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2025-03-22T12:32:40Z

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In der [[Algebra]] sind '''Quadratklassen''' die Äquivalenzklassen einer bestimmten [[Äquivalenzrelation]], der '''quadratischen Äquivalenz''' in einer [[Kommutative Gruppe|kommutativen Gruppe]]. Sie sind dann die [[Nebenklasse (Mathematik)|Nebenklassen]] der Untergruppe der Quadrate in dieser Gruppe. Das Konzept der Quadratklassen und der quadratischen Äquivalenz wird unter anderem angewendet
* in der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] bei der affinen Klassifikation von [[Quadrik]]en in einem [[Affiner Raum|affinen Raum]] über einem beliebigen [[Körper (Algebra)|Körper]],
* in der [[Projektive Geometrie|projektiven Geometrie]] bei der projektiven Klassifikation von [[Projektive Quadrik|projektiven Quadriken]] in einem [[Projektiver Raum|projektiven Raum]] über einem beliebigen Körper,
* in der [[Synthetische Geometrie|synthetischen Geometrie]]
:* bei der Untersuchung von [[Orthogonalitätsrelationen]], siehe [[Präeuklidische Ebene]],
:* bei der Untersuchung von möglichen [[Geordneter Körper|Anordnungen]] von [[Körper (Algebra)|Körpern]] (→ siehe [[pythagoreischer Körper]] und als Spezialfall [[euklidischer Körper]]),
* in der [[Zahlentheorie]] bei der Untersuchung quadratischer [[Diophantische Gleichung|diophantischer Gleichungen]].
Quadratklassen werden in der Literatur auch allgemeiner definiert, wobei sich die Folgerungen des gängigen, [[Gruppentheorie|gruppentheoretischen]] Begriffs meist als der wesentliche Kern des allgemeineren Konzepts herauskristallisieren.

== Definitionen ==
Die allgemeine Definition einer „quadratischen Relation“ hat den Vorzug, dass sie sich immer dann sinnvoll anwenden lässt, wenn diese Definition zu einer Äquivalenzrelation führt. Die gruppentheoretische Definition zeigt, dass die quadratische Relation jedenfalls für kommutative Gruppen eine Äquivalenzrelation ist, und die Quadratklassen damit tatsächlich eine Einteilung der Gruppe in Nebenklassen einer Untergruppe sind. Damit können in diesem Spezialfall alle Sätze und Eigenschaften für Nebenklassen der [[Normalteiler]] einer beliebigen und der Untergruppen einer [[Abelsche Gruppe|abelschen Gruppe]] auf Quadratklassen angewendet werden.

=== Allgemeine Definition ===
Sei <math>M</math> eine Menge mit der zweistelligen Verknüpfung <math>\cdot</math> und <math>A</math> eine bezüglich dieser Verknüpfung abgeschlossene, nichtleere [[Teilmenge]]. Dann wird auf <math>M</math> eine zweistellige Relation <math>\sim</math> eingeführt durch die Definition
* <math>m_1\sim m_2</math>, falls es Elemente <math>a_1,a_2\in A</math> gibt, so dass <math>m_1\cdot a_1^2=m_2\cdot a_2^2</math> ist.
Nun gilt:
# Die Relation ist durch ihre Definition stets [[Reflexive Relation|reflexiv]] und [[Symmetrische Relation|symmetrisch]].
# Sie ist sicher dann [[Transitive Relation|transitiv]], wenn die Verknüpfung [[Assoziativgesetz|assoziativ]] auf <math>M</math> und kommutativ auf <math>A</math> ist.
:* Hinreichend für die Transitivität sind bereits die folgenden, schwächeren Bedingungen: Für <math>m\in M;\;a,b\in A</math> existieren stets Elemente <math>c,d\in A</math> so dass
::#<math>(m\cdot a^2)\cdot b^2=m \cdot c^2</math> (Abschwächung der Assoziativität) und
::# <math>a^2\cdot b^2=d^2\;</math> (Abschwächung der Kommutativität) gilt.

In allen Fällen, in denen die Relation transitiv, also eine Äquivalenzrelation ist, nennt man zwei Elemente von <math>M</math>, die die Relation erfüllen, quadratisch äquivalent (im weiteren Sinn) bezüglich der Teilmenge <math>A</math>. Jede Äquivalenzklasse dieser Relation, die ein Element von <math>A</math> enthält, heißt Quadratklasse (im engeren Sinn) von <math>M</math> bezüglich <math>A</math>.

=== Gruppentheoretische Definition ===
Sei <math>(G,\cdot)</math> eine kommutative Gruppe. Dann ist die Quadratabbildung
:<math>q\colon G \rightarrow G; g\mapsto g^2</math>
ein [[Gruppenhomomorphismus]]. Dessen Bild, also die Menge <math>G^2=\lbrace g^2 \mid g\in G \rbrace </math> der „Quadrate“ ist eine Untergruppe von <math>G</math> und die Nebenklassen dieser Untergruppe heißen Quadratklassen von <math>G</math>.

Das ist der Spezialfall der allgemeinen Definition, wenn dort <math>M=A=G</math> gesetzt wird.

Wenn die Quadratabbildung [[Surjektivität|surjektiv]] ist, gibt es nur eine Quadratklasse, die dann die ganze Gruppe umfasst. Dieser Fall tritt für [[endliche Gruppe]]n genau dann ein, wenn die Abbildung [[Injektivität|injektiv]] ist und also nach dem [[Satz von Lagrange]] und den [[Sylow-Sätze]]n genau dann, wenn die [[Gruppenordnung|Ordnung]] der Gruppe ungerade ist und daher kein Element eine gerade [[Ordnung eines Gruppenelementes|Ordnung]] hat.

Allgemeiner ist die [[Mächtigkeit (Mathematik)|Anzahl]] der Quadratklassen der [[Index (Gruppentheorie)|Index]] <math>( G: G^2 )</math> der Quadrate in <math>G</math>.

== Quadratklassen in kommutativen Ringen ==
=== Körper ===
In einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>(K,+,\cdot)</math> wird meist die quadratische Äquivalenz bezüglich der multiplikativen Gruppe <math>(K^*,\cdot)</math> als ''die'' quadratische Äquivalenz bezeichnet. Die Äquivalenzklasse (im weiteren Sinn) von 0 besteht nur aus dem Nullelement, alle anderen sind Quadratklassen von <math>K</math> im Sinne der allgemeinen Definition und von <math>(K^*,\cdot)</math> im engeren Sinne und im Sinn der gruppentheoretischen Definition.

=== Integritätsbereich ===
In einem [[Integritätsbereich]] <math>(R,+,\cdot)</math> (mit Einselement) wird in der Regel – wie in einem Körper – quadratische Äquivalenz bezüglich des kürzbaren, kommutativen [[Monoid]]s <math>(R\setminus \lbrace 0 \rbrace, \cdot)</math> als ''die'' quadratische Äquivalenz bezeichnet. Auch hier sind alle Äquivalenzklassen außer <math>\lbrace 0\rbrace</math> Teilmengen von <math>A=R\setminus \lbrace 0 \rbrace</math> und damit Quadratklassen von <math>R</math> (im engeren Sinn).

Zudem ist hier die quadratische Äquivalenz mit der Einbettung des Integritätsbereiches in seinen [[Quotientenkörper]] <math>\operatorname{Quot}(R)</math> verträglich: Zwei Elemente des Integritätsbereiches sind genau dann quadratisch äquivalent im Ring, wenn sie (genauer: die Bilder dieser Elemente unter der Einbettung) auch im Quotientenkörper (dort auch im Sinne der gruppentheoretischen Definition) quadratisch äquivalent sind. Darüber hinaus enthält jede Quadratklasse des Quotientenkörpers „ganze“ Elemente, also eingebettete Bilder von Elementen des Integritätsbereichs <math>R</math>.

== Beispiele ==
* Der Körper der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] enthält genau zwei Quadratklassen, nämlich die Menge der positiven und die der negativen reellen Zahlen. Dies gilt allgemeiner für jeden [[Euklidischer Körper|euklidischen Körper]].
* Der Körper der [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] enthält nur eine Quadratklasse, nämlich <math>\Complex^*=\Complex\setminus \lbrace 0\rbrace</math>. Das gilt entsprechend für jeden [[Algebraischer Abschluss|algebraisch abgeschlossenen]] Körper.
* Der Integritätsbereich der [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] <math>\Z</math> enthält unendlich viele Quadratklassen. Zwei ganze Zahlen (außer 0) sind genau dann quadratisch äquivalent, wenn ihr Produkt eine [[Quadratzahl]], also quadratisch äquivalent zu 1 ist. Ein Repräsentantensystem bilden die [[quadratfreie Zahl|quadratfreien Zahlen]].
* Der [[Restklassenkörper]] <math>K=\Z/p\Z</math> enthält nur eine Quadratklasse, falls <math>p=2</math> ist, und genau zwei Quadratklassen, falls <math>p</math> eine ungerade [[Primzahl]] ist. Für die Geometrie ist weiterhin folgende Unterscheidung wichtig: Ist die ungerade Primzahl <math>p</math> von der Form <math>p=4\cdot k+1,\; k\in \N</math>, dann sind −1 und 1 quadratisch äquivalent, für <math>p=4\cdot k+3,\; k\in \N_0</math> liegen sie in unterschiedlichen Quadratklassen. (→Siehe dazu [[Quadratischer Rest]], [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz]] und – für eine geometrische Anwendung – [[präeuklidische Ebene]]).
* Alle [[endlicher Körper|endlichen Körper]] <math>\mathbb{F}_{2^n}</math> mit der [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] 2 besitzen genau eine Quadratklasse. Daher ist jede [[reinquadratische Gleichung]] <math>X^2+c=0</math> in diesen Körpern lösbar und hat durch den [[Frobeniushomomorphismus]] genau ''eine doppelt zählende'' Lösung.
* Ein nichtkommutatives Beispiel ergibt sich für die [[Quaternionengruppe]] <math>Q_8 = \lbrace \pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\rbrace</math>. Obwohl diese Gruppe nicht kommutativ ist, sind die 4 Nebenklassen des [[Zentrum (Algebra)|Zentrums]] <math>Z(Q_8)=(Q_8)^2=\lbrace \pm 1\rbrace</math> Quadratklassen der Gruppe (bezüglich der Gruppe <math>A=Q_8</math> selbst) im Sinne der allgemeinen Definition. Da diese Gruppe auch multiplikative Gruppe eines [[Quasikörper]]s ist (→ der in [[Ternärkörper#Beispiele der Ordnung 9]] beschriebene Quasikörper <math>J_9</math>) sind diese Quadratklassen in der Synthetischen Geometrie von Interesse. Für den Quasikörper <math>J_9</math> ist <math>\lbrace 0 \rbrace \cup Z(Q_8)</math> zugleich der ''Kern''.

== Literatur ==
* {{Literatur
| Herausgeber= [[Martin Aigner]], [[Dieter Jungnickel]]
| Titel= Geometries and groups. Proceedings of a colloquium, held at the Freie Universität Berlin, May 1981
| Auflage=
| Verlag= Springer
| Ort= Berlin/Heidelberg/New York
| Jahr= 1981
| ISBN= 3-540-11166-2
}}
* {{Literatur
| Herausgeber= Oleg Tomovich Ižboldin, Jean-Pierre Tignol
| Titel=Geometric methods in the algebraic theory of quadratic forms
| TitelErg=summer school, Lens, 2000
| Kommentar=Lecture notes in mathematics, Vol. 1835
| Auflage=
| Verlag= Springer
| Ort= Berlin/Heidelberg/New York/Hong Kong/London/Milan/Paris/Tokyo
| Jahr= 2000
| ISBN= 3-540-20728-7
}}
* {{Literatur
| Autor= [[Helmut Hasse]]
| Titel= Über die Darstellbarkeit von Zahlen durch quadratische Formen im Körper der rationalen Zahlen
| Sammelwerk=Journal für die reine und angewandte Mathematik
| Auflage=
| Verlag=
| Ort=
| Jahr= 1923
| ISBN=
| Online=[http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=261017 Volltext beim Göttinger Digitalisierungszentrum]
}}
* {{Literatur
| Autor= [[Hanfried Lenz]]
| Titel=Quadratische Formen und Kollineationsgruppen
| Sammelwerk=Archiv der Mathematik
| Band=Band 18
| Seiten=110–119
| Auflage=
| Verlag=
| Ort= Hannover
| Jahr= 1962
| DOI=10.1007/BF01650054
}}
* {{Literatur
| Autor= Armin Leutbecher
| Titel= Zahlentheorie: Eine Einführung in die Algebra
| Auflage=
| Verlag= Springer
| Ort= Berlin/Heidelberg/New York
| Jahr= 1996
| ISBN= 3-540-58791-8
}}

[[Kategorie:Gruppentheorie]]
[[Kategorie:Körpertheorie]]
[[Kategorie:Kommutative Algebra]]
[[Kategorie:Synthetische Geometrie]]
[[Kategorie:Zahlentheorie]]

Quadratklasse - Versionsgeschichte

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