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Der Begriff '''Quadratische Menge'''<ref name="Beutelspacher">Beutelspacher & Rosenbaum (2004)</ref> beschreibt in der [[Synthetische Geometrie|synthetischen Geometrie]] Mengen, die in der [[Analytische Geometrie|analytischen Geometrie]] als [[projektive Quadrik]]en bezeichnet werden, ''koordinatenfrei'', allein durch Inzidenz- und Reichhaltigkeitseigenschaften. Er verallgemeinert diesen Begriff dabei so, dass er auch für [[Satz von Desargues|nichtdesarguessche]] [[projektive Ebene]]n und für nicht-[[Satz von Pappos|pappussche]] [[projektive Geometrie]]n angewandt werden kann.<ref>Tatsächlich ist der Begriff „quadratische Menge“ in vielen Fällen echt umfassender als „projektive Quadrik“ und damit nicht gleichwertig zu diesem analytischen Begriff. Gleichwertig sind die Begriffe in ''endlichen, desarguesschen'' [[Fano-Axiom|Fano]]-Ebenen, beachte dazu die Beispiele im vorliegenden Artikel.</ref> Quadratische Mengen und ihre Tangentialräume sind selbst wieder ''Geometrien'' in einem allgemeineren Sinn, sogenannte [[Inzidenzstruktur]]en, in einigen Fällen sind sie sogar projektive Geometrien. Besonders nützlich ist der Begriff bei ''endlichen'' Geometrien.
[[Datei:Frans van Schooten - Ellipsenzirkel.png|mini|Ellipsenzirkel nach [[Frans van Schooten]]. Der Gelenkmechanismus wurde von dem holländischen Mathematiker im 17. Jahrhundert erfunden. Wenn man am Stift in Punkt E zieht, zeichnet dieser eine Ellipse. Der Mechanismus ist an den Brennpunkten H und I auf der Zeichenunterlage befestigt. Die Konstruktion beruht auf der Definition der Ellipse als Ortslinie.]]

== Geschichte ==
[[Quadrik]]en in der Zeichenebene, insbesondere [[Ellipse]]n werden mindestens seit der [[Antike|klassischen Antike]] erforscht. Bis ins 18. Jahrhundert wurden sie durch Beschreibung ihrer Konstruktion mit Hilfe von [[Zeichengerät]]en (siehe die Abbildung am Ende der Einleitung) oder als [[Geometrischer Ort]] weitgehend ohne Bezug auf ein Koordinatensystem definiert.<ref>Fano (1910), I.1</ref> Man könnte daher für diese Zeit auch von einem „synthetischen“ Begriff der Quadriken sprechen. Allerdings wurde erst im 19. Jahrhundert eine axiomatische Grundlage für die projektive Geometrie entwickelt. Vorher hatte sie als ''geometrie descriptive'' nur aus Sprachregelungen für „uneigentliche“ Objekte bestanden, die der Zeichenebene oder dem Anschauungsraum „hinzugefügt“ werden. Seit der Jahrhundertwende zum 20. Jahrhundert sind nichtdesarguessche [[projektive Ebene]]n bekannt, bis in die 1960er Jahre wurden eine Vielzahl von (vor allem endlichen) Modellen für solche Ebenen gefunden.<ref name="Benz">Benz (1990)</ref> Die analytische Beschreibung von Quadriken als [[Nullstellenmenge]] von quadratischen Koordinatengleichungen, die für pappussche Geometrien zu einer befriedigenden algebraischen Klassifikation aller Quadriken geführt hat (siehe [[Hauptachsentransformation]], [[Projektive Quadrik]]), lässt sich bereits für Geometrien über nichtkommutativen [[Schiefkörper]]n nur eingeschränkt verwenden, für nichtdesarguessche Ebenen ist sie weitgehend nutzlos. Der Begriff „Quadratische Menge“ wurde 1969 von [[Francis Buekenhout|Buekenhout]] eingeführt,<ref>Buekenhout (1969)</ref> um auch Quadriken in solchen Ebenen beschreiben zu können. Seit den 1970er Jahren werden Quadriken auf diese Weise systematisch untersucht. Da die endlichen projektiven Ebenen auch für die [[Kodierungstheorie]] eine wichtige Rolle spielen, werden in diesem Zusammenhang von Zeit zu Zeit Ergebnisse mit überraschenden Anwendungen scheinbar weitab der abstrakten Geometrie gefunden.<ref name="Beutelspacher" />

== Definitionen ==
[[Datei:Conic sections 2n.png|mini|Ein (unbeschränkter) ''Doppelkegel'' im euklidischen Anschauungsraum ist in dessen projektivem Abschluss eine quadratische Menge und zählt zu den ''Kegeln''. Diese quadratische Menge ist ''ausgeartet'', denn der Tangentialraum der Spitze des Kegels ist der Gesamtraum, genauer besteht das ''Radikal'' des Kegels genau aus dieser Spitze. Schneidet man den Kegel mit einer Ebene, die die Spitze des Kegels nicht enthält, dann entsteht in dieser Ebene eine nichtausgeartete quadratische Menge. Die drei gezeigten Fälle Parabel (A), Ellipse (B) und Hyperbel (C) unterscheiden sich als quadratische Mengen im projektiven Abschluss der jeweiligen Schnittebene nur unwesentlich: Jede dieser quadratischen Mengen ist ein ''Oval''. In Schnittebenen, die die Spitze des Kegels enthalten, wird auf die gleiche Weise eine der ausgearteten quadratischen Mengen Punkt, Gerade oder Doppelgerade induziert.]]

=== Quadratische Menge, Tangente ===
Sei <math>\mathbb{P}</math> eine [[projektive Geometrie]] beliebiger, endlicher [[Dimension (Mathematik)|Dimension]]<ref><math>\mathbb{P}</math> ist in diesem Artikel durchgehend eine solche Geometrie.</ref> und sei <math>\mathcal{Q}</math> eine Menge von Punkten dieser Geometrie.
# Wenn eine Gerade <math>g</math> der Geometrie entweder mit <math>\mathcal{Q}</math> nur einen Punkt gemeinsam hat oder wenn jeder Punkt von <math>g</math> in <math>\mathcal{Q}</math> enthalten ist, dann heißt <math>g</math> eine '''Tangente''' an <math>\mathcal{Q}</math>.
# Eine Tangente an <math>\mathcal{Q}</math>, die mit <math>\mathcal{Q}</math> nur einen Punkt <math>P</math> gemeinsam hat, heißt eine '''Tangente an''' <math>\mathcal{Q}</math> '''in''' <math>P</math>.
# Eine Tangente mit der Eigenschaft, dass jeder Punkt von <math>g</math> in <math>\mathcal{Q}</math> enthalten ist, heißt <math>\mathcal{Q}</math>-Gerade, allgemeiner heißt ein Unterraum <math>U</math> ein <math>\mathcal{Q}</math>-'''Unterraum''', falls jeder Punkt von <math>U</math> in <math>\mathcal{Q}</math> enthalten ist.
# Für jeden Punkt <math>P\in \mathcal{Q}</math> heißt die Menge <math>\mathcal{Q}_P</math>, die aus dem Punkt <math>P</math> und allen Punkten <math>A\neq P</math> besteht, die mit <math>P</math> durch eine Tangente verbunden sind, '''Tangentialraum''' von <math>P</math> an <math>\mathcal{Q}</math>. Dieser [[Tangentialraum]] wird auch als <math>\mathfrak{T}(\mathcal{Q},P)</math> notiert.

Die Menge <math>\mathcal{Q}</math> heißt '''Quadratische Menge von''' <math>\mathbb{P}</math>, falls die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
# („Wenn 3 dann alle!“) Jede Gerade <math>g</math>, die mindestens drei Punkte von <math>\mathcal{Q}</math> enthält, ist ganz in <math>\mathcal{Q}</math> enthalten. Mit anderen Worten: Jede Gerade hat mit <math>\mathcal{Q}</math> keinen, genau einen, genau zwei oder alle Punkte gemeinsam.
# (Tangentenaxiom) Für jeden Punkt <math>P\in \mathcal{Q}</math> ist der Tangentialraum <math>\mathfrak{T}(\mathcal{Q},P)</math> die Menge der Punkte einer [[Hyperebene]] oder die Menge aller Punkte von <math>\mathbb{P}</math>.

=== Radikal, ausgeartete quadratische Menge ===
* Für eine quadratische Menge <math>\mathcal{Q}</math> ist <math>\mathop{\mathrm{Rad}}(\mathcal{Q})</math> die Menge aller Punkte <math>P\in \mathcal{Q}</math>, für die <math>\mathfrak{T}(\mathcal{Q},P)</math> aus allen Punkten von <math>\mathbb{P}</math> besteht. Diese Menge heißt das '''Radikal''' von <math>\mathcal{Q}</math>.
* Eine quadratische Menge heißt '''nichtausgeartet''', falls <math>\mathop{\mathrm{Rad}}(\mathcal{Q})=\emptyset</math> ist, sonst heißt sie '''ausgeartet'''.

=== Index einer quadratischen Menge ===
* Es sei <math>\mathcal{Q}</math> eine quadratische Menge, <math>t-1</math> die größte Dimension eines <math>\mathcal{Q}</math>-Unterraums. Dann heißt <math>t</math> der '''Index''' von <math>\mathcal{Q}</math>. Man nennt die <math>\mathcal{Q}</math>-Unterräume der Dimension <math>t-1</math> dann auch '''maximale''' <math>\mathcal{Q}</math>-Unterräume.

=== Oval und Ovoid {{Anker|Ovoid}} ===
{{Hauptartikel|Oval (Projektive Geometrie)}}
{{Hauptartikel|Ovoid (Projektive Geometrie)}}
* Eine nichtleere Punktmenge <math>\mathcal{O}</math> in einer [[Projektive Ebene|projektiven Ebene]] <math>\mathbb{P}</math> heißt ein '''Oval''', falls keine drei Punkte von <math>\mathcal{O}</math> kollinear sind und durch jeden Punkt von <math>\mathcal{O}</math> genau eine Tangente geht.<ref name="OvQuad">Aus der Definition folgt, dass ein Oval bzw. Ovoid eine nichtausgeartete quadratische Menge der Ebene bzw. des Raumes ist.</ref>

Die Verallgemeinerung des Ovals für beliebigdimensionale Räume ist das ''Ovoid'':
* Eine nichtleere Punktmenge <math>\mathcal{O}</math> in einem <math>d</math>-dimensionalen Raum <math>\mathbb{P}</math> heißt '''Ovoid''', falls gilt:
:# Keine drei Punkte von <math>\mathcal{O}</math> sind kollinear,
:# für jeden Punkt <math>P\in\mathcal{O}</math> ist <math>\mathfrak{T}(\mathcal{Q},P)</math> eine Hyperebene.<ref name="OvQuad" />

=== Nukleus und Hyperoval ===
* Im Falle seiner Existenz heißt der gemeinsame Schnittpunkt aller Tangenten an ein Oval in einer endlichen Ebene der '''Nukleus''' des Ovals.<ref name="Polster4" />
* Die Menge der Punkte, die aus einem Oval zusammen mit seinem ''Nukleus.'' besteht, wird als '''Hyperoval''' bezeichnet.

=== Kegel ===
Sei <math>H</math> eine Hyperebene des projektiven Raumes <math>\mathbb{P}</math>, <math>S</math> ein Punkt, der nicht in <math>H</math> liegt und <math>\mathcal{Q}^*</math> eine nichtausgeartete, nichtleere quadratische Menge von <math>H</math>. Dann heißt die quadratische Menge
:<math>\mathcal{Q}:= \bigcup_{X\in \mathcal{Q}^*} (SX)</math>
ein '''Kegel''' mit '''Spitze''' <math>S</math> über <math>\mathcal{Q}^*</math>.

=== Elliptische, parabolische und hyperbolische quadratische Mengen ===
Sei <math>\mathcal{Q}</math> eine nichtausgeartete quadratische Menge in einer <math>d</math>-dimensionalen projektiven Geometrie <math>\mathbb{P}</math>. Dann werden folgende Bezeichnungen vereinbart:<ref>Beutelspacher & Rosenbaum (2004), Definition S. 147.</ref>

{| class="wikitable"
|+ Haupttypen von quadratischen Mengen, klassifiziert nach ihrem Index
|- class="hintergrundfarbe5"
!Raumdimension ''d''|| Index ''t'' || Bezeichnung der quadratischen Menge
|-
| <math>d</math> ist gerade ||<math>t=\frac{d}{2}</math> || align="center" |'''parabolisch'''
|-
| rowspan="2"| <math>d</math> ist ungerade || <math>t=\frac{d-1}{2}</math> || align="center" |'''elliptisch'''
|-
| <math>t=\frac{d+1}{2}</math> || align="center" | '''hyperbolisch'''
|-
|}

== Eigenschaften ==
=== Index ===
Es sei <math>\mathcal{Q}</math> eine quadratische Menge vom Index <math>t</math> in einer <math>d</math>-dimensionalen projektiven Geometrie <math>\mathbb{P}</math>.
* Dann geht durch jeden Punkt von <math>\mathcal{Q}</math> ein maximaler <math>\mathcal{Q}</math>-Unterraum.
:* Genauer gilt: Durch jeden Punkt <math>P</math> von <math>\mathcal{Q}</math> außerhalb eines <math>t-1</math>-dimensionalen Unterraumes <math>U</math> gibt es einen <math>t-1</math>-dimensionalen <math>\mathcal{Q}</math>-Unterraum <math>V</math>, der <math>U</math> in einem <math>t-2</math>-dimensionalen Unterraum schneidet.

Ist die quadratische Menge nichtausgeartet und nichtleer, dann
* ist <math>t\leq\frac{d}{2}</math>, falls <math>d</math> gerade ist und
* <math>t\leq\frac{d+1}{2}</math>, falls <math>d</math> ungerade ist.<ref>Beutelspacher & Rosenbaum (2004), Satz 4.2.4</ref>
Ist darüber hinaus <math>\mathbb{P}</math> endlich, dann
* ist <math>t=\frac{d}{2}</math>, falls <math>d</math> gerade ist und
* <math>t\in\lbrace \frac{d-1}{2}, \frac{d+1}{2}\rbrace</math>, falls <math>d</math> ungerade ist.<ref>Der Satz geht auf [[Ernst Witt]] zurück. Beutelspacher & Rosenbaum (2004), Satz 4.4.4</ref>
Mit anderen Worten: In einer endlichen projektiven Geometrie ist jede nichtausgeartete und nichtleere quadratische Menge
* parabolisch, falls die Dimension <math>d</math> gerade ist,
* elliptisch oder hyperbolisch, falls <math>d</math> ungerade ist.

=== Klassifikation quadratischer Mengen in der Ebene ===
Sei <math>\mathcal{Q}</math> eine quadratische Menge in einer projektiven Ebene <math>\mathbb{P}</math>. Dann ist <math>\mathcal{Q}</math> die [[leere Menge]], eine einpunktige Menge, die Punktmenge einer oder zweier Geraden, die gesamte Punktmenge oder ein Oval. Genau dann, wenn die quadratische Menge <math>\mathcal{Q}</math> nichtleer und nichtausgeartet ist, ist sie ein Oval.<ref>Beutelspacher & Rosenbaum (2004), Satz 4.3.1</ref>

=== Satz von Segre, quadratische Mengen und Quadriken in pappusschen Räumen {{Anker|Satz von Segre}} ===
Es sei <math>\mathbb{P}=\mathbb{P}(K^{d+1})</math> der ''d''-dimensionale, pappussche [[Projektiver Raum|projektive Raum]] über einem Körper ''K'', dessen [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] nicht 2 sei. Dann gilt:
* Jede [[projektive Quadrik]] von <math>\mathbb{P}</math> ist eine quadratische Menge. Eine Quadrik ist genau dann als quadratische Menge nichtausgeartet, wenn die zugehörige [[quadratische Form]] nichtausgeartet ist.<ref>Beutelspacher & Rosenbaum (2004), Satz 4.7.4</ref>
* Ist <math>d=2</math> und <math>K</math> ein [[endlicher Körper]], dann ist jede quadratische Menge eine projektive Quadrik.<ref>Beutelspacher & Rosenbaum (2004), Satz 4.7.5</ref>
Die zweite Aussage folgt aus dem [[Satz von Segre (Projektive Geometrie)|Satz von Segre]]:<ref>Nach {{Literatur |Autor=[[Beniamino Segre]] |Titel=Sulle ovali nei piani lineari finiti |Sammelwerk=Atti Accad. Naz. Lincei Rendic |Band=17 |Datum=1957 |Seiten=141–142}}</ref>
: ''Jedes Oval in einer endlichen desarguesschen Ebene ungerader Ordnung ist ein [[Kegelschnitt]] (im Sinne der analytischen Geometrie).''
* In den endlichen Ebenen gerader Ordnung <math>P(2,2^r)</math> existieren im Allgemeinen Ovale, die keine projektiven Quadriken sind. Genauer gilt:<ref name="Polster4">Polster (1991), 1.6 Ovals and Hyperovals</ref>
*# In den desarguesschen endlichen Ebenen <math>P(2,2)</math> und <math>P(2,4)</math> ist jedes Oval eine projektive Quadrik.
*# In jeder desarguesschen endlichen Ebene <math>P(2,2^r)</math> gerader Ordnung mit <math>r\geq 3</math> existieren Ovale, die keine projektiven Quadriken sind. Jedes solche Oval entsteht aus einem Oval <math>\mathcal{Q}</math>, das eine projektive Quadrik ist, indem ein beliebiger Punkt der Quadrik <math>\mathcal{Q}</math> durch den ''Nukleus'' dieses Ovals <math>\mathcal{Q}</math> ersetzt wird.

=== Parabolische quadratische Menge ===
Sei <math>\mathcal{Q}</math> eine parabolische quadratische Menge in einem 2<math>t</math>-dimensionalen projektiven Raum <math>(t\geq 2)</math>. Dann gilt:<ref>Beutelspacher & Rosenbaum (2004), Satz 4.5.1</ref>
# Ist <math>H</math> eine Tangentialhyperebene von <math>\mathcal{Q}</math>, dann ist die in <math>H</math> induzierte Quadrik <math>\mathcal{Q}^*=\mathcal{Q}\cap H</math> ein Kegel über einer parabolischen quadratischen Menge.
# Ist <math>H</math> eine Hyperebene, die keine Tangentialhyperebene von <math>\mathcal{Q}</math> ist, dann ist die in <math>H</math> induzierte Quadrik <math>\mathcal{Q}^*=\mathcal{Q}\cap H</math> eine elliptische oder hyperbolische quadratische Menge.

=== Hyperbolische quadratische Menge ===
Sei <math>\mathcal{Q}</math> eine hyperbolische quadratische Menge in einem <math>2t+1</math>-dimensionalen projektiven Raum <math>(t\geq 2)</math>.<ref>Beutelspacher & Rosenbaum (2004), Satz 4.5.3</ref>
# Ist <math>H</math> eine Tangentialhyperebene von <math>\mathcal{Q}</math>, dann ist die in <math>H</math> induzierte Quadrik <math>\mathcal{Q}^*=\mathcal{Q}\cap H</math> ein Kegel über einer hyperbolischen quadratischen Menge.
# Ist <math>H</math> eine Hyperebene, die keine Tangentialhyperebene von <math>\mathcal{Q}</math> ist, dann ist die in <math>H</math> induzierte Quadrik <math>\mathcal{Q}^*=\mathcal{Q}\cap H</math> eine parabolische quadratische Menge.

Wenn in einem mindestens dreidimensionalen projektiven Raum eine hyperbolische quadratische Menge existiert, dann ist der Raum pappossch, also über einem kommutativen Körper koordinatisiert.<ref>Beutelspacher & Rosenbaum (2004), Korollar 4.5.4</ref>

=== Anzahlen in endlichen Räumen ===
Es sei <math>\mathcal{Q}</math> eine quadratische Menge in einer <math>d</math>-dimensionalen projektiven Geometrie <math>\mathbb{P}=\mathbb{P}({\mathbb{F}_q}^{d+1})</math> über dem endlichen Körper <math>\mathbb{F}_q</math>. Für einen beliebigen Punkt <math>P\in\mathcal{Q}\setminus\mathop{\mathrm{Rad}}(\mathcal{Q})</math> sei <math>a_P</math> die Anzahl der <math>\mathcal{Q}</math>-Geraden durch <math>P</math>. Dann gilt:<ref>Beutelspacher & Rosenbaum (2004), Lemma 4.4.1</ref>
# Die Anzahl <math>a=a_P</math> ist unabhängig von der Wahl von <math>P\in\mathcal{Q}\setminus\mathop{\mathrm{Rad}}(\mathcal{Q}).</math>
# Ist <math>H=\mathfrak{T}(\mathcal{Q},P)</math> eine Hyperebene, was für <math>P\in\mathcal{Q}\setminus\mathop{\mathrm{Rad}}(\mathcal{Q})</math> stets der Fall ist, dann enthält <math>H</math> genau <math>aq+1</math> Punkte von <math>\mathcal{Q}.</math>
# Die quadratische Menge <math>\mathcal{Q}</math> enthält genau <math>1+q^{d-1}+aq</math> Punkte.

== Beispiele ==
[[Datei:Eikurve aus geometrischer ellipse.svg|mini|Ein Eirund in der reellen Ebene ist ein Oval und eine quadratische Menge im Sinne der synthetischen Definition, aber im Allgemeinen keine Quadrik!]]
* Die leere Menge ist in jeder projektiven Geometrie eine nichtausgeartete quadratische Menge. In einem mindestens eindimensionalen projektiven Raum über den [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] <math>\mathbb{P}(\Complex^{d+1}), d\geq 1</math> ist sie keine projektive Quadrik.
* [[Oval (Geometrie)|Ovale und Ovoide]] im herkömmlichen Sinn in [[Reelle Zahl|reellen]] affinen Räumen, wie zum Beispiel das „Eirund“ in der Abbildung rechts sind im projektiven Abschluss des Raumes immer quadratische Mengen.

=== Index ===
In zwei- bzw. dreidimensionalen Räumen treten die folgenden nichtausgearteten, nichtleeren, quadratischen Mengen <math>\mathcal{Q}</math>, die Quadriken sind, auf:
* In zweidimensionalen Räumen hat <math>\mathcal{Q}</math> stets den Index 1 und ist ein ''parabolisches Oval'', das heißt die maximale Dimension enthaltener Teilräume ist 0, Einzelpunkte sind die größten enthaltenen Teilräume. In der affinen Klassifikation unterscheidet man 3 Typen: [[Ellipse]], [[Parabel (Mathematik)|Parabel]] und [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbel]], diese sind aber im projektiven Abschluss äquivalent.
* In dreidimensionalen Räumen hat <math>\mathcal{Q}</math> den Index 1 oder 2.
** Beim Index 1 ist <math>\mathcal{Q}</math> elliptisch. Es handelt sich dann in der affinen Klassifikation um ein [[Ellipsoid]], ein [[Paraboloid]] oder um ein zweischaliges [[Hyperboloid]], die jeweils wieder projektiv äquivalent sind.
** Beim Index 2 ist <math>\mathcal{Q}</math> hyperbolisch: Es handelt sich in der affinen Klassifikation um ein einschaliges Hyperboloid. Durch jeden Punkt von <math>\mathcal{Q}</math> – und dies gilt auch im projektiven Abschluss – gehen genau zwei <math>\mathcal{Q}</math>-Geraden. Die Gesamtheit aller <math>\mathcal{Q}</math>-Geraden zerfällt in zwei Scharen, deren jede die Fläche <math>\mathcal{Q}</math> als [[Regelfläche]] erzeugt.

=== Lösungsanzahlen für homogene quadratische Gleichungen ===
* Die Gleichung <math>Q:A_1x_1^2+A_2x_2^2+A_3x_3^2=0; A_1,A_2,A_3\in K^*</math> beschreibt in jeder projektiven Ebene über einem Körper <math>K</math> eine projektive Quadrik, also eine quadratische Menge <math>\mathcal{Q}=\{\langle (x_1,x_2,x_3)\rangle\in \mathbb{P}(K^3)|A_1x_1^2+A_2x_2^2+A_3x_3^2=0\}</math>. Diese ist – sofern die Charakteristik von <math>K</math> nicht 2 ist – nie ausgeartet.
: Ist <math>K=\mathbb{F}_q</math> der endliche Körper mit ''q'' Elementen (''q'' ungerade), dann gilt:
:* Die Gleichung <math>Q</math> besitzt eine nichttriviale Lösung, die quadratische Menge <math>\mathcal{Q}</math> hat den Index 1 und ist also ein Oval.
:* <math>\mathcal{Q}</math> enthält genau <math>q+1</math> projektive Punkte, drei verschiedene Punkte in <math>\mathcal{Q}</math> sind nie [[kollinear]].
:* Die Gleichung <math>Q</math> hat genau <math>(q-1)(q+1)=q^2-1</math> nichttriviale Lösungen.
: Vergleiche zu den hier formulierten ''Existenz''aussagen [[Korrelation (Projektive Geometrie)#Polaritäten über endlichen Räumen]].

=== Fano-Ebene ===
[[Datei:Fano plane binpoints.svg|mini|Koordinatisiertes Modell der Fano-Ebene. Die Ecken des äußeren, gleichschenkligen Dreiecks <math>001,010,100</math> bilden eine quadratische Menge: Ein Oval. Zusammen mit dem Punkt <math>111</math> bilden diese Punkte ein vierpunktiges Hyperoval.]] In der [[Fano-Ebene]], der projektiven Ebene über dem Körper mit 2 Elementen <math>K=\Z/2\Z</math>, ist die Nullstellenmenge der Quadrik <math>x_1^2+x_2^2+x_3^2=0</math> gleich der Nullstellenmenge der Geradengleichung <math>x_1+x_2+x_3=0</math>. Die zugehörige quadratische Menge ist also eine Gerade und wie die Quadriken <math>x_1^2+x_2^2=0</math> und <math>x_1^2=0</math>, die ebenfalls Geraden beschreiben, ausgeartet.

Dagegen ist <math>x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=0</math> eine nicht zu den genannten äquivalente Quadrik. Ihre Erfüllungsmenge besteht genau aus den projektiven Punkten, für die genau eine Koordinate ungleich 0 ist, vergleiche die Abbildung, die quadratische Menge ist ein Oval. Der Mittelpunkt des Dreiecks im Modell ist der Schnittpunkt aller drei Tangenten, also bilden die Ecken zusammen mit dem Mittelpunkt ein Hyperoval. Alle Ovale und Hyperovale in der Fano-Ebene gehen durch eine [[Projektivität]] aus diesem Oval bzw. Hyperoval hervor. Hyperovale sind genau die [[Komplement (Mengenlehre)|Komplemente]] der sieben Geraden, das sind alle [[Vollständiges Viereck|vollständigen Vierecke]] der Fano-Ebene. Lässt man aus einem solchen Hyperoval einen beliebigen Punkt fort, so erhält man ein neues, zu dem dargestellten äquivalentes Oval.

== Literatur ==
*{{Literatur
|Autor=[[Albrecht Beutelspacher]], Ute Rosenbaum
|Titel=Projektive Geometrie
|TitelErg=Von den Grundlagen bis zu den Anwendungen
|Reihe=Vieweg Studium: Aufbaukurs Mathematik
|Auflage=2., durchgesehene und erweiterte
|Verlag=Vieweg
|Ort=Wiesbaden
|Datum=2004
|ISBN=3-528-17241-X
|Online=[http://d-nb.info/972794298/04 Inhaltsverzeichnis]
|Abruf=2012-04-01}}
*{{Literatur
|Autor=Francis Buekenhout
|Titel=Handbook of Incidence Geometry
|Verlag=North Holland
|Datum=1995
|ISBN=0-444-88355-X}}
*{{Literatur
|Autor=Burkhard Polster
|Titel=A geometrical picture book
|Auflage=1.
|Verlag=Springer
|Ort=New York / Berlin / Heidelberg
|Datum=1998
|ISBN=0-387-98437-2}}

; Geschichte
*{{Literatur
|Autor=Walter Benz
|Titel=Ein Jahrhundert Mathematik, 1890–1990
|TitelErg=Festschrift zum Jubiläum der [[Deutsche Mathematiker-Vereinigung|DMV]]
|Verlag=Vieweg
|Ort=Braunschweig
|Datum=1990
|ISBN=3-528-06326-2}}
*{{Literatur
|Autor=[[Gino Fano]]
|Titel=Gegensatz von synthetischer und analytischer Geometrie in seiner historischen Entwicklung im XIX. Jahrhundert. In: Enzyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. Dritter Band in drei Teilen: Geometrie
|Verlag=Teubner
|Ort=Leipzig
|Datum=1910
|Online=[https://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?IDDOC=201484 PDF-Volltext beim Göttinger Digitalisierungszentrum]
|Abruf=2012-04-13}}
*{{Literatur
|Autor=Jeremy Gray
|Titel=Worlds out of nothing: a course of the history of geometry of the 19. Century
|Verlag=Springer
|Datum=2007
|ISBN=978-0-85729-059-5}}

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

== Weblinks ==
* [https://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/progeo.pdf ''Projektive Geometrie'', Kurzskript, Uni Darmstadt] (PDF; 180 kB)

[[Kategorie:Synthetische Geometrie]]
[[Kategorie:Endliche Geometrie]]

Quadratische Menge - Versionsgeschichte

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