Quadrant (Mathematik) - Versionsgeschichte

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[[Datei:Cartesian-coordinate-system-with-quadrant.svg|mini|200px|Die vier Quadranten eines Koordinatensystems]]

Ein '''Quadrant''' ({{laS|''quadrans''}} ‚Viertel‘) ist ein durch zwei [[Koordinatenachse]]n begrenzter Abschnitt einer [[Ebene (Mathematik)|Ebene]], wobei die Punkte auf den begrenzenden Achsen in der Regel zu keinem Quadranten gehören.

Nach den üblichen Konventionen wird der erste Quadrant rechts oben gezeichnet. In einem [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystem]] werden die vier Quadranten entgegen dem [[Uhrzeigersinn]] mit I, II, III, IV bzw. 1, 2, 3, 4 bezeichnet. Ein Punkt im ersten Quadranten hat dann jeweils positive Koordinaten.

{| class="wikitable"
! Quadrant || I || II || III || IV
|-
| x-Koordinate || pos. || neg. || neg. || pos.
|-
| y-Koordinate || pos. || pos. || neg. || neg.
|}
Es sind jedoch auch andere Einteilungen gebräuchlich.

== Bezug zur Trigonometrie ==
In der [[Trigonometrie]] hängen die [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] der [[Winkelfunktion]]en ''[[Sinus]]'', ''[[Sinus und Kosinus|Cosinus]]'', ''[[Tangens]]'' bzw. ''[[Cotangens]]'' – und deren 360°-Perioden – davon ab, bis in welchen Quadranten der Winkel sich erstreckt:
{| class="wikitable float-left"
|+ Quadrantentabelle
|- class="hintergrundfarbe6"
!   || <math>\alpha</math> || <math>\sin{} \alpha</math> || <math>\cos{} \alpha</math> || <math>\tan \alpha</math> || <math>\cot \alpha </math>
|-
| 1. Quadrant || 0–90° || + || + || + || +
|-
| 2. Quadrant || 90–180° || + || − || − || −
|-
| 3. Quadrant || 180–270° || − || − || + || +
|-
| 4. Quadrant || 270–360° || − || + || − || −
|}<br />Jede der trigonometrischen [[Winkelfunktion]]en hat in zwei Quadranten dasselbe Vorzeichen. Daher ist das [[Abbildung (Mathematik)|Urbild]] des Wertes einer trigonometrischen Funktion, z. B. des [[Sinus]], mehrdeutig.
Etwa <math>\sin \alpha < 0</math> kann aus einem Winkel <math>\alpha</math> im 3. oder 4. Quadranten, also <math>\pi<\alpha<2\pi</math> bzw. <math>180^\circ<\pi<360^\circ</math> resultieren.

<div style="clear:both;"></div>
Eine ''Quadrantentabelle'' – bzw. eine entsprechende Abfrage in einem PC-Programm – ist in der [[Geodäsie]] oder [[Navigation]] immer notwendig, um aus [[Koordinate]]n zweier Punkte die Richtung (das [[Azimut]], den [[Kurs (Navigation)|Kurs]]) zu berechnen.

Kommt es zusätzlich auf die Grenzen zwischen den Quadranten, deren Ränder an, dann ergibt sich folgende Tabelle (formuliert in [[Radiant (Einheit)|rad]]):
{| class="wikitable float-left" style="text-align: right;"
|+ Quadrantentabelle
|- class="hintergrundfarbe6"
!   || <math>\alpha</math> || <math>\sin{} \alpha</math> || <math>\cos{} \alpha</math> || <math>\tan \alpha</math> || <math>\cot \alpha </math>
|-
| +x-Achse || 0 || 0 || 1 || 0 || <math>\pm\infty</math>
|-
| 1. Quadrant || (0, π/2) || + || + || + || +
|-
| +y-Achse || π/2 || 1 || 0 || <math>\pm\infty</math> || 0
|-
| 2. Quadrant || (π/2, π) || + || − || − || −
|-
| −x-Achse || π || 0 || −1 || 0 || <math>\pm\infty</math>
|-
| 3. Quadrant || (π, 3π/2) || − || − || + || +
|-
| −y-Achse || 3π/2 || −1 || 0 || <math>\pm\infty</math> || 0
|-
| 4. Quadrant || (3π/2, 2π) || − || + || − || −
|}
<div style="clear:both;"></div>

== Siehe auch ==
* [[Arkusfunktion]]
* [[Richtungsmessung]]
* [[Einheitskreis]]
* [[Orthant]]
* [[Oktant (Geometrie)|Oktant]]

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=Hans-Jochen Bartsch|Titel=Taschenbuch mathematischer Formeln für Ingenieure und Naturwissenschaftler|Auflage= 22.|Verlag=Carl Hanser Verlag GmbH & Co. KG |Ort = |Jahr=2011|ISBN=978-3-446-42785-3}}
* {{Literatur|Autor=Werner Tiki Küstenmacher, Heinz Partoll, Irmgard Wagner|Titel=Mathe macchiato|Auflage= 1.|Verlag=Pearson Studium |Ort = München |Jahr=2003|ISBN=3-8273-7061-2}}

== Weblinks ==
* {{MathWorld|id=Quadrant|title=Quadrant}}
* {{PlanetMath|id=quadrant|title=Quadrant|author=Thomas Foregger, Mathprof}}

[[Kategorie:Ebene Geometrie]]
[[Kategorie:Zahnmedizin]]
[[Kategorie:Koordinatensystem]]