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2026-02-25T19:21:16Z

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[[Datei:Quadriken-7.svg|300px|mini|Quadriken im dreidimensionalen Raum: ein- und zweischaliges [[Hyperboloid]], [[Ellipsoid]], hyperbolisches [[Paraboloid]], [[Zylinder (Geometrie)|Zylinder]], elliptisches Paraboloid und [[Kegel (Geometrie)|Kegel]] (von links nach rechts)]]
Eine '''Quadrik''' (von {{laS|''quadra''}} Quadrat) ist in der [[Mathematik]] die [[Lösungsmenge]] einer [[Quadratische Gleichung|quadratischen Gleichung]] mit mehreren Unbekannten. In zwei Dimensionen bildet eine Quadrik im Regelfall eine [[Kurve (Mathematik)|Kurve]] in der [[Ebene (Mathematik)|Ebene]], wobei es sich dann um einen [[Kegelschnitt]] handelt. In drei Dimensionen beschreibt eine Quadrik im Regelfall eine [[Fläche (Mathematik)|Fläche]] im [[Euklidischer Raum|Raum]], die auch '''Fläche zweiter Ordnung''' oder '''quadratische Fläche''' genannt wird. Allgemein handelt es sich bei einer Quadrik um eine [[algebraische Varietät]], also um eine spezielle [[Hyperfläche]], in einem endlichdimensionalen reellen [[Koordinatenraum]]. Durch eine [[Hauptachsentransformation]] lässt sich jede Quadrik auf eine von drei möglichen [[#Normalformen|Normalformen]] transformieren. Auf diese Weise können Quadriken in verschiedene grundlegende Typen klassifiziert werden.

Quadriken werden insbesondere in der [[Analytische Geometrie|analytischen]] und der [[Projektive Geometrie|projektiven Geometrie]] untersucht. Anwendungen für Quadriken in Technik und Naturwissenschaften finden sich unter anderem in der Geodäsie ([[Referenzellipsoid]]), der Architektur ([[Tragwerk (Bauwesen)|Tragwerkskonstruktion]]) oder der Optik ([[Parabolspiegel]]).

Die jeweilige Quadrik, d. h. Lösungsmenge, wird im Folgenden mit <math display="inline"> Q </math> bezeichnet. Darüber hinaus wird auf dieser Seite zur möglichst einfachen Unterscheidung der verwendeten [[Symbol]]e die folgende in der [[Lineare Algebra|Linearen Algebra]] übliche [[Notation]] verwendet:

<math> a </math> repräsentiert eine [[reelle Zahl]], 
<math> \mathrm{a} </math> einen Vektor (aufrecht in Kleinbuchstaben), 
<math> \mathrm{A} </math> eine Matrix (aufrecht in Großbuchstaben).

== Definition ==
Eine Quadrik ist eine [[Menge]] im <math>n</math>-dimensionalen reellen [[Koordinatenraum]] <math>\R^n</math> der Form

:<math> Q = \left\{ (x_1, \ldots , x_n) \in \R^n \mid q(x_1, \ldots , x_n) = 0 \right\}</math>,

wobei

:<math>q(x_1, \ldots , x_n) = \sum_{i,j=1}^n a_{ij} x_i x_j + 2\,\sum_{i=1}^n b_i x_i + c</math>

ein [[Quadratische Form|quadratisches Polynom]] in den Variablen <math>x_1, \ldots , x_n</math> ist. Mindestens einer der Polynomkoeffizienten <math>a_{11}, \dots, a_{nn}</math> muss dabei ungleich null sein. Zudem kann [[Ohne Beschränkung der Allgemeinheit|ohne Einschränkung]] vorausgesetzt werden, dass <math>a_{ij} = a_{ji}</math> für alle <math>i,j \in \{1,\dotsc,n\}</math> gilt. Eine Quadrik ist damit die [[Nullstellenmenge]] eines quadratischen Polynoms mehrerer Variablen beziehungsweise die [[Lösungsmenge]] einer [[Quadratische Gleichung|quadratischen Gleichung]] mit mehreren Unbekannten.

== Beispiele ==

Zum Beispiel beschreibt die Menge der Punkte

:<math>Q = \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid 2x^2 + 3 y^2 = 5 \right\}</math>

eine [[Ellipse]] in der Ebene. Die Menge der Punkte

:<math>Q = \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid x^2 + y^2 - z^2 = 1 \right\}</math>

beschreibt ein einschaliges [[Hyperboloid]] im dreidimensionalen Raum.

== Eigenschaften ==
=== Matrixdarstellung ===
In kompakter [[Matrix (Mathematik)|Matrixnotation]] kann eine Quadrik als eine Menge von Vektoren

:<math>Q = \left\{ \mathrm{x} \in \R^n \mid \mathrm{x^T} \mathrm{A} \mathrm{x} + 2 \mathrm{b^T} \mathrm{x} + c = 0 \right\}</math>

beschrieben werden, wobei <math>\mathrm{A} = (a_{ij}) \in \R^{n \times n}</math> eine [[symmetrische Matrix]] und <math>\mathrm{b} = (b_i) \in \R^n</math> sowie <math>\mathrm{x} = (x_i) \in \R^n</math> [[Spaltenvektor]]en entsprechender Länge sind. Mit Hilfe der erweiterten Darstellungsmatrix

:<math>\mathrm{\bar{A}} = \begin{pmatrix}\mathrm{A} & \mathrm{b} \\ \mathrm{b^T} & c \end{pmatrix}</math>

und dementsprechend erweiterten Vektor <math>\mathrm{\bar{x}} = \tbinom{\mathrm{x}}{1}</math> kann eine Quadrik auch kompakt durch die Menge

:<math>Q = \left\{ \mathrm{x} \in \R^n \mid \mathrm{\bar{x}^T} \mathrm{\bar{A}} \, \mathrm{\bar{x}} = 0 \right\}</math>

in [[Homogene Koordinaten|homogenen Koordinaten]] dargestellt werden.

=== Typen ===
Bei Quadriken werden drei grundlegende Typen unterschieden. Die Entscheidung, um welchen Typ es sich bei einer gegebenen Quadrik handelt, kann anhand der [[Rang (Lineare Algebra)|Ränge]] der Matrizen <math>\mathrm{A}</math>, <math>(\mathrm{A | b})</math> und <math>\mathrm{\bar{A}}</math> getroffen werden:<ref name="arens719">{{Literatur|Autor=Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, [[Hellmuth Stachel]]|Titel=Mathematik|Auflage=2.|Verlag=Spektrum Akademischer Verlag|Jahr=2011|ISBN=3-8274-2347-3|Seiten=719}}</ref>

* ''Kegeliger Typ'': <math>\operatorname{rang}(\mathrm{\bar{A}}) = \operatorname{rang}(\mathrm{A | b}) = \operatorname{rang}(\mathrm{A})</math>
* ''Mittelpunktsquadrik'': <math>\operatorname{rang}(\mathrm{\bar{A}}) > \operatorname{rang}(\mathrm{A | b}) = \operatorname{rang}(\mathrm{A})</math>
* ''Parabolischer Typ'': <math>\operatorname{rang}(\mathrm{A | b}) > \operatorname{rang}(\mathrm{A})</math>

Eine Quadrik heißt dabei ''ausgeartet'', falls

:<math>\det \mathrm{\bar{A}} = 0</math>

gilt. Während nichtausgeartete Quadriken in allen Richtungen gekrümmte Hyperflächen bilden, weisen ausgeartete Quadriken in manchen Richtungen geradlinige Strukturen auf oder sind anderweitig degeneriert.

=== Transformationen ===

Quadriken lassen sich durch [[Ähnlichkeitsabbildung]]en transformieren, ohne dass sich ihr Typ dadurch verändert. Ist <math>\mathrm{S} \in \R^{n \times n}</math> eine [[reguläre Matrix]], dann erhält man durch die [[lineare Transformation]] <math>\mathrm{y} = \mathrm{S^{-1}}\mathrm{x}</math> eine neue Quadrik in den Koordinaten <math>y_1, \ldots , y_n</math>, die der Gleichung

:<math>\begin{pmatrix} \mathrm{y^T} \!\! & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{S^T} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{A} & \mathrm{b} \\ \mathrm{b^T} & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{S} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{y} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathrm{y^T} \!\! & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{S^T A S} & \mathrm{S^Tb} \\ \mathrm{b^T S} & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{y} \\ 1 \end{pmatrix} = 0</math>

genügt. Ebenso erhält man durch eine [[Parallelverschiebung]] <math> \mathrm{y = x - u} </math> um einen Vektor <math> \mathrm{u} \in \R^n</math> eine neue Quadrik, die die Gleichung

:<math>\begin{pmatrix} \mathrm{y^T} \!\! & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{I} & 0 \\ \mathrm{u^T} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{A} & \mathrm{b} \\ \mathrm{b^T} & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{I} & \mathrm{u} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{y} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathrm{y^T} \!\! & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{A} & \mathrm{Au+b} \\ \mathrm{u^T A + b^T} & \mathrm{u^T A u + 2b^T u} + c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{y} \\ 1 \end{pmatrix} = 0</math>

mit der [[Einheitsmatrix]] <math>\mathrm{I} \in \R^{n \times n}</math> erfüllt. Insbesondere ändert sich der Rang der Matrizen <math>\mathrm{A, (A \mid b)}</math> und <math>\mathrm{\bar A}</math> durch solche [[Affinität (Mathematik)|Affinitäten]] nicht.

Ist <math>\det(\mathrm{A})\neq0</math>, so lassen sich beide Methoden mittels <math>\mathrm{y=S^{-1}x}</math> und <math>\mathrm{z=y+S^{-1}A^{-1}b}</math> zu <math>\mathrm{z=S^{-1}(x+A^{-1}b)}</math> kombinieren:
:<math>\begin{pmatrix} \mathrm{z^T} \!\! & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{S^T} & 0 \\ \mathrm{-b^TA^{-1}} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{A} & \mathrm{b} \\ \mathrm{b^T} & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{S} & \mathrm{-A^{-1}b} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{z} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathrm{z^T} \!\! & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{S^TAS} & 0 \\ 0 & \mathrm{-b^TA^{-1}b} + c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{z} \\ 1 \end{pmatrix} = 0.</math>
Da die Matrix <math>\mathrm{A}</math> symmetrisch ist, ist sie orthogonal diagonalisierbar, das heißt, es gibt eine orthogonale Matrix <math>\mathrm{S}</math>, so dass <math>\mathrm{S^{-1}AS=S^TAS=:D}</math> eine Diagonalmatrix ist. Damit kann die Quadrik durch die Bedingung
:<math>\mathrm{z^TDz-b^TA^{-1}b} + c = 0 </math>
ausgedrückt werden. Es kommen also keine gemischt-quadratischen und keine linearen Terme mehr vor. Der Mittelpunkt der Quadrik liegt somit bei <math>\mathrm{z=0} \Leftrightarrow \mathrm{x=-A^{-1}b}</math>.

=== Normalformen ===

Durch eine [[Hauptachsentransformation]] lässt sich jede Quadrik auf eine der folgenden [[Normalform]]en transformieren. Hierzu wird zunächst eine [[orthogonale Matrix]] <math>\mathrm{S}</math>, beispielsweise eine [[Drehmatrix|Dreh-]] oder [[Spiegelungsmatrix]], derart gewählt, dass <math>\mathrm{S^TAS}</math> eine [[Diagonalmatrix]] ergibt, die die [[Eigenwerte]] von <math>\mathrm{A}</math> in absteigender Reihenfolge enthält. Im zweiten Schritt wird die transformierte Quadrik derart um einen Vektor <math>\mathrm{u}</math> verschoben, dass auch die linearen Terme und der konstante Term weitestgehend verschwinden. Schließlich wird die Quadrik noch so normiert, dass der konstante Term, sofern er nicht null ist, zu eins wird. Dadurch ergeben sich die folgenden drei Normalformen:<ref name="arens719" />

* Kegeliger Typ: <math>\frac{x_1^2}{\alpha_1^2} + \dotsb + \frac{x_p^2}{\alpha_p^2} - \frac{x_{p+1}^2}{\alpha_{p+1}^2} - \dotsb - \frac{x_r^2}{\alpha_r^2} = 0</math>   mit   <math>1 \leq p \leq r \leq n,\ p \geq r-p</math>
* Mittelpunktsquadrik: <math>\frac{x_1^2}{\alpha_1^2} + \dotsb + \frac{x_p^2}{\alpha_p^2} - \frac{x_{p+1}^2}{\alpha_{p+1}^2} - \dotsb - \frac{x_r^2}{\alpha_r^2} = 1</math>   mit   <math>1 \leq p \leq r \leq n</math>
* Parabolischer Typ: <math>\frac{x_1^2}{\alpha_1^2} + \dotsb + \frac{x_p^2}{\alpha_p^2} - \frac{x_{p+1}^2}{\alpha_{p+1}^2} - \dotsb - \frac{x_r^2}{\alpha_r^2} -2x_{r+1} = 0</math>   mit   <math>1 \leq p \leq r < n,\ p \geq r-p</math>

Hinzu kommt als Spezialfall die

* [[Leere Menge]]: <math>-\frac{x_1^2}{\alpha_1^2} - \dotsb - \frac{x_r^2}{\alpha_r^2} = 1</math>   mit   <math>1 \leq r \leq n</math>

In allen Fällen sind die Koeffizienten <math>\alpha_1, \dotsc, \alpha_r > 0</math>. Die Kennzahlen <math>p = | \{ \lambda \in \sigma(\mathrm{A}) \colon \lambda > 0\} |</math> und <math>r = | \{ \lambda \in \sigma(\mathrm{A}) \colon \lambda \neq 0\} | = \operatorname{rang}(\mathrm{A})</math> ergeben sich dabei aus der [[Signatur (lineare Algebra)|Signatur]] der Matrix <math>\mathrm{A}</math>.

== Klassifikation ==
=== Quadriken in einer Dimension ===

In einer Dimension ist eine Quadrik die Lösungsmenge einer [[Quadratische Gleichung|quadratischen Gleichung]] mit einer Unbekannten, also eine Punktmenge der Form

:<math>Q = \left\{ x \in \R \mid a x^2 + bx + c = 0 \right\}</math>.

Durch Verschiebung ([[quadratische Ergänzung]]) und Normierung lassen sich die folgenden zwei Fälle unterscheiden:

{| class="wikitable hintergrundfarbe-basis" style="margin: 1em auto 1em auto; text-align: center;"
! colspan="2" class="hintergrundfarbe-basis" | Nicht ausgeartete Quadriken
! colspan="2" class="hintergrundfarbe-basis" | Ausgeartete Quadriken
|-
| Zwei Lösungen <math>{x^2 \over \alpha^2} = 1</math>
| [[Datei:Solution quadratic equation qtl1.png|100px]]
| Eine Lösung <math>{x^2 \over \alpha^2} = 0</math>
| [[Datei:Solution quadratic equation qtl2.png|100px]]
|-
|}

In dem verbleibenden Fall <math>-\tfrac{x^2}{\alpha^2} = 1</math> ergibt sich als Lösungsmenge die leere Menge. In allen Fällen ist <math>\alpha >0</math>.

=== Quadriken in der Ebene ===

In der Ebene ist eine Quadrik die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung mit zwei Unbekannten, also eine Punktmenge der Form

:<math>Q = \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid a x^2 + bx y + c y^2 + dx + e y + f = 0 \right\}</math>.

Hierbei handelt es sich bis auf degenerierte Fälle um [[Kegelschnitt]]e, wobei ausgeartete Kegelschnitte, bei denen die Kegelspitze in der Schnittebene enthalten ist, von nicht ausgearteten Kegelschnitten unterschieden werden. Durch Hauptachsentransformation lässt sich die allgemeine Gleichung einer Quadrik auf eine der folgenden Normalformen transformieren:

{| class="wikitable hintergrundfarbe-basis" style="margin: 1em auto 1em auto; text-align: center;"
! colspan="2" class="hintergrundfarbe-basis" | Nicht ausgeartete Quadriken
! colspan="2" class="hintergrundfarbe-basis" | Ausgeartete Quadriken
|-
| style="padding-left:3em; padding-right:3em" | [[Ellipse]] <math>{x^2 \over \alpha^2} + {y^2 \over \beta^2} = 1</math>
|[[Datei:Kegs-n-ausg-el-s.svg|100px]]
| Zwei schneidende [[Gerade]]n <math>{x^2 \over \alpha^2} - {y^2 \over \beta^2} = 0</math>
|[[Datei:Kegs-ausg-sg-s.svg|100px]]
|-
| [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbel]] <math>{x^2 \over \alpha^2} - {y^2 \over \beta^2} = 1</math>
|[[Datei:Kegs-n-ausg-hy-s.svg|100px]]
| Zwei parallele Geraden <math>{x^2 \over \alpha^2} = 1</math>
|[[Datei:Kegs-ausg-pg-s.svg|100px]]
|-
| [[Parabel (Mathematik)|Parabel]] <math>{x^2 \over \alpha^2} - 2y = 0</math>
|[[Datei:Kegs-n-ausg-pa-s.svg|100px]]
| Eine Gerade <math>{x^2 \over \alpha^2} = 0</math>
|[[Datei:Kegs-ausg-1g-s.svg|100px]]
|-
|
|
| Ein [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] <math>\frac{x^2}{\alpha^2} + \frac{y^2}{\beta^2} = 0</math>
|[[Datei:Kegs-ausg-pu-s.svg|100px]]
|}

In den beiden verbleibenden Fällen <math>-\tfrac{x^2}{\alpha^2} - \tfrac{y^2}{\beta^2} = 1</math> und <math>-\tfrac{x^2}{\alpha^2} = 1</math> ergibt sich als Lösungsmenge jeweils die leere Menge. In allen Fällen sind <math>\alpha, \beta >0</math>.

=== Quadriken im Raum ===
Im dreidimensionalen Raum ist eine Quadrik die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung mit drei Unbekannten, also eine Punktmenge der Form

:<math>Q = \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid a x^2 + b xy + cxz + d y^2 + e yz + f z^2 + g x + h y + i z + j = 0 \right\}</math>.

Im Raum ist die Vielfalt der Quadriken deutlich größer als in der Ebene. Hier gibt es ebenfalls ausgeartete und nicht ausgeartete Quadriken. Unter den ausgearteten Quadriken finden sich dabei auch einfach gekrümmte Flächen, wie Zylinder und Kegel. Ähnlich wie in zwei Dimensionen lässt sich die allgemeine Gleichung einer Quadrik auf eine der folgenden Normalformen transformieren:<ref>{{Literatur|Autor=Kurt Meyberg, Peter Vachenauer|Titel=Höhere Mathematik 1|Verlag=Springer|Auflage=6.|ISBN=978-3-540-41850-4|Jahr=2003|Seiten=345}}</ref>

{| class="wikitable hintergrundfarbe-basis" style="margin: 1em auto 1em auto; text-align: center;"
! colspan="2" class="hintergrundfarbe-basis" | Nicht ausgeartete Quadriken
! colspan="2" class="hintergrundfarbe-basis" | Ausgeartete Quadriken (gekrümmte Flächen)
! colspan="2" class="hintergrundfarbe-basis" | Ausgeartete Quadriken (Ebenen u. a.)
|-
| [[Ellipsoid]] <math>{x^2 \over \alpha^2} + {y^2 \over \beta^2} + {z^2 \over \gamma^2} = 1</math>
|[[Datei:Ellipsoid Quadric.png|120px]]
| [[Elliptischer Kegel]] <math>{x^2 \over \alpha^2} + {y^2 \over \beta^2} - {z^2 \over \gamma^2} = 0</math>
|[[Datei:Elliptical Cone Quadric.Png|120px]]
| Zwei schneidende Ebenen <math>\frac{x^2}{\alpha^2}-\frac{y^2}{\beta^2}=0</math>
|[[Datei:Quadrik-ausg-se-s.svg|120px]]
|-
| [[Einschaliges Hyperboloid]] <math>{x^2 \over \alpha^2} + {y^2 \over \beta^2} - {z^2 \over \gamma^2} = 1</math>
|[[Datei:Hyperboloid Of One Sheet Quadric.png|120px]]
| [[Elliptischer Zylinder]] <math>{x^2 \over \alpha^2} + {y^2 \over \beta^2} = 1</math>
|[[Datei:Elliptic Cylinder Quadric.png|120px]]
| Zwei parallele Ebenen <math>\frac{x^2}{\alpha^2}=1</math>
|[[Datei:Quadrik-ausg-pe-s.svg|120px]]
|-
| [[Zweischaliges Hyperboloid]] <math>{x^2 \over \alpha^2} + {y^2 \over \beta^2} - {z^2 \over \gamma^2} = -1</math>
|[[Datei:Hyperboloid Of Two Sheets Quadric.png|120px]]
| [[Hyperbolischer Zylinder]] <math>{x^2 \over \alpha^2} - {y^2 \over \beta^2} = 1</math>
|[[Datei:Hyperbolic Cylinder Quadric.png|120px]]
| Eine Ebene <math>{x^2 \over \alpha^2} = 0</math>
|[[Datei:Quadrik-ausg-1e-s.svg|120px]]
|-
| [[Elliptisches Paraboloid]] <math>{x^2 \over \alpha^2} + {y^2 \over \beta^2} - 2z = 0</math>
|[[Datei:Paraboloid Quadric.Png|120px]]
| [[Parabolischer Zylinder]] <math>{x^2 \over \alpha^2} - 2y = 0</math>
|[[Datei:Parabolic Cylinder Quadric.png|120px]]
| Eine Gerade <math>\frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}=0</math>
|[[Datei:Quadrik-ausg-g-s.svg|120px]]
|-
| [[Hyperbolisches Paraboloid]] <math>{x^2 \over \alpha^2} - {y^2 \over \beta^2} - 2z = 0</math>
|[[Datei:Hyperbolic Paraboloid Quadric.png|120px]]
|
|
| Ein Punkt <math> \frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}+\frac{z^2}{\gamma^2} =0</math>
|[[Datei:Quadrik-ausg-pu-s.svg|120px]]
|-
|}

In den drei verbleibenden Fällen <math>-\tfrac{x^2}{\alpha^2}-\tfrac{y^2}{\beta^2}-\tfrac{z^2}{\gamma^2}=1</math>, <math>-\tfrac{x^2}{\alpha^2}-\tfrac{y^2}{\beta^2}=1</math> und <math>-\tfrac{x^2}{\alpha^2}=1</math> ergibt sich als Lösungsmenge wiederum jeweils die leere Menge. In allen Fällen sind <math>\alpha, \beta, \gamma >0</math>.

Für <math>\alpha = \beta</math> (bzw. <math>\beta = \gamma</math> im Fall des zweischaligen Hyperboloids) erhält man in folgenden Fällen [[Rotationsfläche]]n, die auch als [[Drehquadrik]]en bezeichnet werden: [[Rotationsellipsoid]], ein- und zweischaliges [[Rotationshyperboloid]], [[Rotationsparaboloid]], [[Kreiskegel]] und [[Kreiszylinder]]. [[Regelfläche]]n, also Flächen, die von einer einparametrigen [[Geradenschar]] erzeugt werden, sind Kegel, elliptischer und parabolischer Zylinder, Ebene, einschaliges Hyperboloid und hyperbolisches Paraboloid. Die letzteren drei Flächen werden sogar von zwei Geradenscharen erzeugt und sind die einzig möglichen doppelt gekrümmten Regelflächen im Raum.

== Projektive Quadriken ==
{{Hauptartikel|Projektive Quadrik}}

Die Vielfalt der Quadriken verringert sich erheblich, wenn man sowohl den affinen Raum, in dem eine Quadrik definiert ist, als auch die Quadrik selbst [[Projektiver Raum|projektiv]] abschließt. Die projektiven Erweiterungen von Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln sind projektiv alle zueinander äquivalent, das heißt, es gibt eine projektive [[Kollineation]], die die eine Kurve auf die andere abbildet (siehe [[projektiver Kegelschnitt]]).

Im dreidimensionalen Raum sind folgende Quadriken äquivalent:
* Ellipsoid, zweischaliges Hyperboloid und elliptisches Paraboloid,
* einschaliges Hyperboloid und hyperbolisches Paraboloid,
* elliptischer, hyperbolischer, parabolischer Zylinder und Kegel.

== Verallgemeinerungen ==

Allgemeiner können Quadriken auch in Vektorräumen über einem beliebigen [[Körper (Algebra)|Körper]], also auch über dem Körper der [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] oder auch über [[Endlicher Körper|endlichen Körpern]] betrachtet werden.<ref>[[Hanfried Lenz]]: ''Vorlesungen über projektive Geometrie.'' Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, Leipzig 1965, S. 155.</ref>

== Einzelnachweise ==
<references />

== Literatur ==
* Ilja Nikolajewitsch Bronstein, Konstantin A. Semendjajew: ''Taschenbuch der Mathematik.'' Teubner-Verlag, Leipzig 1983, ISBN 3-87144-492-8, S. 283.
* Klemens Burg, Herbert Haf, Friedrich Wille: ''Höhere Mathematik für Ingenieure.'' Band II, Teubner-Verlag, Stuttgart, ISBN 3-519-22956-0, S. 341.
* ''dtv-Atlas zur Mathematik.'' Band 1, Deutscher Taschenbuch-Verlag, ISBN 3-423-03007-0, S. 200–203.
* Kurt Meyberg, Peter Vachenauer: ''Höhere Mathematik 1.'' Springer-Verlag, Berlin 1995, ISBN 3-540-59188-5, S. 343.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Quadric surfaces}}
{{Wiktionary}}
* {{EoM|Titel=Quadric|Url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Quadric|Autor=V. S. Malakhovskii}}
* {{MathWorld|id=QuadraticSurface|title=Quadratic Surface}}
* {{PlanetMath|id=quadraticsurfaces|title=Quadratic Surfaces|author=pahio}}
* [http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-Material/bsp-quadriken/ Bilder von Quadriken im Raum]
* [http://www.professores.uff.br/hjbortol/arquivo/2007.1/qs/quadric-surfaces_en.html Interaktive 3D-Modelle aller Quadriken]

[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Analytische Geometrie]]

Quadrik - Versionsgeschichte

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