostatik]]
[[Kategorie:Magnetismus]]

Quadrupol - Versionsgeschichte

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