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2025-12-19T20:07:42Z

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Eine '''quadratische Form''' ist in der [[Mathematik]] eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], die sich in einigen Aspekten wie die [[quadratische Funktion]] <math>x\mapsto x^2</math> verhält. Ein [[Polynom]], welches ausschließlich Terme zweiten [[Grad (Polynom)|Grades]] enthält, ist eine quadratische Form. Ein bekanntes Beispiel ist das Quadrat des Betrages eines Vektors <math>\vec{v} = (x,y,z,\dots)</math>:

:<math>|\vec{v}|^2 = x^2 + y^2 + z^2 + \dots</math>

Quadratische Formen tauchen in vielen Bereichen der Mathematik auf. In der Geometrie dienen sie dazu, [[Metrischer Raum|Metriken]] einzuführen, in der Elementargeometrie zur Beschreibung von [[Kegelschnitt]]en. Sie sind aber, falls zum Beispiel über den rationalen oder [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] betrachtet, auch ein klassischer Gegenstand der [[Zahlentheorie]], in der man etwa nach den Zahlen fragt, die sich durch eine quadratische Form darstellen lassen. Hier werden im Folgenden vor allem zahlentheoretische Aspekte betrachtet.

== Motivation ==
Ein (reeller) [[Vektorraum]] <math>V</math> mit [[Skalarprodukt]] <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> lässt sich zu einem [[Normierter Raum|normierten Raum]] machen, indem man die [[Norm (Mathematik)|Norm]] eines Vektors <math>x</math> als [[Skalarproduktnorm|induzierte Norm]] <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x\rangle}</math> definiert. Die hierbei verwendete Quadratwurzel stört insofern, als man, wenn man stattdessen die Abbildung <math>q\colon x\mapsto \langle x,x\rangle</math> betrachtet, auch auf allgemeinere [[Bilinearform]]en und andere [[Körper (Algebra)|Grundkörper]] <math>K</math> verallgemeinern kann. Da ein Vektorraum dadurch bestimmt ist, dass Vektoren addiert und mit Elementen des Grundkörpers skaliert werden können, ist zu untersuchen, wie die Abbildung <math>q</math> sich hierbei verhält. Man findet die folgenden Beziehungen:

:<math>
\begin{array}{ll}
q(a x) = a^2 q(x) & \mathrm{f\ddot ur\ alle} \quad a\in K \text{ und } x \in V\\
q(x+y) + q(x-y) = 2 q(x) + 2 q(y) & \mathrm{f\ddot ur\ alle} \quad x, y \in V
\end{array}
</math>

Abbildungen <math>q\colon V\to K</math>, die die obigen Bedingungen erfüllen, kann man auch betrachten, ohne dass sie von einer Bilinearform herstammen. Obendrein kann man von Vektorräumen über einem Körper zu [[Modul (Mathematik)|Moduln]] über einem [[Kommutativer Ring|kommutativen Ring]] mit [[Einselement]] verallgemeinern. Häufig untersucht man hierbei den Ring <math>\Z</math> der ganzen Zahlen sowie den Modul <math>\Z^n</math>, insbesondere <math>\Z^2</math>.

== Definitionen ==
=== Quadratische Form in ''n'' Unbestimmten ===
Eine quadratische Form (in <math>n</math> Unbestimmten) über einem [[Ringtheorie|kommutativen Ring mit Einselement]] <math>A</math> ist ein [[homogenes Polynom]] vom [[Grad (Polynom)|Grad]] 2 in <math>n</math> Unbestimmten mit Koeffizienten in <math>A</math>.

Der Begriff [[Form (Algebra)|Form]] wurde von [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] geprägt.<ref name="Cox">David Cox: ''Primes of the form <math>x^2+ny^2</math>''. Wiley & Sons, 1997, Seite 40.</ref>

==== Spezialfälle ====
* Für <math>n=2</math> spricht man von ''[[Binäre quadratische Form|binären quadratischen Formen]]''. Eine binäre quadratische Form ist also ein Polynom der Gestalt <math>aX^2+bXY+cY^2</math> mit <math>a,b,c\in A</math>.

* Für <math>n=3</math> spricht man von ''ternären quadratischen Formen''. Eine ternäre quadratische Form ist also ein Polynom der Gestalt <math>aX^2+bXY+cXZ+dY^2+eYZ+fZ^2</math> mit <math>a,\dotsc,f\in A</math>.

=== Quadratische Form auf Moduln ===
Allgemeiner definiert man den Begriff ''quadratische Form'' für beliebige A-[[Modul (Mathematik)|Moduln]] <math>M</math> wie folgt: Eine quadratische Form auf <math>M</math> ist eine Abbildung <math>q\colon M \to A</math> mit den folgenden Eigenschaften:
* Für alle <math>a\in A</math> und <math>x\in M</math> gilt <math>q(ax)=a^2q(x)</math>.
* Die Abbildung <math>b \colon M \times M \to A</math> definiert durch <math>b(x,y):=q(x+y)-q(x)-q(y)</math> ist linear in beiden Argumenten, also eine [[Bilinearform]] auf <math>M</math>. Sie ist automatisch symmetrisch, es gilt also <math>b(x,y)=b(y,x)</math>. Man nennt sie ''die zu <math>q</math> gehörige symmetrische Bilinearform''.
Eine quadratische Form im obigen Sinne ist somit eine quadratische Form auf dem Modul <math>A^n</math>.

=== Quadratischer Modul ===
Ein '''quadratischer Modul''' ist ein Paar <math>(M,q)</math>, bestehend aus einem A-[[Modul (Mathematik)|Modul]] <math>M</math> und einer quadratischen Form <math>q</math> auf <math>M</math>.

Es bezeichne <math>b</math> die zu <math>q</math> gehörige symmetrische [[Bilinearform]]. Dann heißen zwei Elemente <math>x,y\in M</math> <math>q</math>''-orthogonal'' beziehungsweise <math>b</math>''-orthogonal'', falls <math>b(x,y)=0</math> gilt.

=== Quadratischer Raum ===
Ein '''quadratischer Raum''' ist ein quadratisches Modul <math>(V,q)</math>, wobei <math>V</math> ein [[Vektorraum]] ist. Der [[Ring (Algebra)|Ring]], über dem <math>V</math> definiert ist, ist also ein [[Körper (Algebra)|Körper]].

== Algebraische Voraussetzungen ==
Im Folgenden sei angenommen, dass <math>2</math> in dem Ring <math>A</math> [[Einheit (Mathematik)|invertierbar]] ist. Dies gilt insbesondere für [[Körper (Algebra)|Körper]] der [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] ungleich 2 wie die [[Reelle Zahl|reellen]] oder [[Komplexe Zahl|komplexen]] Zahlen.

Ordnet man einer quadratischen Form <math>\textstyle q(x) = \sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n} q_{ij}x_ix_j</math> die Dreiecksmatrix <math>Q=(q_{ij}</math> mit <math>i \leqslant j</math>, sonst 0) zu, so kann man <math>q(x)</math> auch als <math>x^TQx</math> beziehungsweise als <math>x^TQ^Tx</math> auffassen. Hieraus ergibt sich zunächst:

; Bezug zu symmetrischen Bilinearformen: Es gibt eine eindeutige Entsprechung zwischen quadratischen Formen in <math>n</math> Unbestimmten und symmetrischen [[Bilinearform]]en auf <math>A^n</math>:
:Zu einer quadratischen Form <math>q</math> erhält man eine symmetrische Bilinearform <math>B</math> durch ''Polarisierung''
::<math>B(x,y) = \frac{1}{2}\left(q(x+y) - q(x) - q(y)\right).</math>
:Umgekehrt ist
::<math>q(x) = B(x,x).</math>
:Formal gesehen liefert diese Konstruktion zunächst nur eine Polynomfunktion; man erhält aber tatsächlich ein Polynom, indem man die Bilinearform durch eine Matrix darstellt oder sie auf beliebige <math>A</math>-[[Algebra (Struktur)|Algebren]] ausdehnt.

; Äquivalenz von Formen: Wenn <math>S</math> eine <math>n</math>-reihige Matrix ist, dann erhält man durch die Substitution <math>y=Sx</math> eine neue quadratische Form <math>y^T(S^TQS)y</math>. Wenn <math>S</math> invertierbar ist, kann man aus der neuen Form auch wieder die alte Form rückgewinnen. Insgesamt ermöglicht so eine Matrixgruppe <math>\Gamma</math> die Einführung einer [[Äquivalenzrelation]] auf der Menge aller quadratischen Formen. Wir sprechen hier von <math>\Gamma</math>-äquivalenten Formen (Beachte auch die Schlussbemerkung zu 4).

; Definitheit: Für reelle oder rationale Formen kann man über die entsprechenden Matrixkriterien für <math>Q+Q^T</math> ([[Definitheit]]) Aussagen darüber gewinnen, ob der Wertebereich der Form über <math>\R^n</math> nur positive oder nur negative Werte annimmt, oder ob eine derartige Beschränkung nicht zutrifft. Entsprechend wird die Form positiv definit, negativ definit oder indefinit genannt. Nimmt der Wertebereich für Definitionswerte ungleich Null nur positive bzw. negative Werte sowie Null an, so heißt die Form positiv bzw. negativ semidefinit.

== Beispiele/Klassifikation ==
=== Quadratische Formen über den reellen Zahlen ===
Es sei <math>V</math> ein <math>\R</math>-[[Vektorraum]]. Nach dem [[Trägheitssatz von Sylvester]] ist jede quadratische Form <math>q\colon V\to\R</math> diagonalisierbar, d. h., es existiert eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] <math>e_1,\dotsc,e_n</math> von <math>V</math>, so dass
:<math>q(\lambda_1e_1+\dotsb+\lambda_ne_n)=\lambda_1^2+\dotsb+\lambda_a^2-\lambda_{a+1}^2-\dotsb-\lambda_{a+b}^2</math>
für gewisse <math>a,b</math> mit <math>a+b\le n</math> gilt. Die Isomorphieklasse einer quadratischen Form wird also bestimmt durch ihren '''Rang''' <math>a+b</math> und ihre '''Signatur''' <math>a-b</math>.

=== Quadratische Formen über Zahlkörpern ===
Quadratische Formen über <math>\Q</math> wurden von [[Hermann Minkowski|Minkowski]] klassifiziert. [[Helmut Hasse|Hasse]] verallgemeinerte dies später auf eine Klassifikation von quadratischen Formen über [[Zahlkörper]]n. Insbesondere sind zwei quadratische Formen genau dann isomorph, wenn alle ihre Vervollständigungen (reell, komplex und p-adisch) jeweils isomorph sind, siehe [[Satz von Hasse-Minkowski]].

=== Quadratische Formen über den ganzen Zahlen ===
Man sagt, dass zwei [[Definitheit|positiv-definite]] quadratische Formen <math>(V,q), (V^\prime,q^\prime)</math> über <math>\Z</math> dasselbe ''Geschlecht'' haben, wenn man für alle <math>n\in\N</math> durch [[Erweiterung mit Skalaren]] zu <math>\Z/n\Z</math> (d. h. [[Tensorprodukt]] mit <math>\Z/n\Z</math>) isomorphe quadratische Formen über <math>\Z/n\Z</math> bekommt. Die Anzahl der Isomorphieklassen desselben Geschlechts kann mit der ''Massenformel von Smith-Minkowski-Siegel'' bestimmt werden.

== Elementare Zahlentheorie ==
Zur Frage, ob eine vorgegebene ganzzahlige quadratische Form mit irgendwelchen ganzzahligen Argumenten einen vorgegebenen Wert annehmen kann („einen Wert darstellt bzw. repräsentiert“), gibt es eine Vielzahl von Ergebnissen.
Für sich betrachtet haben diese Ergebnisse naturgemäß oft anekdotischen Charakter. Beachtet man jedoch, dass
* <math>\operatorname{SL}_n(\Z)</math>, die Gruppe der <math>n</math>-reihigen, ganzzahligen Matrizen der Determinante 1, und
* <math>\operatorname{GL}_n(\Z)</math>, die Gruppe der <math>n</math>-reihigen, ganzzahligen Matrizen der Determinante ±1,
jeweils sowohl das Gitter <math>\Z^n</math> als auch die Menge der teilerfremden Zahlen in <math>\Z^n</math> [[Bijektive Funktion|bijektiv]] auf sich abbildet, so stehen die folgenden Ergebnisse jeweils für ganze Familien äquivalenter Formen.

Prominent sind beispielsweise die folgenden Themen

; Quadratzahlen der Form <math>x^2+y^2</math>: Die ganzzahligen Lösungen der Gleichung <math>x^2+y^2=z^2</math> heißen Pythagoräische Zahlen. Die bekannteste Lösung dieser Aufgabe ist <math>3^2+4^2=5^2</math>. Dies ist die kleinste einer unendlichen Anzahl von Lösungen.
: Mehr als die übliche parametrische Beschreibung aller Lösungen ([[Pythagoreisches Tripel]]) findet sich in der Literatur.<ref>Roger C. Alperin: [https://arxiv.org/pdf/math.HO/0010281 ''The modular tree of Pythagorus''.] (PDF; 106 kB)</ref><ref>Dan Romik: [https://arxiv.org/pdf/math.DS/0406512 ''The dynamics of Pythagorean triples''.] (PDF; 236 kB) mit einer ganzen Reihe weiterer Literaturhinweise.</ref>

; Zahlen der Form <math>w^2+x^2+y^2+z^2</math>: Der erste bekannte Fall einer quadratischen Form, die alle [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] darstellt. (''Satz von Lagrange'' oder [[Vier-Quadrate-Satz]])
: Ein Beweis<ref name="IrelandRosen.17.7">Kenneth Ireland, Michael Rosen: ''A Classical Introduction to Modern Number Theory''. Springer-Verlag, 1982, Abschnitt 17.7.</ref> und weiterführende Informationen zum Thema quadratischer Formen, die alle natürlichen Zahlen darstellen, via [[15-Satz]].

; ganzzahlige Lösungen der Gleichung <math>ax^2 + by^2 + cz^2 = 0</math>: (<math>a,b,c</math> ganzzahlig, quadratfrei, paarweise teilerfremd, nicht alle vom gleichen [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]]).
: Es existiert genau dann eine nicht-triviale Lösung, wenn <math>-ab\pmod c</math>, <math>-bc\pmod a</math> und <math>-ca\pmod b</math> [[Quadratischer Rest|quadratische Reste]] im jeweiligen Modul sind. Das ist ein Ergebnis von Legendre<ref name="IrelandRosen.17.3.1">Kenneth Ireland, Michael Rosen: ''A Classical Introduction to Modern Number Theory''. Springer-Verlag, 1982, Abschnitt 17.3.1.</ref> (für die Notation siehe [[Kongruenz (Zahlentheorie)]]).

; Primzahlen der Form <math>x^2+y^2</math>: Dies sind genau 2 sowie die Primzahlen <math>\equiv 1 \pmod4</math>. Die Beobachtung ist historisch von besonderer Bedeutung, sie geht auf [[Fermat]] zurück.
: Ein moderner Beweis, geradezu die Mutter aller Beweise, im Buch der Beweise<ref>Martin Aigner, [[Günter M. Ziegler]]: ''[[Das BUCH der Beweise|Proofs from the Book]]''. Springer-Verlag, 2000</ref> Kapitel 4.

; Primzahlen der Form <math>x^2+xy+y^2</math>: Dies sind genau die 3 sowie die Primzahlen, die <math>\equiv1\pmod3</math> sind.<ref>G. H. Hardy, E. M. Wright: ''An Introduction to the Theory of Numbers''. 4. Auflage. Oxford University Press, Oxford 1975, ISBN 0-19-853310-1: Theorem 366, S. 299; Theorem 254, S. 221</ref>

; Primzahlen der Form <math>x^2+ny^2</math>: Mit dieser Fragestellung befasst sich das Buch von Cox.<ref name="Cox" />

Wenn zwei quadratische Formen durch Anwendung einer Matrix <math>A\in \operatorname{GL}_n(\Z)</math> auseinander hervorgehen, dann lässt sich eine ganze Zahl genau dann als Wert der einen quadratischen Form darstellen, wenn sie sich als Wert der anderen quadratischen Form darstellen lässt: dies folgt unmittelbar aus der Definition <math>(A q)(x_1,\dotsc,x_n)=q(A^{-1}x_1,\dotsc,A^{-1}x_n)</math>. Aus Sicht der Zahlentheorie sind die Formen <math>q</math> und <math>Aq</math> also äquivalent und es stellt sich die Frage, ein möglichst einfaches Repräsentantensystem für die Menge der quadratischen Formen in <math>n</math> Variablen modulo der Wirkung von <math>\operatorname{GL}(n,\Z)</math> zu finden. Für quadratische Formen in 2 Variablen wurde dieses Problem von [[Gauß]] in Kapitel 5 von „[[Disquisitiones Arithmeticae]]“ (mit fast 260 Seiten der Hauptteil des Buches) diskutiert.

Im Fall [[positiv definit]]er quadratischer Formen handelt es sich dabei in heutiger Sprache um das Problem, einen [[Fundamentalbereich]] für die Wirkung von <math>\operatorname{GL}(n,\Z)</math> auf dem [[Symmetrischer Raum|symmetrischen Raum]] <math>\operatorname{GL}(n,\R)/O(n)</math> (dem Raum der positiv definiten quadratischen Formen in <math>n</math> Variablen) zu finden.
[[Datei:ModularGroup-FundamentalDomain.svg|mini|512px|zentriert|Fundamentalbereich für die Wirkung von SL(2,ℤ) auf der hyperbolischen Ebene.]]
Für <math>n=2</math> lässt sich der Raum <math>\operatorname{GL}(2,\R)/O(2)</math> der positiv definiten [[Binäre quadratische Form|binären quadratischen Formen]] mit der [[Hyperbolische Ebene|hyperbolischen Ebene]] identifizieren. Nebenstehendes Bild zeigt eine Zerlegung der hyperbolischen Ebene in [[Fundamentalbereich]]e für die Wirkung von <math>\operatorname{GL}(2,\Z)</math>. Ein solcher Fundamentalbereich (z. B. der im Bild grau schraffierte) liefert also ein Repräsentantensystem von binären quadratischen Formen, so dass jede andere positiv definite binäre quadratische Form äquivalent zu einer Form aus dem Repräsentantensystem ist und insbesondere dieselben ganzen Zahlen darstellt.

Verwandte Fragestellungen, allerdings außerhalb des Bereichs der ''quadratischen'' Formen, sind Themen wie der [[Großer Fermatscher Satz|Satz von Fermat]] und das [[Waringsches Problem|Waring-Problem]].

== Verwandte Begriffe ==
Die ([[Projektiver Raum|projektive]]) [[Nullstellenmenge]] einer quadratischen Form wird als [[Quadrik]] bezeichnet.

== Literatur ==
* [[Martin Kneser]], Rudolf Scharlau: ''Quadratische Formen''. Springer Verlag, 2002, ISBN 3-540-64650-7 (Vorlesungen von Kneser in den 1970er und 1980er Jahren in Göttingen, neu herausgegeben von Scharlau)
* [[Winfried Scharlau (Mathematiker)|Winfried Scharlau]]: ''Quadratic and Hermitian Forms''. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 270. Springer Verlag, 1985
* [[John Milnor]], Dale Husemöller: ''Symmetric bilinear forms''. Springer Verlag, 1973

== Weblinks ==
* Springer Encyclopaedia of Mathematics
** [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Quadratic_form ''Quadratic form'']
** [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Binary_quadratic_form ''binary quadratic form'']

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Zahlentheorie]]

Quadratische Form - Versionsgeschichte

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