imported>Kognitiver: Mit Lineal und Zirkel nicht lösbare Quadratur des Kreises

2026-01-28T12:44:48Z

Mit Lineal und Zirkel nicht lösbare Quadratur des Kreises

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[[Datei:Quadratur rechteck hoehensatz.svg|rahmenlos|rechts|hochkant=1.2|Quadratur mit Hilfe des Höhensatzes]]
Die '''Quadratur des Rechtecks''' ist eine klassische Aufgabe der [[Geometrie]]. Mit Lineal und Zirkel soll aus einem gegebenen [[Rechteck]] ein [[Quadrat (Geometrie)|Quadrat]] mit gleich großer Fläche gezeichnet werden. Im Gegensatz zur auf diese Weise nicht lösbaren [[Quadratur des Kreises]] ist die Quadratur des Rechtecks auf verschiedene Arten möglich.

== Ausgangslage ==
[[Datei:Quadratur rechteck ausgangslage.svg|mini|hochkant=1.2|Rechtwinkliges Dreieck]]
Ausgangspunkt für die folgenden beiden Konstruktionen sind zwei auf [[Euklid]] zurückgehende mathematische Gesetze des [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkligen Dreiecks]], der [[Höhensatz]] und der [[Kathetensatz]].

In einem rechtwinkligen Dreieck seien ''a'' und ''b'' die den [[Rechter Winkel|rechten Winkel]] einschließenden [[Kathete]]n und ''c'' die [[Hypotenuse]]. ''h'' sei die [[Höhe (Geometrie)|Höhe]] auf die Seite ''c'', und ''p'' bzw. ''q'' seien die beiden Hypotenusenabschnitte. Dann gelten folgende Beziehungen:

<math> h^2 = p \cdot q </math> (Höhensatz von Euklid)

<math> a^2 = c \cdot p </math> und <math> b^2 = c \cdot q </math> (Kathetensatz von Euklid)
{{Absatz}}

== Methode mit dem Höhensatz ==
[[Datei:Quadratur rechteck hoehensatz.svg|mini|hochkant=1.2|Quadratur mit Hilfe des Höhensatzes]]

Ganz egal, welche Proportionen das gegebene (hier grüne) Rechteck hat: Wir nehmen an, seine eine Seite wäre der Hypotenusenabschnitt p und seine andere Seite der Hypotenusenabschnitt q eines rechtwinkligen Dreiecks. Dann schwenken wir die (hier) kürzere Seite des Rechtecks um 90° und erhalten die Basis eines rechtwinkligen Dreiecks. Über dieser Basis zeichnen wir einen [[Thaleskreis]]. Die Verlängerung der kürzeren Rechteckseite schneidet den Thaleskreis und liefert die Höhe des rechtwinkligen Dreiecks mit den Hypotenusenabschnitten p und q. Wenn man nun über dieser Höhe ein (hier oranges) Quadrat errichtet, hat dieses exakt denselben Flächeninhalt wie das gegebene Rechteck.
{{Absatz}}

== Methode mit dem Kathetensatz ==
[[Datei:Quadratur rechteck kathetensatz.svg|mini|hochkant=1.2|Quadratur mit Hilfe des Kathetensatzes]]

Bei der zweiten Methode nimmt man an, die längere Seite des (hier grünen) Rechtecks würde sich über die gesamte Basis c eines rechtwinkligen Dreiecks erstrecken. Dann dreht man die kürzere Seite des Rechtecks um 90° nach innen, sie liefert den Hypotenusenabschnitt q und den Fußpunkt der Höhe h. Dann zeichnet man über der Basis c einen [[Thaleskreis]]. Der Schnittpunkt der Höhe mit der Kreislinie ergibt den dritten Dreieckspunkt, wodurch sich die Kathete b ergibt. Wenn man nun über b ein (hier oranges) Quadrat errichtet, hat dieses exakt denselben Flächeninhalt wie das gegebene Rechteck.
{{Absatz}}

== Methode mit dem Sekanten-Tangenten-Satz ==
[[Datei:Squared-rectangle-using-secant-tangent-theorem.svg|mini|hochkant=1.2|Quadratur mit Hilfe des Sekanten-Tangenten-Satzes]]
Auch der [[Sekanten-Tangenten-Satz]] lässt sich für die Quadratur des Rechtecks verwenden: In einem gegebenen (hier grünen) Rechteck mit Länge ''p'' und Breite ''q'', sei eine Länge ''p'' auch als Strecke ''{{Overline|PR}}'' gekennzeichnet. Sei die Strecke ''{{Overline|QR}}'' gleich der Breite ''q'' und innerhalb ''{{Overline|PR}}''. Sei ''M1'' der Mittelpunkt der Strecke ''{{Overline|PQ}}''. Sei ''k1'' der Kreis mit Durchmesser ''{{Overline|PQ}}'', und ''k2'' der Kreis mit Durchmesser ''{{Overline|M1R}}''. Sei ''T'' ein Schnittpunkt dieser Kreise. Der Winkel ''M1TR'' ist nach dem Satz von Thales ein rechter, daher ist ''{{Overline|RT}}'' eine Tangente an ''k1''. Nach dem Sekanten-Tangenten-Satz gilt nun ''({{Overline|RT}})''2 = ''p·q''.
{{Absatz}}

== Methode mit dem Sehnensatz sowie mit dem geometrischen Mittel ==
[[Datei:01-Quadratur Rechteck-Sehnensatz.svg|mini|hochkant=1.5|Quadratur mit Hilfe des Sehnensatzes 
Das graue Rechteck ''b · c'' und die gestrichelten Linien sind für die Lösung nicht erforderlich, sie sollen lediglich die Lösung verdeutlichen, z. B. aus welchem Grund die Strecke ''{{Overline|BG}}'' eine Seite ''a'' des flächengleichen Quadrates ist.]]
Zu den vier bekanntesten Lösungen zur Flächenumwandlung zählt auch die, die mit Hilfe des [[Sehnensatz]]es darstellbar ist.<ref>{{Internetquelle |autor=Emese Vargyas, Ysette Weiss-Pidstrygach |url=http://www.mathematica-didactica.com/altejahrgaenge/md_2015/md_2015_Vargyas_Weiss-Pidstrygach_Sehnensatz.pdf#page=7&zoom=90,-130,115 |titel=5 Geschichte der Mathematik im Unterricht am Beispiel des Sehnensatzes S. 279–283, siehe S. 281, Abb. 4 |werk=Um welche Flächen geht es beim Sehnensatz? |hrsg=mathematica-didactica.com |datum=2015 |format=PDF |abruf=2019-04-28}}</ref> 
Für die Quadratur eines gegebenen (hier blauen) Rechtecks mit Länge ''p'' und Breite ''q'', werden zuerst zwei Ecken einer langen Seite mit ''A'' bzw. ''B'' bezeichnet. Es folgt die Verlängerung der Strecke ''{{Overline|AB}}'' um die Breite ''q'' mit Hilfe des Viertelkreises, dabei ergibt sich die Strecke ''{{Overline|AC}}''. Nach dem Einzeichnen der [[Mittelsenkrechte]]n von ''{{Overline|AC}}'' wird auf der Mittelsenkrechten der frei wählbare Punkt ''M'' bestimmt. Nun zeichnet man einen Kreis um den Punkt ''M'' mit dem Radius |''MA''|; hiermit wird die Strecke ''{{Overline|AC}}'' zur ersten Sehne des Kreises. Es geht weiter, indem der Durchmesser des Kreises durch den Punkt ''B'' gezogen wird. Die damit entstandene Strecke ''{{Overline|EF}}'' ist die zweite Sehne des Kreises. Beide Sehnen kreuzen sich im Punkt ''B'', der seinerseits die Sehne ''{{Overline|AC}}'' in ''p'' und ''q'' sowie die Sehne ''{{Overline|EF}}'' in ''b'' und ''c'' unterteilt. Schließlich wird eine Senkrechte auf die Strecke ''{{Overline|EB}}'' errichtet, die ab dem Punkt ''B'' bis auf die Kreislinie verläuft und den Schnittpunkt ''G'' erzeugt. Somit ergibt sich als Strecke ''{{Overline|BG}}'' die erste Seite ''a'' des gesuchten flächengleichen (hier grünen) Quadrates.

Wie beschrieben ist in der nebenstehenden Zeichnung die Sehne ''{{Overline|EF}}'' durch den Mittelpunkt des Kreises gezogen. Auf Grund dessen besteht bezüglich Verdeutlichung und Begründung des Ergebnisses die Möglichkeit (wie dargestellt), zusätzlich zur Rechteckfläche ''b · c'' für die Umwandlung in die Quadratfläche ''a2'',<ref>{{Literatur |Autor=John M. Lee |Hrsg=American Mathematical Society |Titel=Axiomatic Geometry |Ort=Rhode Island |Datum=2013 |Seiten=303 ff. |Online=[https://books.google.de/books?id=9Z0xAAAAQBAJ&pg=PA303#v=onepage&q&f=false Construction Problem 16.20 (Rectangle with a Given Area and Edge)] |Abruf=2017-05-05}}</ref> auch das rechtwinklige Dreieck EFG mit der Höhe ''h = a'' und die Quadratfläche ''h2'' einzuzeichnen. Alles zusammen gesehen, ist der [[Sehnensatz#Zusammenhang mit dem Höhensatz|Zusammenhang des Sehnensatzes mit dem Höhensatz]] deutlich erkennbar.

Gemäß dem Sehnensatz gilt:

: <math>\overline{AB} \cdot \overline{BC} = \overline{EB} \cdot \overline{BF} </math>

bzw.

: <math> p \cdot q = b \cdot c,</math>
daraus folgt (wie im Höhensatz von Euklid)

: <math> a^2 = p \cdot q,</math>

zieht man daraus die Quadratwurzel, ist die Seitenlänge ''a'' des Quadrates gleich dem [[Geometrisches Mittel|geometrischen Mittel]] der Länge p + q.<ref name="Magdeburg">Universität Magdeburg [http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/math4u/var/pdf/pa14.pdf A.14 Mittelwerte. Mittlere Proportionale, Seite 2, Punkt u. Bild: b)] (PDF) abgerufen am 7. Mai 2017</ref>

: <math>a = \sqrt{p\cdot q}</math>

[[Datei:01 Quadratur des Rechtecks-Geometrisches Mittel.svg|mini|links|hochkant=1.7|Quadratur des Rechtecks mit Hilfe des geometrischen Mittels]]
{{Absatz}}

== Siehe auch ==
* [[Quadratur des Kreises]]
* [[Quadratur der Parabel]]
* [[Quadratur des Quadrates]]
* [[Quadratur des Polygons]]

== Literatur ==
* ''Schülerduden – Mathematik I''. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, Mannheim 2008, ISBN 978-3-411-04208-1, S. 193, 212, 415–417
* Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: ''Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen''. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45461-9, S. [https://books.google.de/books?id=EG6qCAAAQBAJ&pg=PA31 31–32]

== Weblinks ==
{{Commonscat|Rectangle squaring}}
* {{MathWorld |id=RectangleSquaring |title=Rectangle Squaring}}
* [http://www.e-rara.ch/zut/content/zoom/2675549?zoom=1&lat=998.48413&lon=1493.69048&layers=B Euklid’s Elemente Zweytes Buch, Der 14. Satz.] – Quadratur des Rechtecks in den [[Elemente (Euklid)|Elementen des Euklid]]
* [https://mathematik.bildung-rp.de/fileadmin/user_upload/mathematik.bildung-rp.de/Sinus_und_Sinus-Transfer/4.2_OA_8-10__pdf_/Vom_Rechteck__das_ein_Quadrat_werden_wollte.pdf Vom Rechteck, das ein Quadrat werden wollte] (PDF)
* [https://www.mathematische-basteleien.de/rechteck.htm ''Quadratur des Rechtecks''] auf mathematische-basteleien.de

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Vierecksgeometrie]]

Quadratur des Rechtecks - Versionsgeschichte

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