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2026-03-16T15:17:39Z

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{{Dieser Artikel| behandelt quadratische Funktionen mit einer Variablen. Für quadratische Funktionen mit mehreren Variablen siehe [[quadratische Form]].}}
[[Datei:Parabola2.svg|mini|Die [[Normalparabel]], der Graph der Quadratfunktion]]

Eine '''quadratische Funktion''' (auch ''[[ganzrationale Funktion]] 2. Grades'') ist eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], die als Funktionsterm ein [[Polynom]] vom Grad 2 besitzt, also von der Form
: <math>f(x) = a x^2 + b x + c</math> mit <math>a \ne 0</math>
ist. Der [[Funktionsgraph|Graph]] ist die [[Parabel (Mathematik)|Parabel]] mit der Gleichung <math>y = a x^2 + b x + c</math>.

Die Funktionen der Form <math>f(x) = a x^2</math> mit <math>a \ne 0</math> (also <math>b = c = 0</math>) heißen ''spezielle quadratische Funktionen''. Die Funktion <math>f</math> mit <math>f(x) = x^2</math> heißt ''Quadratfunktion''.<ref>{{Literatur |Autor=Karl C. Mosler, Rainer Dyckerhoff, Christoph Scheicher |Titel=Mathematische Methoden für Ökonomen |Auflage=3. |Verlag=Springer Gabler |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2018 |ISBN=978-3-662-54245-3 |Seiten=119}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Thomas Westermann |Titel=Mathematik für Ingenieure 1 |Auflage=9. Auflage |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2024 |ISBN=978-3-662-69657-6 |Seiten=146}}</ref>

== Quadratfunktion und spezielle quadratische Funktion ==
Die Funktion <math>f</math> mit der Zuordnungsvorschrift <math>x \mapsto x^2</math> heißt ''Quadratfunktion''. Ihr Graph ist eine nach oben geöffnete, zur y-Achse symmetrische Parabel, deren [[Scheitelpunkt]] im [[Koordinatenursprung]] liegt, die [[Normalparabel]].

Eine Funktion der Form <math>f(x)=ax^2</math> mit <math>a\ne 0</math> heißt ''spezielle quadratische Funktion''. Ihr Graph ist eine zur <math>y</math>-Achse symmetrische Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung. Diese entsteht aus der Normalparabel durch Strecken oder Stauchen in Richtung der <math>y</math>-Achse und gegebenenfalls Spiegeln an der <math>x</math>-Achse:

:<math>a > 0</math>: Die Parabel ist nach oben geöffnet.
:<math>a < 0</math>: Die Parabel ist nach unten geöffnet.
:<math>|a| < 1 </math>: Der Graph ist in Richtung der <math>y</math>-Achse gestaucht, d. h. in der Länge zusammengedrückt, wodurch er breiter erscheint und flacher ist.
:<math>|a| > 1 </math>: Der Graph ist in Richtung der <math>y</math>-Achse gestreckt, d. h. in die Länge gezogen, wodurch er schmaler erscheint und steiler ist.

Für <math>a=-1</math>: ist der Graph im Vergleich zur Normalparabel einfach an der <math>x</math>-Achse gespiegelt.

<gallery>
Parabola1.svg|Spiegelung bei Vorzeichenwechsel <math>a</math>
Parabola2a.svg|Stauchung bei <math>|a| < 1 </math>
Parabola3a.svg|Streckung bei <math>|a| > 1 </math>
</gallery>

== Allgemeine quadratische Funktion ==
Die Zuordnungsvorschrift der allgemeinen quadratischen Funktion ist <math>x \mapsto a x^2 + b x + c</math>. Die [[Koeffizient]]en <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> bestimmen den Wertebereich und die Form des Graphen.

=== Parameter a ===
Wie der Wert von <math>a</math> die Form des Graphen verändert, kann man am besten erkennen, wenn man <math>b = 0</math> und <math>c = 0</math> setzt. Man erhält dann eine gestreckte oder gestauchte und gegebenenfalls an der <math>x</math>-Achse gespiegelte [[Normalparabel]].

:<math>a > 0</math>: Der Graph ist nach oben geöffnet.
:<math>a < 0</math>: Der Graph ist nach unten geöffnet.
:<math>|a| < 1 </math>: Der Graph ist in Richtung der <math>y</math>-Achse gestaucht, d. h. in der Länge zusammengedrückt, wodurch er breiter erscheint und flacher ist.
:<math>|a| > 1 </math>: Der Graph ist in Richtung der <math>y</math>-Achse gestreckt, d. h. in die Länge gezogen, wodurch er schmaler erscheint und steiler ist.

Für <math>a=-1</math> ist der Graph im Vergleich zur Normalparabel einfach an der <math>x</math>-Achse gespiegelt.

=== Parameter c ===
Es gilt <math>f(0) = c</math>. Der Parameter <math>c</math> ist also der <math>y</math>-Wert des Schnittpunkts der Parabel mit der <math>y</math>-Achse.
Eine Veränderung des Parameters <math>c</math> bewirkt eine Verschiebung in <math>y</math>-Richtung. Wird <math>c</math> um eins erhöht, dann wird der Graph um eine Einheit nach oben verschoben. Wird <math>c</math> um eins verringert, wird der Graph dagegen um eine Einheit nach unten verschoben.

=== Parameter b ===
Der Parameter <math>b</math> gibt die Steigung der Parabel im Schnittpunkt mit der <math>y</math>-Achse an. Insbesondere kann man am Vorzeichen von <math>b</math> erkennen, ob die <math>y</math>-Achse mit dem fallenden oder dem ansteigenden Ast der Parabel geschnitten wird. Hieraus lassen sich wiederum Rückschlüsse über die Zahl und die mögliche Lage von Nullstellen ziehen.

Eine Veränderung des Parameters <math>b</math> bewirkt eine Verschiebung sowohl in <math>x</math>- als auch in <math>y</math>-Richtung. Wird <math>b</math> um eins erhöht, dann wird der Graph um <math>1/2a</math> Einheiten nach links und <math>(2b+1)/4a</math> nach unten verschoben. Wird <math>b</math> um eins verringert, wird der Graph dagegen um <math>1/2a</math> Einheiten nach rechts und <math>(2b-1)/4a</math> nach oben verschoben.

=== Scheitelpunkt ===
Der [[Scheitelpunkt]] ist maßgeblich für die Lage der Parabel und repräsentiert entweder das [[Extremwert|absolute Minimum]] (falls <math>a</math> positiv ist) oder das absolute Maximum (wenn <math>a</math> negativ ist). Die Koordinaten des Scheitelpunkts lassen sich direkt ablesen, wenn der Funktionsterm in der ''Scheitelpunktform'' vorliegt:

:<math>f(x) = a \left( x-x_s \right)^2 + y_s</math>.

Der Scheitelpunkt hat dann die Koordinaten <math>S(x_s | y_s)</math>. Der Graph ist [[Achsensymmetrie|achsensymmetrisch]] zu der Parallele zur <math>y</math>-Achse durch <math>x_s</math>.

Zur Bestimmung des Scheitelpunkts bzw. der Scheitelpunktform gibt es mehrere Methoden:

==== Bestimmung der Scheitelpunktform mit quadratischer Ergänzung ====
[[Datei:Quadratische Ergänzung - kolleg24 Mathematik.webm|mini|Bestimmung der Scheitelpunktfunktion mithilfe quadratischer Ergänzung]]
Die Scheitelpunktform kann aus der Darstellung <math>f(x) = a x^2 + b x + c</math> durch [[quadratische Ergänzung]] bestimmt werden.

'''Beispiel:'''
Bestimmung der Scheitelpunktform der quadratischen Funktion <math>f(x) = 2 x^2 + 4 x + 5 </math>.
{| style="margin-left:1em"
|-
| <math>y = 2 x^2 + 4 x + 5 </math>
| Die ursprüngliche Funktionsgleichung
|-
| <math>y = 2 \, \left( x^2 + 2 x \right) + 5</math>
| Der Faktor <math>a</math> vor dem <math>x^2</math> wurde ausgeklammert, wobei das konstante Glied + 5 ausgeschlossen bleibt.
|-
| <math>y = 2 \, \left( x^2 + 2 x + 1 - 1 \right) + 5</math>
| Es wird eine quadratische Ergänzung zu <math>x^2 + 2x</math> durchgeführt.
|-
| <math>y = 2 \, \left( \left( x + 1 \right) ^2 - 1 \right) + 5</math>
| Durch die quadratische Ergänzung ist es leicht möglich, mithilfe der [[Binomische Formel|binomischen Formeln]] aus einem Teil des Terms ein Quadrat herauszuziehen.
|-
| <math>y = 2 \, \left( x + 1 \right) ^2 - 2 + 5</math>
| Nun wurde noch die Klammer mit dem Faktor 2 wieder aufgelöst, um den Term zu vereinfachen.
|-
| <math>y = 2 \, \left( x + 1 \right) ^2 + 3</math>
| In der Endform lässt sich nun der Scheitelpunkt <math>S({-}1 | 3)</math> ablesen.
|}

==== Bestimmung des Scheitelpunkts mit Hilfe der Ableitung ====
Eine weitere Möglichkeit zur Berechnung des Scheitelpunktes bietet die [[Differentialrechnung]]. Da der Scheitelpunkt immer eine (lokale) Extremstelle (Maximum bzw. Minimum) ist, liefert die Nullstelle der ersten Ableitung der Funktion den <math>x</math>-Wert des Scheitelpunktes:

: <math>f(x)=ax^2+bx+c \Rightarrow f'(x)=2ax+b \,</math>,
: <math>f'(x_s) = 0 \Leftrightarrow 2ax_s+b=0 \Leftrightarrow x_s=\frac{-b}{2a}.</math>

Durch Einsetzen ergibt sich der <math>y</math>-Wert:
:<math> y_s=f(x_s)=a\left(\frac{-b}{2a}\right)^2+b\left(\frac{-b}{2a}\right)+c=c-\frac{b^2}{4a}.
</math>

'''Beispiel:'''
Bestimmung des Scheitelpunkts der quadratischen Funktion <math>f(x) = 2 x^2 + 4 x + 5 </math>.
{| style="margin-left:1em"
|-
| <math>f(x) = 2 x^2 + 4 x + 5 </math>
| Die ursprüngliche Funktionsgleichung
|-
| <math>f'(x) = 4 x + 4 </math>
| Die 1. Ableitung der Funktion
|-
| <math>4 x + 4 = 0 \Rightarrow x_S=-1</math>
| Bestimmung der Nullstelle der 1. Ableitung durch null setzen
|-
| <math>y_S = f(-1) = 2 \cdot (-1)^2 + 4 \cdot (-1) + 5 </math>
| Einsetzen von <math>x_S</math> in <math>f(x)</math>
|-
| <math> y_S=3</math>
| <math>y_S</math> berechnen
|}
Der Scheitelpunkt hat also die Koordinaten <math>S(-1 | 3)</math>.

==== Scheitelpunktberechnung mittels bekannter Nullstellen ====
Besitzt eine quadratische Funktion die Nullstellen <math>x_1, x_2</math>, so lassen sich die Koordinaten des Scheitelpunktes mithilfe der Nullstellen berechnen:
:<math>x_s=\frac{x_1+x_2} {2} , \quad y_s = f(x_s) = -\frac{a}{4}(x_2 - x_1)^2</math>.

=== Nullstellen einer quadratischen Funktion ===
Die [[Nullstelle]]n einer quadratischen Funktion sind die Lösungen der Gleichung <math>f(x)=0</math>, das heißt der [[Quadratische Gleichung|quadratischen Gleichung]]
:<math>ax^2 + bx + c = 0</math>.
Sie lassen sich mit Hilfe der abc-Formel berechnen:
: <math> x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>
Nimmt der Ausdruck unter der Wurzel ([[Diskriminante]]) einen negativen Wert an, so bedeutet dies, dass die quadratische Funktion keine (reellen) Nullstellen hat.

Liegt die Funktion in der Scheitelpunktform

:<math>f(x) = a \left( x-x_s \right)^2 + y_s</math>

vor, so erhält man die Nullstellen (im Falle der Existenz) als

:<math>x_{1,2} = x_S \pm\sqrt{-\frac{y_S}{a}}</math>.

=== Umkehrfunktion ===
Weil die Parabel nur für die Bereiche <math>x \le x_s</math> und <math>x \ge x_s</math> monoton ist, ergibt sich für jeden Bereich (jeden Ast der Parabel) eine Umkehrfunktion, welche zusammen ausgedrückt werden kann mit

:<math> x_{1,2} = \pm \frac{\sqrt{ay-4ac+b^2}\mp b}{2a}</math> = <math>\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4a(c-y)}}{2a} </math>
mit reellen Werten für
:<math> y \ge \frac{4ac-b^2}{4a}</math> bei <math>a > 0</math> oder <math> y \le \frac{4ac-b^2}{4a}</math> bei <math>a < 0</math>

=== Nullstellen und Linearfaktoren ===
Sind <math>x_1</math> und <math>x_2</math> die Nullstellen der quadratischen Funktion <math>f(x)=a x^2 + b x + c</math>, so kann man die Funktionsgleichung auch als Produkt ihrer Linearfaktoren schreiben:
:<math>f(x) = a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2)</math>

== Quadratisches Polynom ==
Sei <math>R</math> ein beliebiger [[Ring (Mathematik)|Ring]]. Als ''quadratische Polynome über'' <math>R</math> bezeichnet man Ausdrücke der Form
:<math>ax^2+bx+c\in R[x]</math>
mit <math>a,b,c\in R</math> und <math>a\not=0</math>. Formal handelt es sich um Elemente des [[Polynomring]]es vom Grad 2, sie definieren Abbildungen von <math>R</math> nach <math>R</math>. Im Fall <math>R=\R</math> handelt es sich im obigen Sinne um quadratische Funktionen.

Falls <math>R</math> ein [[algebraisch abgeschlossener Körper]] ist, zerfällt jedes quadratische Polynom als Produkt zweier Linearfaktoren.

Allgemeiner sind quadratische Polynome in <math>n</math> Variablen Ausdrücke der Form
:<math>\sum_{i,j=1}^na_{i,j}x_ix_j+\sum_{i=1}^nb_ix_i+c \in R[x_1,\ldots,x_n]</math>,
wobei nicht alle <math>a_{i,j}</math> Null sein sollen.
Diese Polynome definieren Abbildungen von <math>R^n</math> nach <math>R</math>. Ihre Nullstellenmengen im <math>R^n</math> werden als [[Quadrik]]en bezeichnet, im Fall <math>n=2</math> auch als [[Kegelschnitt]]e.

== Literatur ==
* Karin Hantschel, Lutz Schreiner, Michael Bornemann, Wiebke Salzmann: ''Wissen – Üben – Testen: Mathematik 9. Klasse''. Bibliographisches Institut, 2017, ISBN 978-3-411-91231-5, S. 27–34.
* Heinz Rapp: ''Mathematik für die Fachschule Technik''. Springer, 2015, ISBN 978-3-8348-0914-8, S. 156–170.

== Weblinks ==
* [https://www.selbstlernmaterial.de/m/s1fu/qf/qfindex.html Materialien zum selbstständigen Arbeiten für Schüler - Quadratische Funktionen]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4343047-8}}

[[Kategorie:Mathematische Funktion]]
[[Kategorie:Wikipedia:Artikel mit Video]]

Quadratische Funktion - Versionsgeschichte

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