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{{Begriffsklärungshinweis}}

[[Datei:SquareDefinition.svg|miniatur|Quadrat mit Seitenlänge ''a'' und Diagonale ''d'']]
In der [[Geometrie]] ist ein '''Quadrat''' (alter Name ''Geviert'') ein spezielles [[Polygon]], nämlich ein ebenes, [[Konvexe Menge|konvexes]] und [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßiges]] [[Viereck]]. Es hat vier gleich lange Seiten und vier [[rechter Winkel|rechte Winkel]]. Das Quadrat ist ein Sonderfall des [[Rechteck]]s, der [[Raute]], des [[Parallelogramm]]s, des [[Trapez (Geometrie)|Trapezes]] und des [[Drachenviereck]]s. Für die Konstruktion eines Quadrats genügt eine Angabe, z. B. der Länge der Seite oder der [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]].

Quadrate sind die [[Seitenfläche]]n eines [[Platonischer Körper|platonischen Körpers]], nämlich des [[Würfel (Geometrie)|Würfels]]. Das Quadrat ist zudem Grundform einer [[Platonische Parkettierung|platonischen Parkettierung]]. Als Spezialfall entsprechender allgemeiner ''n''-dimensionaler [[Körper (Geometrie)|Körper]] ist das Quadrat sowohl der [[Zweidimensional|zweidimensionale]] [[Hyperwürfel]] als auch das zweidimensionale [[Kreuzpolytop]].

== Eigenschaften ==
Für das Quadrat gilt:
* Die vier Seiten sind gleich lang, d. h., es ist eine [[Raute]] und ein [[gleichseitiges Polygon]].
* Die vier [[Innenwinkel]] sind gleich, d. h., es ist ein [[Rechteck]] und ein [[gleichwinkliges Polygon]]. Die Innenwinkel sind rechte Winkel.
* Die beiden [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]] sind gleich lang, halbieren einander und sind [[Orthogonalität|orthogonal]].
* Der [[Schnittpunkt]] der Diagonalen ist [[Umkreismittelpunkt|Umkreis]]- und [[Inkreismittelpunkt|Inkreismittelpunkt]] und [[Symmetriezentrum]]. Das Quadrat ist sowohl [[Sehnenviereck|Sehnen]]- als auch [[Tangentenviereck]].
* Der [[Flächeninhalt]] des [[Umkreis]]es ist doppelt so groß wie der des [[Inkreis]]es.
* Es hat 4 [[Symmetrieachse]]n: die beiden [[Mittelsenkrechte]]n und die beiden [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]].
* Es ist 4-zählig [[Radiärsymmetrie|drehsymmetrisch]] und daher auch [[Punktsymmetrie|punktsymmetrisch]].
* Die [[Symmetriegruppe]] ist die [[Diedergruppe]] <math>D_4</math>.

Das Quadrat kann charakterisiert werden als:
* Rechteck mit zwei benachbarten gleich langen Seiten
* Raute mit zwei benachbarten gleichen [[Winkel]]n
* Raute mit einem rechten Winkel
* Parallelogramm mit zwei benachbarten gleich langen Seiten und zwei benachbarten gleichen Winkeln
* Parallelogramm mit zwei benachbarten gleich langen Seiten und einem rechten Winkel
* Viereck mit gleich langen, [[Orthogonalität|orthogonalen]] [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]], die sich halbieren

== Formeln ==
{| class="wikitable"
! colspan="3" style="background:#C0C0FF" | Mathematische Formeln zum Quadrat
|-
|'''[[Flächeninhalt]]'''
|<math>A = a^2 = \frac{d^2}{2}</math>
| rowspan="6" |
[[Datei:4-eck.svg|rahmenlos|330x330px]]
|-
|'''[[Umfang (Geometrie)|Umfang]]'''
|<math>U = \, 4 \cdot a</math>
|-
|Länge der '''[[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]]'''
|<math>d = a \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot r_u</math>
|-
|'''[[Inkreis]]radius'''
|<math>r_i = \frac{a}{2} = \frac{d}{2 \cdot \sqrt{2}} </math>
|-
|'''[[Umkreis]]radius'''
|<math>r_u = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{d}{2}</math>
|-
|'''Innenwinkel'''
|<math> \alpha = \beta = \gamma = \delta = 90^\circ </math>
|}
== Konstruktion ==
Das Quadrat ist ein [[Konstruktion mit Zirkel und Lineal|mit Zirkel und Lineal]] bzw. ein [[Quadrat#Konstruktion nur mit Zirkel|nur mit Zirkel]] konstruierbares regelmäßiges Polygon.

=== Konstruktion mit gegebener Seitenlänge ===
[[Datei:Construction square from side.svg|mini|hochkant=1.4|Konstruktion bei gegebener Seite, kommt mit einer einzigen Zirkeleinstellung ([[Radius]] = a) aus]]
# Gegeben: Die Seite a mit den Endpunkten A und B.
# Ziehe um Ende A einen [[Kreisbogen]] (c<sub>1</sub>, mindestens ein Viertelkreis) mit der Seitenlänge als Radius.
# Ziehe um Ende B einen Kreisbogen (c<sub>2</sub>, mindestens ein Viertelkreis) mit der Seitenlänge als Radius. Der Schnittpunkt der Kreise ist Punkt M.
# Zeichne eine Gerade durch die Punkte B und M (mindestens doppelt so lang wie {{Overline|BM}})
# Zeichne einen Thaleskreis (c<sub>t</sub>) um M durch B. Man erhält Punkt E.
# Zeichne eine Gerade durch die Punkte A und E. Der Schnittpunkt mit c<sub>1</sub> ist Ecke D des späteren Quadrats.
# Ziehe um D der einen Kreisbogen (c<sub>3</sub>) mit der Seitenlänge als Radius. Der Schnittpunkt mit c<sub>2</sub> ist Ecke C.
# Verbinde die Ecken zu einem Quadrat.

=== Konstruktion mit gegebener Diagonale ===
[[Datei:Construction square from diagonal.svg|mini|hochkant=0.9|Konstruktion bei gegebener Diagonale]]
#Gegeben: Die Diagonale d mit den Endpunkten A und C.
# Konstruiere auf der Diagonale die Mittelsenkrechte (blau). Der Schnittpunkt mit der Diagonalen ist der Mittelpunkt M.
# Ziehe um M einen Kreis durch A. Die Schnittpunkte mit der Mittelsenkrechten sind die beiden fehlenden Ecken B und D.
# Verbinde die Ecken A, B, C, und D zyklisch miteinander.

=== Animationen ===
{{Doppeltes Bild|links|01-Quadrat-Seite-gegeben.gif|250|01-Quadrat-Diagonale-gegeben.gif|250|Quadrat mit gegebener Seitenlänge nutzt den Thaleskreis. Es funktioniert auch mit einem anderen Mittelpunkt M, Animation|Quadrat mit gegebener Diagonale, Animation|}}
{{Absatz}}

=== Konstruktion nur mit Zirkel ===
{{Hauptartikel|Satz von Mohr-Mascheroni}}
# Gegeben: Ein Kreis um Punkt M mit beliebigem Radius und Punkt A auf dem Kreis.<ref name="Schmidt">{{Internetquelle |autor=Fritz Schmidt |url=https://epub.ub.uni-muenchen.de/4548/1/4548.pdf#page=7&zoom=100,-374,544 |titel=200 Jahre französische Revolution |titelerg=Problem von Napoleon |werk=Didaktik der Mathematik |hrsg=Bayerischer Schulbuch-Verlag München |datum=1990 |seiten=17 |format=PDF |abruf=2025-10-10}}</ref>
# Ziehe einen kurzen Kreisbogen mit Radius {{Overline|AM}} um A mit Schnittpunkt B.
# Ziehe um B einen kurzen Kreisbogen mit gleichem Radius, Schnittpunkt ist C.
# Ziehe den gleichen Kreisbogen um C mit Schnittpunkt D.
# Ziehe um A einen kurzen Kreisbogen mit Radius {{Overline|AC}}.
# Ziehe den gleichen Kreisbogen um D mit Schnittpunkt E.
# Ziehe einen Kreisbogen um D mit Radius {{Overline|ME}}, es ergeben sich die Eckpunkte F und G des virtuellen Quadrats AGDF.
[[Datei:01 Mascheroni-Quadrat.svg|mini|links|hochkant=0.9|Quadrat, Konstruktion nur mit Zirkel<ref name="Schmidt" />]]
{{Absatz}}

== Ineinander liegende Quadrate ==
[[Datei:Quadrat im Quadrat 2.svg|mini|x150px|Situation nach Umordnung der Teildreiecke]]
<div class="tright" style="clear:none">[[Datei:Quadrat im Quadrat 1.svg|mini|ohne|x150px|Ausgangsfigur]]</div>
Der [[Kanada|kanadische]] [[Mathematiker]] [[Ross Honsberger]] verglich in einer seiner Schriften unter anderem die Flächenmaßzahlen zweier ineinander liegender Quadrate und entdeckte folgenden Zusammenhang:
* Verbindet man die vier Eckpunkte eines Quadrats geradlinig mit den Mittelpunkten der gegenüber liegenden Seiten, so entsteht ein zweites inneres Quadrat, dessen Flächenmaßzahl ein Fünftel der Flächenmaßzahl des Ausgangsquadrats beträgt.<ref>Roger B. Nelsen: ''Beweise ohne Worte'', Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, [[Springer Spektrum]], Springer-Verlag [[Berlin]] [[Heidelberg]] 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 157</ref><ref>Ross Honsberger: ''Mathematical Morsels'' [[Mathematical Association of America]], [[Washington, D.C.|Washington]] 1978, S. 204–205</ref>

Diese Aussage lässt sich geometrisch durch Umordnung von Teilflächen veranschaulichen.

Die dunkelblauen [[Kongruenz (Geometrie)|kongruenten]] [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkligen Dreiecke]] werden dem Ausgangsquadrat (''linke Figur'') entnommen und ergänzen die hellblauen [[Trapez (Geometrie)|Trapeze]] zu Quadraten (''rechte Figur''). Somit ist die linke Figur flächengleich zu der aus fünf kongruenten Quadraten bestehenden rechten kreuzförmigen Figur.

Der Anteil des roten Quadrats an der Gesamtfigur beträgt demnach ein Fünftel.

== Zwei sich berührende Quadrate ==
[[Datei:Beruehrquadrate Flankendreiecke Flaechengleichheit Beweisschritt 1.svg|mini|hochkant|''Figur 1:'' Ausgangslage]]
[[Datei:Beruehrquadrate Flankendreiecke Flaechengleichheit Beweisschritt 2.svg|mini|hochkant|''Figur 2:'' Lage nach [[Drehung]]]]
[[Datei:Beruehrquadrate Flankendreiecke Hoehe Seitenhalbierende Beweisschritt 1.svg|mini|hochkant|''Figur 3:'' Ausgangslage]]
[[Datei:Beruehrquadrate Flankendreiecke Hoehe Seitenhalbierende Beweisschritt 2.svg|mini|hochkant|''Figur 4:'' Lage nach Drehung]]
Im Folgenden seien jeweils zwei Quadrate gegeben, die sich an einer Ecke berühren, und durch je zwei (grün und gelb gefärbte) sogenannte ''Flankendreiecke'' ergänzt werden. Aus der besonderen Lage der beiden Quadrate zueinander lassen sich Eigenschaften der Flankendreiecke bezüglich ihrer Flächenmaßzahlen und ihrer Transversalen herleiten.

=== Flächengleichheit von Flankendreiecken ===
''Eigenschaft 1'':
:Die beiden Flankendreiecke zweier sich an einer Ecke berührender Quadrate sind flächengleich.

''Algebraischer Beweis:''
:Wegen <math>\alpha=180^\circ-\beta</math> gilt <math>\sin\alpha=\sin\beta</math>. Durch Multiplikation mit <math>\frac{ab}{2}</math> auf beiden Seiten der Gleichung folgt weiter
::<math>\frac{ab}{2}\sin\alpha=\frac{ab}{2}\sin\beta</math>.
:Deshalb sind nach der Flächeninhaltsformel für allgemeine Dreiecke die beiden Flankendreiecke flächengleich.

''Geometrischer Beweis:''
:Dreht man im [[Uhrzeigersinn]] das obere grüne Dreieck um 90° um den gemeinsamen Eckpunkt der beiden Quadrate, so erkennt man, dass das grüne und das gelbe Dreieck in der Länge einer Seite und der darauf errichteten [[Höhe (Geometrie)|Höhe]] übereinstimmen, woraus unmittelbar die behauptete Flächengleichheit folgt ''(Figur 1 und 2)''.

=== Transversalen in Flankendreiecken ===
''Eigenschaft 2'':
:Die Höhe eines der beiden Flankendreiecke und die [[Seitenhalbierende]] des anderen Flankendreiecks zweier sich an einer Ecke berührender Quadrate liegen auf einer gemeinsamen [[Transversale]]n beider Dreiecke.

''Geometrischer Beweis:''
:Dreht man das obere grüne Dreieck zunächst um 90° im Uhrzeigersinn und anschließend um 90° gegen den Uhrzeigersinn um den gemeinsamen Eckpunkt der beiden Quadrate, so liegen die gedrehten roten Strecken parallel zur [[Grundseite]] des gelben Dreiecks. Die äußeren Seiten der gedrehten Flankendreiecke sind ebenfalls parallel zueinander. Damit gilt <math>x=y</math>. Hieraus folgt, dass die zur Grundseite des gelben Dreiecks gedrehten roten Strecken Seitenhalbierenden der grünen Dreiecke sind. Nach dem Zurückdrehen in die ursprüngliche Position liegen somit die roten Strecken auf einer gemeinsamen Transversalen beider Dreiecke '' (Figur 3 und 4)''.<ref>Wolfgang Zeuge: ''Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie.'' Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, [[Springer Spektrum]], Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 85–90</ref>

== Quadrate in der erweiterten Vecten-Figur ==
[[Datei:Vecten-Figur erweitert.svg|mini|hochkant|''Figur 5:'' Die gesamte gelb gefärbte Fläche ist dreimal so groß wie die gesamte grün gefärbte Fläche.]]
Erweitert man die [[Vecten-Punkt|Vecten-Figur]] um drei weitere Quadrate wie in ''Figur 5'', so ist die Flächeninhaltssumme der drei äußeren Quadrate dreimal so groß wie die der drei inneren Quadrate:
:<math>d^2+e^2+f^2=3\left(a^2+b^2+c^2\right)</math>

''Beweis:''

:Bezüglich der Lage der Seiten und Winkel im mittleren Dreieck der ''Figur 5'' werden die Standardbezeichnungen <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> sowie <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> in der üblichen Reihenfolge gegen den Uhrzeigersinn verwendet. Nach dem [[Kosinussatz]] und der Symmetrieeigenschaft
::<math>\cos(\alpha)=-\cos(180^\circ-\alpha)</math>
:gelten die Beziehungen
::<math>a^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos(\alpha)</math> und
::<math>d^2=b^2+c^2+2bc\cdot\cos(\alpha)</math>.
:Hieraus folgt:
::<math>d^2=2b^2+2c^2-a^2</math> (1)
:Analog erhält man:
::<math>e^2=2a^2+2c^2-b^2</math> (2)
::<math>f^2=2a^2+2b^2-c^2</math> (3)
:Aus (1), (2) und (3) folgt unmittelbar:
::<math>d^2+e^2+f^2=3\left(a^2+b^2+c^2\right)</math>
:[[Quod erat demonstrandum|was zu zeigen war]].<ref>Wolfgang Zeuge: ''Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie.'' Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 94/95</ref>

== Quadrate im Kreis und im Halbkreis ==
<div style="float:right;">[[Datei:Quadrate Kreis Halbkreis Beweis.svg|mini|300px|Beweisfiguren]]</div>
<div style="float:right;">[[Datei:Quadrate Kreis Halbkreis Satz.svg|mini|309px|Einbeschriebene Quadrate]]</div>
Einem Kreis sei ein Quadrat und einem [[Halbkreis]] mit demselben Radius ein weiteres Quadrat einbeschrieben. Dann hat das größere Quadrat den <math>2{,}5</math>-fachen Flächeninhalt des kleineren Quadrats.

Die Beweisfiguren werden wie abgebildet in eine Parkettierung aus [[Einheitsquadrat]]en eingebettet. Hierbei wurden die Seiten des größeren Quadrats so gedreht, dass der [[Satz des Pythagoras]] anwendbar ist. Das kleinere Quadrat hat den Flächeninhalt <math>4</math>. Nach dem Satz des Pythagoras beträgt die Seitenlänge des größeren Quadrats <math>\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}</math>. Demnach hat es den Flächeninhalt <math>10</math> und ist somit <math>10:4=2{,}5</math>-mal so groß wie das kleinere Quadrat.<ref>Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: ''Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen'', [[Springer Spektrum]], Springer-Verlag GmbH [[Berlin]] 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, Seiten 257, 258, 304</ref>

== Quadrate am Sinusgraphen ==
[[Datei:Quadrate am Sinusgraphen.svg|mini|hochkant=1.5|Die fünf Quadratpaare am Sinusgraphen sind flächengleich.]]
[[Datei:Quadrate am Sinusgraphen Beweisfigur.svg|mini|hochkant=1.5|Beweisfigur]]
Die Invarianz von Quadratsummen gilt für die Kathetenquadrate beim Satz des Pythagoras. In gewisser Analogie hierzu treten unter bestimmten Voraussetzungen invariante Quadratsummen auch im Zusammenhang mit der Sinusfunktion auf.<ref>Hans Walser: ''Spiel mit Quadraten'' In: MU, Der Mathematikunterricht, Jahrgang 67, Heft 3–2021, S. 17–27, ISSN 0025-5807</ref><ref>[https://www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/20230401/Skript.pdf Invariante Flächensumme auf der Sinuskurve] PDF-Skript zum Vortrag von Hans Walser, Buchautor und Lehrbeauftragter für Mathematik an mehreren Schweizer Hochschulen, auf dem 24. Forum für Begabungsförderung in Mathematik 2023, Wolfratshausen, abgerufen am 13. August 2023</ref>

Gegeben sei der ganz oberhalb der x-Achse verlaufende Graph einer [[Sinusfunktion]] mit der Gleichung <math>y=sin(x)+c</math> für <math>c>1</math> und ein beliebiger Punkt <math>P</math> des Graphen, sowie ein Punkt <math>Q</math> links von <math>P</math> und ein Punkt <math>R</math> rechts von <math>P</math>, wobei die x-Koordinaten von <math>Q</math> und <math>R</math> eine halbe Periodenlänge, also <math>\pi</math>, voneinander entfernt sind.

Dann hat die Gesamt-Flächenmaßzahl der beiden Quadrate über <math>PQ</math> und <math>PR</math> unabhängig von der Lage des Punktes <math>P</math> stets denselben Wert, nämlich <math>\frac{\pi^2}{2}+2\approx 6{,}93</math>.

In der abgebildeten Beispielfigur sind obige Voraussetzungen erfüllt. Die fünf verschieden gefärbten Quadratpaare haben dieselbe Flächenmaßzahl.

Der Beweis verwendet den Satz des Pythagoras und die [[Additionstheoreme (Trigonometrie)|Additionstheoreme der Trigonometrie]].
Die Punkte <math>P</math>, <math>Q</math>, <math>R</math> haben folgende Koordinaten:
:<math>P\left(x|sin(x)+c\right)</math>, <math>Q\left(x-\frac{\pi}{2}|sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+c\right)</math>, <math>R\left(x+\frac{\pi}{2}|sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)+c\right)</math>
Dann beträgt die Gesamt-Flächenmaßzahl der beiden Quadrate nach zweimaliger Anwendung des Pythagoras-Satzes und elementaren Termumformungen unter Verwendung der Additionstheoreme:
:<math>\left(sin(x)-sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\right)^2+\left(\frac{\pi}{2}\right)^2+\left(sin(x)-sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right)^2+\left(\frac{\pi}{2}\right)^2=\frac{\pi^2}{2}+2\approx 6{,}93</math>

== Spiralen ==
<div style="float:right">[[Datei:Quadratspirale_Flaechen.svg|mini|hochkant=1|''Figur 2''<br /> Die Maßzahl <math>A</math> der Flächenspirale (rot) ist gleich ein Viertel der Maßzahl des Ausgangsquadrats.]]</div>
<div style="float:right">[[Datei:Quadratspirale_Linien.svg|mini|hochkant=1|''Figur 1''<br /> Die Gesamtlänge der Linienspirale (rot) ist gleich der um die halbe Diagonalenlänge vergrößerten Seitenlänge <math>a</math> des Ausgangsquadrats.]]</div>

Gegeben sei eine unendliche Folge von Quadraten, in der jedem Quadrat <math>Q_n</math> jeweils das nachfolgende Quadrat <math>Q_{n+1}</math> so einbeschrieben ist, dass jede Seite von <math>Q_n</math> durch den Eckpunkt des Nachfolgers <math>Q_{n+1}</math> halbiert wird. [[O.B.d.A.]] wird der Seite des Ausgangsdreiecks <math>D_1</math> die Länge 1 zugeordnet. Dann gilt:

* Linienspirale
: Ist <math>a_n</math> die halbe Seitenlänge des n-ten Quadrats (''Figur 1''), so ist <math>\left(a_n\right)_{n\in\mathbb N}</math> eine [[geometrische Folge]] mit dem Bildungsgesetz <math>a_n=\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n+1}</math> und dem Grenzwert<ref name=Walser />
:<math>a = \frac{1}{2} + \frac{1}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4\sqrt{2}} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n+1}= 1+\frac{\sqrt{2}}{2}</math>.
* Flächenspirale
: Beträgt <math>A_n</math> ein Achtel der Flächenmaßzahl des n-ten Quadrats (''Figur 2''), so ist <math>\left(A_n\right)_{n\in\mathbb N}</math> eine geometrische Folge mit dem Bildungsgesetz <math>A_n=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+2}</math> und dem Grenzwert<ref name="Walser" />
:<math>A = \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^{n+2} = \frac{1}{4}</math>.
Die Folgen <math>\left(a_n\right)_{n\in\mathbb N}</math> und <math>\left(A_n\right)_{n\in\mathbb N}</math> lassen sich geometrisch jeweils als [[Spirale]] darstellen.<ref name="Walser">Hans Walser: ''Spiralen, Schraubenlinien und spiralartige Figuren - Mathematische Spielereien in zwei und drei Dimensionen'', [[Springer Spektrum]], Springer-Verlag GmbH [[Berlin]] 2022, ISBN 978-3-662-65131-5, Seiten 69–70</ref>

== Parkettierungen mit Quadraten ==
Einige [[Platonische Parkettierung|platonische]] und [[Archimedische Parkettierung|archimedische Parkettierungen]] enthalten Quadrate. Diese [[Parkettierung]]en sind periodisch, [[Drehsymmetrie|drehsymmetrisch]] und [[Translationssymmetrie|translationssymmetrisch]] und enthalten ausschließlich [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßige Polygone]].<gallery>
Datei:Tiling Regular 4-4 Square.svg|[[Quadratgitter]]
Datei:Tiling Semiregular 3-3-3-4-4 Elongated Triangular.svg|3-3-3-4-4
Datei:Tiling Semiregular 3-3-4-3-4 Snub Square.svg|3-3-4-3-4
Datei:Tiling Semiregular 3-4-6-4 Small Rhombitrihexagonal.svg|3-4-6-4
Datei:Tiling Semiregular 4-8-8 Truncated Square.svg|4-8-8
Datei:Tiling Semiregular 4-6-12 Great Rhombitrihexagonal.svg|4-6-12
</gallery>Die Zahlen unter den Abbildungen geben an, wie viele [[Ecke]]n die [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßigen Polygone]] haben, die jeweils an einem [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] zusammenstoßen. Die Innenwinkel ergeben zusammen 360°.

== Polyeder mit Quadraten ==
Der [[Würfel (Geometrie)|Würfel]] ist der einzige [[Platonischer Körper|platonischen Körper]], der quadratische [[Fläche (Mathematik)|Seitenflächen]] hat. Auch einige [[Archimedischer Körper|archimedische Körper]] enthalten Quadrate, zum Beispiel das [[Kuboktaeder]], der [[Oktaederstumpf]], das [[Rhombenkuboktaeder]] und das [[Rhombenikosidodekaeder]].<gallery>
Datei:Hexahedron.svg|[[Würfel (Geometrie)|Würfel]]
Datei:Cuboctahedron.svg|[[Kuboktaeder]]
Datei:Truncatedoctahedron.svg|[[Oktaederstumpf]]
Datei:Rhombicuboctahedron.jpg| [[Rhombenkuboktaeder]]
Datei:Rhombicosidodecahedron.jpg|[[Rhombenikosidodekaeder]]
</gallery>

== Verallgemeinerungen ==
In der [[Euklidische Geometrie|euklidischen Geometrie]] ist das Quadrat der [[Zweidimensional|zweidimensionale]] Spezialfall von [[Hyperwürfel]] und [[Kreuzpolytop]].

Der Begriff ''Quadrat'' wird in der [[Synthetische Geometrie|synthetischen Geometrie]] der [[Affine Ebene|affinen Ebene]] verallgemeinert, indem eine der äquivalenten Aussagen, die ein Quadrat in der elementaren Geometrie beschreiben, zur Definition des Begriffes verwendet wird. Zum Beispiel wird für [[Präeuklidische Ebene|präeuklidische Ebenen]] die Existenz dieser Figuren zu einem zusätzlichen [[Axiom]].

In [[Nichteuklidische Geometrie|nichteuklidische Geometrien]] sind Quadrate allgemein [[Polygon]]e mit 4 gleich langen Seiten und gleichen [[Innenwinkel]]n.

In der [[Sphärische Geometrie|sphärischen Geometrie]] ist ein Quadrat ein Polygon, dessen Seiten [[Großkreis]]e sind, die sich im gleichen [[Winkel]] [[Schnittpunkt|schneiden]]. Anders als bei Quadraten der [[Ebene Geometrie|ebenen Geometrie]] sind die Winkel eines sphärischen Quadrats größer als ein [[rechter Winkel]]. Größere sphärische Quadrate haben größere Winkel.

In der [[Hyperbolische Geometrie|hyperbolischen Geometrie]] existieren keine Quadrate mit [[Rechter Winkel|rechten Winkeln]]. Stattdessen haben Quadrate Winkel, die kleiner als ein rechter Winkel sind. Größere hyperbolische Quadrate haben kleinere Winkel.

{| class="wikitable"
! colspan="5" style="background:#C0C0FF" |Verallgemeinerungen des Quadrats
|-
|'''Geometrie'''
|sphärische Geometrie
|sphärische Geometrie
|euklidische Geometrie
|hyperbolische Geometrie
|-
|'''Innenwinkel'''
|180°
|120°
|90°
|72°
|-
|'''[[Schläfli-Symbol]]'''
|{4, 2}
|{4, 3}
|{4, 4}
|{4, 5}
|-
|'''Anzahl der Quadrate in der Parkettierung'''
|2
|6
|unendlich
|unendlich
|-
|
|[[Datei:Tetragonal dihedron.svg|hochkant=0.7|rahmenlos]]
|[[Datei:Square on sphere.svg|hochkant=0.7|rahmenlos]]
|[[Datei:Square on plane.svg|hochkant=0.7|rahmenlos]]
|[[Datei:Square on hyperbolic plane.svg|hochkant=0.7|rahmenlos]]
|}

== Lateinisches Quadrat ==
{{Hauptartikel|Lateinisches Quadrat}}
Ein lateinisches Quadrat ist ein quadratisches Schema mit n Reihen und Spalten, wobei jedes Feld mit einem von n verschiedenen Symbolen belegt ist, so dass jedes Symbol in jeder Zeile und in jeder Spalte jeweils genau einmal auftritt. Die [[natürliche Zahl]] n wird Ordnung des lateinischen Quadrats genannt.

=== Beispiele ===
<math>
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 1 & 2 \\
2 & 3 & 1
\end{bmatrix}
\quad
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 3 & 4 & 1 \\
3 & 4 & 1 & 2 \\
4 & 1 & 2 & 3
\end{bmatrix}
</math>

== Magisches Quadrat ==
[[Datei:Magicsquareexample.svg|mini|hochkant=0.6|Ein magisches Quadrat der Kantenlänge 3]]
{{Hauptartikel|Magisches Quadrat}}
Ein magisches Quadrat der Kantenlänge n ist eine quadratische Anordnung der [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] 1, 2, …, n², bei der die Summen der Zahlen aller Zeilen, Spalten und der beiden Diagonalen gleich sind. Diese Summe wird als die ''magische Zahl'' des magischen Quadrates bezeichnet.

== Quadratur des Quadrates ==
{{Hauptartikel|Quadratur des Quadrates}}
[[Datei:Squaring the square.svg|mini|hochkant=0.6|''Einfache'', ''perfekte'' Quadratur des Quadrates der geringstmöglichen Ordnung (21)]]
Die Quadratur des Quadrates ist die [[Parkettierung]] eines gegebenen Quadrates mit kleineren Quadraten, deren [[Polygon|Seitenlängen]] [[Ganze Zahl|ganzzahlige]] Werte haben. Interessant und anspruchsvoll wird die Aufgabenstellung durch folgende Zusatzbedingungen:
* Keine zwei Teilquadrate sollen die gleiche Größe haben. Eine Quadrat-Parkettierung, die diese Bedingung erfüllt, heißt ''perfekt''.
* Wenn eine [[Teilmenge]] der Teilquadrate ein [[Rechteck]] bildet, heißt die Quadratur ''zusammengesetzt'', andernfalls ''einfach''.

== Quadratur des Kreises ==
{{Hauptartikel|Quadratur des Kreises}}
[[Datei:Squaring the circle.svg|links|mini|hochkant=0.6|Das Quadrat und der [[Kreis]] haben den gleichen [[Flächeninhalt]].]]
Die Quadratur des Kreises ist ein [[Klassische Probleme der antiken Mathematik|klassisches Problem]] der Geometrie. Die Aufgabe besteht darin, aus einem gegebenen [[Kreis]] in [[Endliche Menge|endlich]] vielen Schritten ein Quadrat mit dem gleichen [[Flächeninhalt]] zu konstruieren. Sie ist äquivalent zur sogenannten [[Rektifikation des Kreises]], also der Konstruktion einer geraden Strecke, die dem Kreisumfang entspricht. Das wiederum entspricht der Konstruktion der [[Kreiszahl]] <math>\pi</math> aus der Strecke 1. Beschränkt man die Konstruktionsmittel auf [[Konstruktion mit Zirkel und Lineal|Lineal und Zirkel]], so ist die Aufgabe aufgrund der [[Transzendente Zahl|Transzendenz]] von <math>\pi</math> unlösbar. Dies konnte 1882 von dem deutschen [[Mathematiker]] [[Ferdinand von Lindemann]] bewiesen werden.
{{Absatz}}

== Quadratfaltung und Pythagoreische Tripel ==
{{Hauptartikel|Satz von Haga}}
[[Datei:Satz von Haga 1.svg|mini|hochkant|Satz von Haga (gefaltetes Quadrat)]]
Faltet man ein Quadrat gemäß der Abbildung, so entstehen drei paarweise zueinander ähnliche rechtwinklige Dreiecke, für deren Seitenlängen jeweils gilt:
:kleinere Kathetenlänge : größere Kathetenlänge : Hypotenusenlänge = 3 : 4 : 5.
Durch diese Art des Faltens nach dem sogenannten [[Satz von Haga]] wird das kleinste pythagoreische Tripel geometrisch erzeugt.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Square (geometry)|Quadrate}}
{{Wiktionary|Quadrat}}
{{Wikibooks|Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Regelmäßige Vielecke: Viereck|Quadrat}}
* [[Quadratur des Rechtecks]]
* [[Quadratur des Polygons]]
* [http://www.elsy.at/kurse/index.php?kurs=Rechteck+und+Quadrat&status=public Animierte Lernsequenz (Konstruktion, Umfang, Flächeninhalt)]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4129044-6}}

[[Kategorie:Viereck]]
[[Kategorie:Vierecksgeometrie]]
[[Kategorie:Synthetische Geometrie]]

Quadrat - Versionsgeschichte

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