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2025-08-03T11:14:55Z

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{{Doppeltes Bild|rechts|Square root of 3 in cube.svg|250 |01-Square roots of 3.svg|260|Wurzel 3 als Länge der Diagonale eines Würfels|Wurzel 3 als Länge der Höhe eines gleichseitigen Dreiecks||}}
[[Datei:Wurzel3imKoordsys.svg|miniatur|Wurzel 3 im Koordinatensystem]]

Die '''Quadratwurzel aus 3''' oder '''Quadratwurzel von 3''' (geschrieben <math>\sqrt{3}</math>) ist die positive, [[reelle Zahl]], die mit sich selbst multipliziert 3 ergibt. Die Wurzel von 3 ist eine [[irrationale Zahl]]. Sie ist eine [[mathematische Konstante]], auch bekannt unter dem Namen ''Theodorus-Konstante'', benannt nach [[Theodoros von Kyrene (Mathematiker)|Theodoros von Kyrene]].

Näherungsweise gilt:
<math>\sqrt{3} \approx 1{,}7320508</math>

Ihre [[Kettenbruch]]entwicklung ist <math>\sqrt{3} =</math> [1;1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,…].

Es ist auch <math>\sqrt{3} = (4 \cos^2 \tfrac{\pi}{12}) - 2 = (4 \cos^2 15^\circ) - 2</math> und <math>\sqrt{3} = \tan\tfrac{\pi}{3} = \tan 60^\circ.</math>

== Beweis der Irrationalität ==
Angenommen, <math>\sqrt{3}</math> wäre rational. Dann könnte man die Zahl als Bruch zweier [[Teilerfremdheit|teilerfremder]] [[Ganze Zahl|ganzer Zahlen]] <math>a</math> und <math>b</math> schreiben:
:<math>\sqrt{3} = {a \over b}</math>.
Durch Quadrieren der Gleichung erhält man
:<math>3 = {a^2 \over b^2}</math>
daraus folgt

:<math>3b^2 = a^2.</math>

Aber dann ist für eine ganze Zahl <math>p</math>

:<math>a = 3p,</math>

weil <math>b^2</math> eine ganze Zahl ist und damit <math>a^2/3</math> eine ganze Zahl sein muss und damit auch 3 als Teiler von <math>a</math> existieren muss.

Daraus folgt wieder
:<math>3 = 9{p^2 \over b^2}</math>,

also
:<math>b^2 = 3p^2</math>

Aber dann ist auch für eine ganze Zahl <math>q</math>
:<math>b = 3q</math>,

was einen Widerspruch bedeutet, weil <math>a</math> und <math>b</math> teilerfremd sind.

== Nachkommastellen ==
Die ersten 100 Nachkommastellen:

1,7320508075 6887729352
7446341505 8723669428
0525381038 0628055806
9794519330 1690880003
7081146186 7572485756<ref>'' {{Webarchiv | url=http://schwartz-omalley.com/people/owen/sqrt_3.html | wayback=20070929045342 | text=The square root of 3 to 100,000 places}}'' von Owen O’Malley (englisch)</ref>

Weitere Dezimalstellen finden sich auch unter {{OEIS|A002194}}.

Der derzeitige Weltrekord der Berechnung der Nachkommastellen (vom 9. Juni 2019) liegt bei 2.000.000.000.000 und wurde von Hiroyuki Oodaira (大平寛之) erzielt.<ref>{{Internetquelle |autor= |url=http://www.numberworld.org/y-cruncher/records.html |titel=Records set by y-cruncher |werk= |hrsg= |datum= |zugriff=2019-08-12 |sprache=}}</ref>

== Approximation durch eine rationale Zahl ==
Eine sehr gute Approximation von <math>\sqrt{3}</math> mit einer Abweichung von weniger als 0,000093 stammt von G. Stratemeyer und basiert auf einer Stammbruchentwicklung.<ref>G. Stratemeyer: ''[https://doi-org.wikipedialibrary.idm.oclc.org/10.1007/BF01246446 Stammbruchentwickelungen für die Quadratwurzel aus einer rationalen Zahl].'' [[Mathematische Zeitschrift]] 31, 767–768 (1930).</ref>

Der [[österreich]]ische [[Mathematiker]] [[Fritz Schweiger]] hat eine entsprechende Kurzdarstellung veröffentlicht.<ref>[[Fritz Schweiger]]: ''[[doi:10.1007/978-3-662-61766-3|Approximation von Quadratwurzeln]]'' aus [[Georg Glaeser]]: ''77-mal Mathematik für zwischendurch'' [[Springer Nature]], Berlin 2020, ISBN 978-3-662-61765-6, Seiten 94/95</ref><ref>[[Oskar Perron]]: ''Irrationalzahlen'', [[Walter de Gruyter (Verlag)|Verlag Walter de Gruyter & Co]], [[Berlin]] und [[Leipzig]] 1921</ref>

Ausgehend von der [[Rekursionsformel]]
:<math>t_{k+1}=2t_k^2-1</math> mit (<math>t_0 \ge 2</math>, <math>k \in \N_0</math>) (1)
gelangt man schrittweise zu der Beziehung
:<math>\sqrt{t_0^2-1}=t_0-\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2t_0\cdot 2t_1\cdot \dotsc \cdot 2t_{k-1}}</math> (2)
Mit <math>t_0=2</math> folgt <math>t_1=7</math> durch Einsetzen in (1).

Setzt man <math>t_0</math> und <math>t_1</math> in (2) ein, so erhält man die Näherung
:<math>\sqrt{3}\approx 2-\frac{1}{4}-\frac{1}{56}=\frac{97}{56}=1,732\overline{142857}</math>.

== Anwendung ==
<div style="float:right;">[[Datei:Wurzel aus drei bild.svg|miniatur|ohne|Das Verhältnis der Seitenlängen a und r dieses Rechtecks im Kreis ist <math>\tfrac{\sin{60^\circ}}{\cos{60^\circ}} = \sqrt{3}.</math>]]</div>
<div style="float:right;">[[Datei:01 Quadratwurzel 3.svg|miniatur|ohne|239px|Konstruktion in vier Schritten; die gepunktete Linie ist nicht Teil der Konstruktion.]]</div>
* Ein [[rechtwinkliges Dreieck]] mit einer kleinen Kathete gleich <math>1</math> und einer Hypotenuse gleich <math>2</math> hat, nach dem [[Satz des Pythagoras]], eine große Kathete gleich <math>\sqrt{3}</math>.
* Das Verhältnis zwischen der Diagonale eines dreidimensionalen Würfels und der Kantenlänge beträgt <math>\sqrt{3}.</math>
* Die Distanz zwischen zwei gegenüberliegenden Seiten eines regulären [[Sechseck]]s mit der Seitenlänge a beträgt <math>a\sqrt{3}</math>, oder anders gesagt, das Doppelte des Inkreisradius <math>a\frac{\sqrt{3}}{2}.</math>
* Der [[Verkettungsfaktor]], das Verhältnis von Phasenspannung (230 [[Volt|V]]) zu Außenleiterspannung (400 V), beträgt bei [[Dreiphasenwechselstrom]] <math>\sqrt{3}.</math>
* Die Höhe eines [[gleichseitiges Dreieck|gleichseitigen Dreieck]]s mit der Seitenlänge a beträgt <math>a\tfrac{\sqrt{3}}{2}</math>, sein Flächeninhalt <math>\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.</math>

== Weblinks ==
* {{MathWorld|TheodorussConstant|Theodorus’s Constant}}
* {{OEIS|A028257}} ([[Engel-Entwicklung]] (englisch {{lang|en|''[[:en:Engel expansion|Engel expansion]]''}}) von √3)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Besondere Zahl]]
[[Kategorie:Wurzel (Mathematik)]]

Quadratwurzel aus 3 - Versionsgeschichte

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