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2025-11-11T16:56:14Z

Kettenwurzeleigenschaft

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Die '''[[Quadratwurzel]] aus 2''' ist in der [[Mathematik]] diejenige positive Zahl, die mit sich selbst multipliziert die Zahl 2 ergibt, also diejenige Zahl <math>x > 0</math>, für die <math>x^2 = 2</math> gilt. Diese Zahl ist eindeutig bestimmt, [[Irrationale Zahl|irrational]] und wird durch <math>\sqrt{2}</math> dargestellt. Die ersten Stellen ihrer Dezimalbruchentwicklung sind:

: <math>\sqrt{2}</math> = 1,414213562…

== Allgemeines ==
[[Datei:Euclid statue, Oxford University Museum of Natural History, UK - 20080315.jpg|mini|hochkant|Euklid (fiktiv nach [[André Thevet]], 1584)]]

=== Irrationalität ===
Die Quadratwurzel aus 2 ist wie die [[Kreiszahl]] <math>\pi</math> oder die [[eulersche Zahl]] <math>\mathbb{e}</math> irrational. Im Gegensatz zu den beiden ist sie jedoch nicht [[Transzendente Zahl|transzendent]], sondern [[Algebraische Zahl|algebraisch]]. Bereits um 500 v. Chr. war dem Griechen [[Hippasos von Metapont]] die Irrationalität bekannt. Den wohl bekanntesten [[Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2 bei Euklid|Beweis der Irrationalität der Quadratwurzel aus 2]] veröffentlichte um 300 v. Chr. der Grieche [[Euklid]].

=== Nachkommastellen ===
Da Wurzel 2 irrational ist, hat die Zahl in jedem [[Stellenwertsystem]] unendlich viele nichtperiodische Nachkommastellen und lässt sich deshalb auch im [[Dezimalsystem]] nur näherungsweise darstellen. Die ersten 50 dezimalen Nachkommastellen lauten:

: <math>\sqrt2 = 1{,}41421\,35623\,73095\,04880\,16887\,24209\,69807\,85696\,71875\,37694\,\ldots</math> ({{OEIS|A002193}})

=== Kettenbruchentwicklung ===
Eine andere Möglichkeit, reelle Zahlen darzustellen, ist die [[Kettenbruch]]entwicklung. Die Kettenbruchdarstellung von Wurzel 2 ist – im Gegensatz zur Kreiszahl <math>\pi</math> – [[Kettenbruch#Periodische Kettenbrüche|periodisch]], denn Wurzel 2 ist eine [[quadratische Irrationalzahl]]. Für die <math>n</math>-te Wurzel aus 2 mit <math>n \ge 3</math> trifft dies jedoch nicht zu.

: <math>\sqrt{2} = [1;\, 2,\, 2,\, 2,\, 2,\, 2,\, \dotsc]</math> ({{OEIS|A040000}})

Diese periodische Entwicklung ergibt sich aus folgenden einfachen Tatsachen (mit der Gaußschen [[Abrundungsfunktion]] <math>x \mapsto \lfloor x \rfloor</math>):

: <math>\lfloor \sqrt{2} \rfloor = 1</math>
:: <math>\frac {1}{\sqrt{2}-1} = \sqrt{2}+1</math>
:: <math>\lfloor \sqrt{2}+1 \rfloor = 2</math>
:: <math>\sqrt{2}+1-2 = \sqrt{2}-1</math>

Die ersten Näherungsbrüche der Kettenbruchentwicklung von <math>\sqrt{2}</math> sind:

: <math>\frac {1}{1},\, \frac {3}{2},\, \frac {7}{5},\, \frac {17}{12},\, \frac {41}{29},\, \frac {99}{70},\, \dotsc</math>

=== Kettenwurzeleigenschaft ===
[[Datei:Kettenwurzel.png|mini|hochkant=2|Grafische Veranschaulichung der Kettenwurzeldarstellung von <math>2</math>]]
Die Zahl <math>2</math> lässt sich folgendermaßen als unendlich fortgesetzte Kettenwurzel darstellen:<ref>Roger B. Nelsen: ''Beweise ohne Worte.'' Deutschsprachige Ausgabe, herausgegeben von Nicola Oswald, [[Springer Spektrum]], Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, S. 179.</ref>

: <math>\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dotsb}}}} = 2</math>

Die Figur verdeutlicht die Konvergenz gegen <math>2</math> anhand der Funktionswerte der Wurzelfunktion <math>f</math> mit <math>f(x) = \sqrt{x}</math> unter Einbeziehung der Hilfsgeraden <math>y = x-2</math>.
{{Absatz}}

== Geometrische Konstruktion ==
[[Datei:Construction of square root of 2 on the line number.svg|miniatur|Konstruktion von Wurzel 2 auf der Zahlengeraden]]
Da irrationale Zahlen eine unendlich lange Dezimaldarstellung haben, ist es unmöglich, eine solche Zahl mit dem Lineal genau abzumessen. Es ist aber möglich, die Zahl <math>\sqrt{2}</math> [[Konstruktion mit Zirkel und Lineal|mit Zirkel und Lineal zu konstruieren]]: Die Diagonale eines Quadrates ist <math>\sqrt{2}</math>-mal so lang wie seine Seitenlänge. Es reicht auch ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck, bei dem die Katheten jeweils 1 Einheit lang sind. Die Länge der Hypotenuse beträgt dann <math>\sqrt2</math> Einheiten. Um dies zu beweisen, reicht der [[Satz des Pythagoras]]: Für die Länge <math>x</math> der Diagonale gilt <math>x^2 = 1^2 + 1^2</math>.

Das genannte Dreieck ist auch der Beginn der [[Wurzelschnecke]].

== Trigonometrie ==
Ähnlich wie <math>\sqrt{5}</math> und <math>\sqrt{3}</math> kommt die Quadratwurzel aus 2 bei exakten trigonometrischen Werten spezieller Winkel vor, insbesondere bei den [[Sinus]]- und [[Cosinus]]-Werten. Einfache Beispiele sind:
:<math>\begin{align}
\sin\frac{\pi}{4} = \sin 45^\circ &= \tfrac{1}{2}\sqrt2, \\[5pt]
\cos\frac{\pi}{4} = \cos 45^\circ &= \tfrac{1}{2}\sqrt2. \end{align}</math>

== Geschichte ==
Bereits die alten Hochkulturen haben sich Gedanken über die Wurzel aus 2 gemacht. Die alten Inder schätzen <math>\sqrt2 \approx \tfrac {577}{408}</math> = 1,'''41421'''5686… Diese Näherung stimmt auf fünf Nachkommastellen mit dem tatsächlichen Wert von <math>\sqrt2</math> überein, die Abweichung beträgt nur +0,0001502 Prozent. Von ihrer Irrationalität wussten sie wahrscheinlich nichts. Die Babylonier wie auch die Sumerer schätzten um 1950 v. Chr. die Wurzel aus 2 umgerechnet noch auf 1,41. Aus der Zeit um 1800 v. Chr. ist von den Babyloniern eine weitere Näherung überliefert. Sie benutzten in ihrer [[Keilschrift]] ein Stellenwertsystem zur Basis 60 und berechneten die Näherung mit<ref>{{Webarchiv |url=http://www.do.nw.schule.de/mbr/2020/geschichte.htm |wayback=20070509055700 |text=''Kleiner Geschichtsabriss zur Computer-, Technik-, Kommunikations- und Mediengeschichte.''}}. Beitrag zum Schülerprojekt ''Meine Welt 2020. Reportagen aus der Zukunft.'' 31. März 2000, abgerufen am 4. Februar 2024.</ref>

: <math>1 \cdot 60^0 + 24 \cdot 60^{-1} + 51 \cdot 60^{-2} + 10 \cdot 60^{-3} = \frac {30547}{21600}</math> = 1,'''41421'''2962…

Diese Näherung stimmt auf fünf Nachkommastellen mit dem tatsächlichen Wert von <math>\sqrt{2}</math> überein, die Abweichung beträgt nur −0,0000424 Prozent.

Im späten 6. oder frühen 5. Jahrhundert v. Chr. entdeckte [[Hippasos von Metapont]], ein [[Pythagoreer]], entweder an einem Quadrat oder an einem regelmäßigen Fünfeck, dass das Verhältnis von Seitenlänge zu Diagonale nicht mit [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] darzustellen ist. Damit bewies er die Existenz inkommensurabler Größen. Eine antike Legende, wonach die Veröffentlichung dieser Erkenntnis von den Pythagoreern als Geheimnisverrat betrachtet wurde, ist nach heutigem Forschungsstand unglaubwürdig.

== Vorkommen in der Natur ==
Im Gehirn gibt es Gitterzellen, die 2005 von einer Gruppe um [[May-Britt Moser|May-Britt]] und [[Edvard Moser]] entdeckt wurden: „Die Gitterzellen wurden in dem Kortexbereich gefunden, der sich direkt neben dem Hippocampus befindet […]. An einem Ende dieses kortikalen Bereichs ist die Maschenweite klein und am anderen Ende sehr groß. Die Maschenweite nimmt jedoch nicht zufällig zu, sondern von einem Bereich zum nächsten jeweils um den Faktor Quadratwurzel aus zwei.“<ref>{{Literatur |Autor=Kaja Nordengen |Titel=Hjernen er sternen. Ditt eneste uerstattelige organ |Verlag=Kagge Forlag AS |Datum=2016 |ISBN=978-82-489-2018-2 |Seiten=81 |Sprache=nb |Zitat=Gittercellene ble funnet barkområdet som ligger rett ved hippocampus […]. I den ene enden av dette barkområdet er maskestørrelsen liten og i den andre er den kjempe stor. Økningen i maskestørrelse er imidlertid ikke overlatt tilfeldighetene, men øker med kvadratroten av to, fra ett område til det neste.}}</ref>

== Sonstiges ==
* Der Rekord liegt seit dem 1. April 2025 bei 24 Billionen Nachkommastellen, erzielt von Teck Por Lim (Stand: 05. April 2025).<ref>{{Internetquelle |autor=Alexander J. Yee |url=https://numberworld.org/y-cruncher/records.html |titel=Records set by y-cruncher |werk=numberworld.org/ |hrsg=Alexander J. Yee |datum=2025-04-05 |sprache=en |abruf=2025-04-23}}</ref>
* Das Verhältnis der beiden Seitenlängen eines Blattes im [[Papierformat|DIN-A-Format]] beträgt <math>\tfrac {1}{\sqrt{2}}</math> mit Rundung auf ganze Millimeter (und hat entgegen mancher Annahme nichts mit dem [[Goldener Schnitt|Goldenen Schnitt]] <math>\tfrac {1+\sqrt{5}}{2}</math> zu tun). Dadurch ist sichergestellt, dass bei Halbierung des Blattes entlang der längeren Seite wieder ein Blatt im DIN-A-Format (mit um eins erhöhter Nummerierung) entsteht.
* Die Wurzel aus 2 ist das Frequenzverhältnis zweier Töne in der Musik bei [[Gleichstufige Stimmung|gleichschwebender Stimmung]], die einen [[Tritonus]], also eine halbe [[Oktave]] bilden.
* In der Elektrotechnik enthält die Beziehung zwischen [[Scheitelwert]] und Effektivwert von sinusförmiger Wechselspannung ebenfalls die Konstante <math>\sqrt{2}</math>.

=== Merkhilfe für die ersten Nachkommastellen ===
Für <math>\sqrt2 \approx 1{,}4\,14\,21\,35\,623\,7\,</math> gilt:<br />
Die ersten vier Zweierblöcke 1,4 | 14 | 21 | 35 der dezimalen Stellen sind, aufgefasst als zweistellige Zahlen, alle durch 7 teilbar.<br />
Die vier darauf folgenden Ziffern lassen sich in zwei Blöcke 623 | 7 aufteilen, die ebenfalls durch 7 teilbar sind.

== Ganzzahligkeit von Ausdrücken ==
Für alle ganzen <math>n \ge 0</math> ist nach dem [[Binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]] das allgemeine Glied der [[Pell-Folge]]

: <math>P(n) = \frac {\left(1+\sqrt{2}\right)^n-\left(1-\sqrt{2}\right)^n}{2 \cdot \sqrt{2}} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom {n}{2k+1} \cdot 2^k = \sum_{0 \le k < \frac {n+1}{2}} \binom {n}{2k+1} \cdot 2^k</math>

eine [[natürliche Zahl]] (für ganzzahliges <math>k > \tfrac {n-1}{2}</math> gilt <math>\tbinom {n}{2k+1} = 0</math>). <math>P(n+1)</math> ist der Nenner des <math>n</math>-ten [[#Kettenbruchentwicklung|Näherungsbruches der Kettenbruchentwicklung]] von <math>\sqrt{2}.</math>

== Rationalität von Potenzen ==
Am Beispiel von <math>\sqrt{2}</math> lässt sich zeigen, dass es mindestens eine rationale Potenz mit irrationaler Basis und irrationalem Exponenten gibt.

Setzt man beispielsweise <math>a=\sqrt{2}^\sqrt{2}</math> und <math>b=\sqrt{2}</math> so lassen sich zwei Fälle unterscheiden.

* Ist <math>a</math> rational, so sind wegen der Irrationalität von <math>\sqrt{2}</math> Basis und Exponent von <math>a</math> jeweils irrational, so dass die Aussage gilt.
* Ist <math>a</math> irrational, so gilt wegen
:<math>a^b=\left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)^\sqrt{2}=2</math>,
:der Irrationalität von <math>a</math> und <math>b</math> sowie der Rationalität von <math>a^b</math> die Aussage.<ref>Alexander Blinne, Matthias Müller, Konrad Schöbel: ''Mathematische Spielerei''. In: ''Was wäre die Mathematik ohne Wurzel?'' [[Springer Fachmedien Wiesbaden]] 2017, ISBN 978-3-658-14758-7, S. 123</ref>

== Weblinks ==
{{Commonscat|Square root of 2|Wurzel 2}}
* {{MathWorld|PythagorassConstant|Pythagoras’s Constant}}
* {{OEIS|A028254}} ([[Engel-Entwicklung]] (englisch {{lang|en|''[[:en:Engel expansion|Engel expansion]]''}}) von √2)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Besondere Zahl]]
[[Kategorie:Wurzel (Mathematik)]]

Quadratwurzel aus 2 - Versionsgeschichte

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