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2025-03-22T13:48:02Z

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[[Datei:Quadratrix no anim.svg|mini|Quadratrix (rot); Momentaufnahme für F und E bei sechs Zehnteln ihres Weges]]
Die '''Quadratrix''' oder '''Trisektrix des Hippias''' (auch '''Quadratrix des Dinostratos''') ist eine [[Kinematik|kinematisch]] erzeugte [[Weg (Mathematik)|Kurve]], deren Erfindung der Überlieferung nach dem griechischen [[Sophist]]en [[Hippias von Elis]] (5. Jahrhundert v. Chr.) zugeschrieben wird. Sie ist eines der ältesten Beispiele einer kinematisch erzeugten Kurve und wurde benutzt, um zwei der [[Klassische Probleme der antiken Mathematik|drei großen antiken geometrischen Probleme]], die [[Dreiteilung des Winkels]] und die [[Quadratur des Kreises]], zu lösen. Hippias verwendete sie um 420 v. Chr. zur Dreiteilung des Winkels (daher [[Trisektrix]]) und [[Deinostratos|Dinostratos]] um 350 v. Chr. zur Quadratur des Kreises (daher [[Quadratrix]]).

== Definition ==
[[Datei:Quadratrixfunktion.svg|mini|Bild 1, Quadratrix auf x-Achse (''a''=1)]]
[[Datei:Quadratrixkurve.svg|mini|Bild 2, Quadratrix auf y-Achse (''a''=1)]]

Im Quadrat ''ABCD'' sei ein Viertelkreis um ''A'' mit der Seitenlänge des Quadrates als Radius eingezeichnet. Ein Punkt ''E'' durchlaufe den Viertelkreis von ''D'' nach ''B'' mit konstanter [[Winkelgeschwindigkeit]]. Ebenfalls mit konstanter Geschwindigkeit durchlaufe ''F'' die Strecke {{Overline|''DA''}}, und zwar so, dass ''E'' und ''F'' gleichzeitig in ''D'' loslaufen und gleichzeitig in ''B'' bzw. ''A'' ankommen. Die ''Quadratrix'' ergibt sich dann als [[Geometrischer Ort|Ortskurve]] des Schnittpunkts ''S'' der Strecke {{Overline|''AE''}} mit der Parallelen zu {{Overline|''AB''}} durch ''F''.<ref name="Hischer" /><ref name="Henn" />

Platziert man das obige Quadrat mit einer gegebenen Seitenlänge ''a'' so in einem (kartesischen) Koordinatensystem, dass die Seite {{Overline|''AB''}} auf der ''x''-Achse und der Punkt ''A'' im Ursprung liegt, dann wird die Quadratrix durch eine ebene Kurve <math> \gamma:(0,\tfrac{\pi}{2}]\rightarrow \mathbb{R}^2</math> beschrieben (Bild 1) und es gilt:
::<math> \gamma(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{2a}{\pi} t\cot(t)\\\frac{2a}{\pi} t\end{pmatrix}</math>
Diese Darstellung kann man nun auch verwenden, um die Quadratrix außerhalb ihres zugehörigen Quadrates zu definieren, wobei sie allerdings an den Definitionslücken des <math>\cot(t)</math> nicht definiert ist. Sie ist aber an der formalen Definitionslücke bei <math>t=0</math> wegen <math>\lim_{t\to 0} t \cot(t)=1</math> [[Fortsetzung (Mathematik)|stetig fortsetzbar]]. Dadurch erhält man eine stetige Kurve auf dem Intervall <math>(-\pi,\pi)</math>.<ref name="Jahnke" /><ref name="MathWorld" />

Möchte man die Quadratrix als (einfach darstellbare) Kurve beschreiben, so ist es zweckmäßig, die ''x''- und ''y''-Achsen zu vertauschen (Bild 2), das heißt, man legt {{Overline|''AB''}} auf die ''y''-Achse anstatt auf die ''x''-Achse. Dann wird die Quadratrix (<math>a=1</math>) durch folgende kartesische Gleichung beschrieben:<ref name="Underwood" /><ref name="MactTutor1" />
:<math> x=y \cdot \cot \left(\frac{\pi}{2a} \cdot y \right)</math>

== Winkelteilung ==
[[Datei:Mechanical Quadratrix or Quadratrixzirkel.svg|mini|hochkant=1|Quadratrix-Zirkel]]
[[Datei:Angle trisection quadratix hippias.svg|mini|hochkant=1.2|Dreiteilung eines Winkels]]
Die Dreiteilung eines beliebigen Winkels ist mit Zirkel und Lineal nicht möglich. Erlaubt man jedoch die Verwendung einer Quadratrix als ein weiteres Hilfsmittel, das heißt setzt man voraus, dass über einem Winkelschenkel eine Quadratrix gezeichnet werden kann, dann ist es möglich, einen beliebigen Winkel in ''n'' gleich große Winkel zu unterteilen. Damit ist dann insbesondere auch die Dreiteilung eines Winkels möglich (''n'' = 3). Zu einem Quadrat mit fest vorgegebener Länge kann man eine Quadratrix zum Beispiel mit Hilfe eines Quadratrix-Zirkels oder einer Quadratrix-Schablone zeichnen.<ref name="Hischer" /><ref name="Henn" />

Da nach Definition der Quadratrix der durchlaufene Winkel proportional zum durchlaufenen Streckenabschnitt auf der Quadratseite ist, liefert eine Einteilung dieses Streckenabschnitts in ''n'' gleich große Teile auch eine Einteilung des zugehörigen Winkels in ''n'' gleich große Teile. Die Einteilung einer beliebigen Strecke in ''n'' Teile ist aufgrund des [[Strahlensatz]]es mit Zirkel und Lineal möglich.

Zu einem gegebenen Winkel ''BAE'' (≤ 90°) errichtet man zunächst über seinem Schenkel ''AB'' ein Quadrat ''ABCD'' und zeichnet die zugehörige Quadratrix. Der zweite Schenkel des Winkels schneidet die Quadratrix in einem Punkt ''G'', und die zum Schenkel ''AB'' parallele Gerade durch ''G'' schneidet die Quadratseite {{Overline|''AD''}} in ''F''; dann ist {{Overline|''AF''}} der zum Winkel ''BAE'' proportionale Streckenabschnitt. Nun trägt man auf einem von ''A'' ausgehenden Strahl ''n'' äquidistante Punkte ab und verbindet den letzten Punkt ''O'' mit ''F''. Man zeichnet die zu {{Overline|''OF''}} parallelen Geraden durch die äquidistanten Punkte; deren Schnittpunkte mit der Strecke {{Overline|''AF''}} liefern dann die Einteilung dieser Strecke in ''n'' gleich große Teile. Die Parallelen zur Quadratseite ''AB'' durch diese Schnittpunkte schneiden die Quadratrix. Die Schnittpunkte auf der Quadratrix teilen dann den Winkel ''BAE'' in ''n'' gleich große Teile.<ref name="Underwood" />

Mit Zirkel und Lineal alleine kann man nicht jeden Punkt der Quadratrix erzeugen, sondern nur eine [[dichte Teilmenge]]. Damit kann man eine Quadratrix zwar beliebig gut annähern, aber eine exakte Winkelteilung ohne ein Gerät zur Erzeugung einer Quadratrix ist im allgemeinen Fall nicht möglich, da die benötigten Quadratrixpunkte nicht in dieser mit Hilfe von Zirkel und Lineal konstruierbaren Teilmenge liegen müssen.<ref name="Henn" /><ref name="Jahnke" />

== Quadratur des Kreises ==
[[Datei:Circle quadrature quadratix hippias2.svg|mini|hochkant=1.2|Quadratur des Viertelkreises mit r=1]]
Die Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal alleine ist unmöglich. Lässt man jedoch als weiteres Hilfsmittel die Quadratrix des Hippias zu, dann ermöglicht der [[Satz des Dinostratos]], mit Zirkel und Lineal ein zu einem Viertelkreis flächengleiches Quadrat zu konstruieren. Das Quadrat mit doppelter Seitenlänge hat dann den gleichen Flächeninhalt wie der volle Kreis.

Der Satz des Dinostratos besagt, dass die Quadratrix des Hippias die Seite des zugehörigen Quadrates im Verhältnis <math>\tfrac{2}{\pi}</math> teilt.<ref name="Hischer" /> Zu einem gegebenen Viertelkreis mit Radius ''r'' konstruiert man zunächst das zugehörige umschriebene Quadrat ''ABCD'' mit Seitenlänge ''r''. Dann schneidet die Quadratrix dieses Quadrates die Quadratseite {{Overline|''AB''}} in ''J'' und es gilt <math>\left|\overline{AJ}\right|=\tfrac{2}{\pi}r</math>. Nun errichtet man in ''J'' eine Strecke {{Overline|''JK''}}, die senkrecht zu {{Overline|''AB''}} ist und die Länge ''r'' hat. Dann schneidet die Gerade ''AK'' die verlängerte Seite {{Overline|''BC''}} in ''L''. Nach dem [[Strahlensatz]] gilt <math>\left|\overline{BL}\right|=\tfrac{\pi}{2} r</math>. Wenn man die Quadratseite {{Overline|AB}} über ''B'' hinaus um die Strecke <math>\left|\overline{BO}\right|=\tfrac{r}{2}</math> verlängert, dann bilden {{Overline|''BL''}} und {{Overline|''BO''}} die Grundseite eines Rechtecks ''OBLN'', dessen Fläche der des Viertelkreises entspricht. Zu diesem Rechteck lässt sich mit Hilfe des [[Höhensatz des Euklid|Höhensatzes von Euklid]] und des [[Satz des Thales|Satzes des Thales]] ein flächengleiches Quadrat konstruieren (siehe auch [[Quadratur des Rechtecks]]). Dazu verlängert man die Rechteckseite {{Overline|''ON''}} um die Strecke <math>\left|\overline{OQ}\right|=\tfrac{r}{2}</math>, errichtet einen Halbkreis mit {{Overline|''NQ''}} als Durchmesser und verlängert die Strecke {{Overline|''AO''}} so, dass sie den Halbkreis in ''R'' schneidet. Nach dem Satz des Thales ist das Dreieck ''NQR'' rechtwinklig, und nach dem Höhensatz des Euklid ist seine Höhe {{Overline|''OR''}} die Grundseite eines Quadrates, das flächengleich zum Rechteck ''OBLN'' und damit auch zum Viertelkreis ist.<ref name="Holme" />

Der Schnittpunkt ''J'' der Quadratrix mit der Quadratseite {{Overline|''AB''}} ist jedoch bei Anwendung der geometrischen Definition nicht definiert, da an dieser Stelle die beiden zu schneidenden Strecken zusammenfallen und kein eindeutiger Schnittpunkt existiert. Damit lässt sich der Punkt ''J'' weder mit Zirkel und Lineal noch mit Hilfe des obigen Quadratrix-Zirkels „exakt“ konstruieren.<ref name="Delahaye" /><ref name="MactTutor2" />

== Historisches ==
In historischen Quellen wird die Quadratrix bei [[Proklos]] (412–485), [[Pappos]] (3./4. Jahrhundert) und [[Iamblichos von Chalkis|Iamblichos]] (ca. 240–325) erwähnt. Proklos gibt Hippias als den Entdecker einer als Quadratrix bezeichneten Kurve an und beschreibt an einer anderen Stelle, wie Hippias diese Kurve zur Dreiteilung eines beliebigen Winkels verwendet. Pappos hingegen beschreibt, wie eine als Quadratrix bezeichnete Kurve von Dinostratos, [[Nikomedes (Mathematiker)|Nikomedes]] und anderen zur Quadratur des Kreises verwendet wurde. Dabei erwähnt er jedoch weder Hippias namentlich, noch benennt er explizit einen Entdecker der Kurve. Iamblichos gibt lediglich in einem kurzen Satz an, dass Nikomedes eine als Quadratrix bezeichnete Kurve zur Quadratur des Kreises verwendet hat.<ref name="Van der Waerden" /><ref name="Gow" /><ref name="Heath" />

Obwohl es aufgrund der Bezeichnung der Kurve als Quadratrix bei Proklos denkbar ist, dass Hippias die Kurve auch selbst zur Quadratur verwendet hat, wird diese Quellenlage von Mathematikhistorikern meist so gedeutet, dass Hippias die Kurve zwar entdeckt, aber selbst nur zur Dreiteilung des Winkels verwandt hat und ihre Anwendung zur Quadratur auf spätere Mathematiker, insbesondere Dinostratos und Nikomedes zurückgeht. Diese Lesart der historischen Quellen geht auf [[Moritz Cantor]] zurück.<ref name="Gow" /><ref name="Heath" />

== Literatur ==
* Hans-Wolfgang Henn: ''Elementare Geometrie und Algebra''. Verlag Vieweg+Teubner, 2003, S. 45–48 ''Die Quadratur des Kreises'' ({{Google Buch|BuchID=2caZW8KRMtAC|Seite=45|Linktext=Auszug (Google)|KeinText=ja}})
* [[Felix Klein (Mathematiker)|Felix Klein]]: ''Famous Problems of Elementary Geometry''. Cosimo 2007 (Nachdruck), ISBN 978-1-60206-417-1, S. 57–58 ({{Google Buch|BuchID=YJjXmo84DJkC|Seite=57|Linktext=Auszug (Google)|KeinText=ja}})
* Audun Holme: ''Geometry: Our Cultural Heritage''. Springer 2010, ISBN 978-3-642-14440-0, S. 114–116 ({{Google Buch|BuchID=zXwQGo8jyHUC|Seite=114|Linktext=Auszug (Google)|KeinText=ja}})
* [[Thomas Heath|Thomas Little Heath]]: ''A History of Greek Mathematics. Volume 1. From Thales to Euclid''. Clarendon Press 1921 (Nachdruck Elibron Classics 2006), S. 225–230 ({{archive.org|historyofgreekma01heat}})
* Horst Hischer: [http://www.horst.hischer.de/publikationen/buch-beitraege/2000-Festschrift_Scheid/Festschrift_Scheid-60.pdf ''Klassische Probleme der Antike – Beispiele zur „Historischen Verankerung“''.] (PDF; 539 kB). In: Jürgen Blankenagel, Wolfgang Spiegel (Hrsg.): ''Mathematikdidaktik aus Begeisterung für die Mathematik – Festschrift für [[Harald Scheid]]''. Klett, Stuttgart/Düsseldorf/Leipzig 2000, S. 97–118.
* Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: ''Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics''. MAA 2010, ISBN 978-0-88385-348-1, S. 146–147 ({{Google Buch|BuchID=mIT5-BN_L0oC|Seite=146|Linktext=Auszug (Google)|KeinText=ja}})

== Weblinks ==
{{Commonscat|Quadratrix of Hippias}}
* [http://haftendorn.uni-lueneburg.de/mathe-lehramt.htm?show=http://haftendorn.uni-lueneburg.de/kurven/transzendente/quadratrix/quadratrix.htm Quadratrix und die Quadratur des Kreises.] Universität Lüneburg
* Michael D. Huberty, Ko Hayashi, Chia Vang: [http://www.geom.uiuc.edu/~huberty/math5337/groupe/quadratrix.html ''Hippias’ Quadratrix'']
* {{MathWorld |id=QuadratrixofHippias |title=Quadratrix of Hippias}}
* {{MacTutor |id=Quadratrix |title=Quadratrix of Hippias|page=cur}}
* Suzanne Harper, Shannon Driskell: [http://www.maa.org/press/periodicals/convergence/an-investigation-of-historical-geometric-constructions ''An Investigation of Historical Geometric Constructions''.] In: ''Convergence'', August 2010

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="Henn">
Hans-Wolfgang Henn: ''Elementare Geometrie und Algebra''. Verlag Vieweg+Teubner 2003, S. 45–48 ''Die Quadratur des Kreises'' ({{Google Buch|BuchID=2caZW8KRMtAC|Seite=47|Linktext=Auszug (Google)|KeinText=ja}})
</ref>
<ref name="Jahnke">
Hans Niels Jahnke: ''A History of Analysis''. [[American Mathematical Society]] 2003, ISBN 0-8218-2623-9, S. 30–31 ({{Google Buch |BuchID=CVRZEXFVsZkC |Seite=30 |Linktext=Auszug (Google) |KeinText=ja}})
</ref>
<ref name="Underwood">
Dudley Underwood: ''The Trisectors''. Cambridge University Press 1994, ISBN 0-88385-514-3, S. 6–8 ({{Google Buch |BuchID=tp3kHvbMjqUC |Seite=6 |Linktext=Auszug (Google) |KeinText=ja}})
</ref>
<ref name="Hischer">
Horst Hischer: [http://www.horst.hischer.de/publikationen/buch-beitraege/2000-Festschrift_Scheid/Festschrift_Scheid-60.pdf ''Klassische Probleme der Antike – Beispiele zur „Historischen Verankerung“''] (PDF; 539 kB). In: Jürgen Blankenagel, Wolfgang Spiegel (Hrsg.): ''Mathematikdidaktik aus Begeisterung für die Mathematik – Festschrift für Harald Scheid''. Klett, Stuttgart/Düsseldorf/Leipzig 2000, S. 97–118.
</ref>
<ref name="MactTutor1">
{{MacTutor|id=Quadratrix|title=Quadratrix of Hippias|page=cur}}
</ref>
<ref name="MactTutor2">
{{MacTutor|id=Dinostratus|title=Dinostratus|page=bio}}
</ref>
<ref name="MathWorld">
{{MathWorld|id=QuadratrixofHippias|title=Quadratrix of Hippias}}
</ref>
<ref name="Holme">
Audun Holme: ''Geometry: Our Cultural Heritage''. Springer 2010, ISBN 978-3-642-14440-0, S. 114–116 ({{Google Buch |BuchID=zXwQGo8jyHUC |Seite=114 |Linktext=Auszug (Google) |KeinText=ja}})
</ref>
<ref name="Delahaye">
[[Jean-Paul Delahaye]]: ''Pi – Die Story''. Springer 1999, ISBN 3-7643-6056-9, S. 71 ({{Google Buch |BuchID=RNb95MU9fUUC |Seite=71 |Linktext=Auszug (Google) |KeinText=ja}})
</ref>
<ref name="Van der Waerden">
Van der Waerden: ''Science Awakening''. Oxford University Press 1961, S. 146
</ref>
<ref name="Gow">
[[James Gow (Philologe)|James Gow]]: ''A Short History of Greek Mathematics''. 1884, Reprint: Cambridge University Press 2010, ISBN 978-1-108-00903-4, S. 162–164 ({{Google Buch |BuchID=KSe_ZEmHaXEC |Seite=162 |Linktext=Auszug (Google) |KeinText=ja}})
</ref>
<ref name="Heath">
[[Thomas Heath|Thomas Little Heath]]: ''A History of Greek Mathematics. Volume 1. From Thales to Euclid''. Clarendon Press 1921 (Nachdruck Elibron Classics 2006), S. 182, 225–230 ({{archive.org|historyofgreekma01heat}}).
</ref>
</references>

[[Kategorie:Kurve (Geometrie)]]

Quadratrix des Hippias - Versionsgeschichte

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