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{{Begriffsklärungshinweis}}
[[Datei:Cuboid abcd.svg|mini|Quader mit [[Raumdiagonale|Raumdiagonale ]]''d'']]
[[Datei:QuaderNetz.svg|mini|Auseinander geklapptes [[Netz (Geometrie)|Netz]] eines Quaders]]

Ein '''Quader''' ist ein [[Geometrisch|geometrischer]] [[Körper (Geometrie)|Körper]], der von 6 [[rechteck|Rechtecken]] begrenzt wird.

Ein Quader besitzt
* 6 [[Rechteck|rechteckige]] [[Seitenfläche]]n, die im [[Rechter Winkel|rechten Winkel]] aufeinander stehen,
* 8 [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinklige]] [[Ecke]]n und
* 12 [[Körper (Geometrie)|Kanten]], von denen jeweils vier gleiche [[Länge (Mathematik)|Längen]] besitzen und zueinander [[Parallel (Geometrie)|parallel]] sind.
Gegenüberliegende Flächen eines Quaders sind [[Parallelität (Geometrie)|parallel]] und [[Kongruenz (Geometrie)|kongruent]] (deckungsgleich). Der Quader ist ein [[Rechtwinklig|rechtwinkliges]] [[Dreidimensional|dreidimensionales]] [[Parallelepiped]].

Im Sonderfall gleicher Kantenlängen <math>a = b = c</math>, bei dem alle [[Fläche (Mathematik)|Flächen]] des Quaders [[Quadrat (Geometrie)|Quadrate]] sind, ergibt sich ein [[Würfel (Geometrie)|Würfel]]. Im Fall, dass genau zwei Kantenlängen gleich sind, zum Beispiel <math>a = b \neq c</math>, ergibt sich ein [[Quadratisch|quadratisches]] gerades [[Prisma (Geometrie)|Prisma]], man spricht gelegentlich von einer ''quadratischen Platte'' (<math>a = b > c</math>) bzw. einer ''quadratischen Säule'' (<math>a = b < c</math>).

== Symmetrie ==
Quader haben abhängig von der Anzahl gleicher Kantenlängen mehrere [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrieeigenschaften]].

Quader mit drei verschiedenen Kantenlängen haben

* 3 zweizählige [[Drehachse]]n (durch die [[Mittelpunkt]]e zweier gegenüberliegender [[Fläche (Mathematik)|Flächen]]),
* 3 Spiegelebenen (3 [[Ebene (Mathematik)|Ebenen]] durch je vier Kantenmittelpunkte),
* 3 [[Drehspiegelung]]en (um 180° mit den [[Ebene (Mathematik)|Ebenen]] durch je vier Kantenmittelpunkte)

Quader mit zwei verschiedenen Kantenlängen ([[Quadratisch|quadratische]] gerade [[Prisma (Geometrie)|Prismen]]) haben

* 1 vierzählige [[Drehachse]] (durch die [[Mittelpunkt]]e zweier gegenüberliegender [[Quadrat]]e),

* 2 zweizählige [[Drehachse]]n (durch die [[Mittelpunkt]]e zweier gegenüberliegender [[Rechteck]]e),
* 3 [[Drehspiegelung]]en (um 180° mit den [[Ebene (Mathematik)|Ebenen]] durch je vier Kantenmittelpunkte)
Quader mit nur einer Kantenlänge, die [[Würfel (Geometrie)|Würfel]], haben mehr [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrien]] (siehe [[Würfel (Geometrie)#Symmetrie|''Würfel - Symmetrie'']]).

Jeder Quader ist
* [[Punktsymmetrie|punktsymmetrisch]] zum [[Mittelpunkt]] M.

== Formeln ==
=== Formeln zur Berechnung von Längen, Flächen und Rauminhalten ===
{| class="wikitable"
|-
! colspan="3" style="background:#C0C0FF" |Größen eines Quaders mit den Kantenlängen ''a, b, c''
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Volumen]]'''
|<math>V = a \cdot b \cdot c</math>
| rowspan="10" |[[Datei:Cuboid abcd.svg|mini|hochkant=1]]
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Mantelfläche]]'''
|<math>A_M = 2 \cdot (a + b) \cdot c</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]]'''
|<math>A_O = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c)</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Umkugel]]radius'''
|<math>r_u = \tfrac{d}{2} = \tfrac{1}{2} \cdot \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} </math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Diagonale (Geometrie)|Raumdiagonale]]'''
|<math>d = 2 \cdot r_u = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} </math>
|-
| rowspan="3" class="hintergrundfarbe5" |'''Flächendiagonalen'''
|<math> d_a = \sqrt{b^2 + c^2} </math>
|-
|<math> d_b = \sqrt{c^2 + a^2} </math>
|-
|<math> d_c = \sqrt{a^2 + b^2} </math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''Verhältnis von Volumen zu Umkugelvolumen'''
|<math>\frac{V}{V_{UK}} = \frac{6 \cdot a \cdot b \cdot c}{\pi \cdot (a^2 + b^2 + c^2)^\frac{3}{2}} </math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Raumwinkel]] in den Ecken'''
|<math>\Omega =\frac{\pi}{2}\;\mathrm{sr}\;\approx 1{,}5708\;\mathrm{sr}</math>
|}

=== Optimierungsprobleme und der Würfel ===
Es gibt verschiedene [[Optimierungsproblem]]e für Quader. Sucht man einen Quader, der bei

* gegebener Länge der [[Diagonale (Geometrie)|Diagonale]] oder gegebenem [[Umkugel]]volumen den maximalen Oberflächeninhalt
* gegebener Länge der Diagonale oder gegebenem Umkugelvolumen das maximale [[Volumen]]
* gegebenem Oberflächeninhalt die minimale Länge der Diagonale oder das minimale Umkugelvolumen
* gegebenem Oberflächeninhalt das maximale Volumen
* gegebenem Volumen die minimale Länge der Diagonale oder das minimale Umkugelvolumen
* gegebenem Volumen den minimalen Oberflächeninhalt

hat, dann ergibt sich als [[Lösung (Mathematik)|Lösung]] jeweils der [[Würfel (Geometrie)|Würfel]].

Jeweils zwei der sechs [[Optimierungsproblem]]e sind im Prinzip dieselbe Fragestellung mit anderen gegebenen Größen, sodass es eigentlich nur drei verschiedene Optimierungsprobleme sind. Für die genannten Optimierungsprobleme ist der [[Würfel (Geometrie)|Würfel]] der gesuchte Quader. Das gilt selbstverständlich nicht für alle Optimierungsprobleme.

Dass die Optimierungsprobleme für die Länge der [[Diagonale (Geometrie)|Diagonale]] <math>d </math> und das [[Umkugel]]volumen <math>V_{UK} </math> jeweils dieselbe [[Lösung (Mathematik)|Lösung]] haben, ist offensichtlich, weil das Umkugelvolumen <math>V_{UK} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r_u^3 = \frac{1}{6} \cdot \pi \cdot d^3 </math> eine [[Stetige Funktion|stetige]] und [[streng monoton]] steigende [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] mit der Funktionsvariablen <math>d </math> ist.

Ist zum Beispiel bei gegebenem [[Umkugel]]radius der Quader mit dem größten [[Volumen]] gesucht, dann lassen sich die Kantenlängen <math>a </math>, <math>b </math>, <math>c </math> des Quaders mithilfe der [[Partielle Ableitung|partiellen Ableitungen]] der Volumenfunktion <math>V(a, b) = a \cdot b \cdot c = a \cdot b \cdot \sqrt{d^2 - a^2 - b^2} = a \cdot b \cdot \sqrt{4 \cdot r_u^2 - a^2 - b^2} </math> berechnen oder mit [[Beweis durch Widerspruch]]:

Angenommen, ein beliebiger Quader mit mindestens zwei verschiedenen Kantenlängen, zum Beispiel <math>a </math> und <math>b </math>, hätte das größte [[Volumen]]. Sein Umkugelradius ist <math>\frac{1}{2} \cdot \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} </math> und sein Volumen <math>a \cdot b \cdot c </math>. Dann hat ein anderer Quader, nämlich der Quader mit den Kantenlängen <math>\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 \cdot a^2 + 2 \cdot b^2} </math>, <math>\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 \cdot a^2 + 2 \cdot b^2} </math> und <math>c </math> den gleichen Umkugelradius <math>\frac{1}{2} \cdot \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} </math> und das Volumen <math>\frac{a^2 + b^2}{2} \cdot c </math>. Wegen der [[Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel]] <math>\sqrt{a \cdot b} \leq \frac{a + b}{2} </math>, wegen <math>a \neq b </math> und <math>c > 0 </math> gilt <math>a \cdot b < \frac{a^2 + b^2}{2} </math> und <math>a \cdot b \cdot c < \frac{a^2 + b^2}{2} \cdot c </math>.

Also hat der beliebiger Quader mit mindestens zwei verschiedenen Kantenlängen Quader ein kleineres [[Volumen]] als der andere Quader. Daraus folgt, dass ein Quader mit mindestens zwei verschiedenen Kantenlängen nicht das größte Volumen haben kann und schließlich, dass der Quader mit nur einer Kantenlänge, also der [[Würfel (Geometrie)|Würfel]] mit 12 gleich langen Kanten, das größte Volumen aller Quader mit gegebenem [[Umkugel]]radius hat.

Entscheidend für diesen [[Beweis durch Widerspruch]] ist hier, dass das [[Volumen]] der Quader endlich sein muss, denn es ist offensichtlich kleiner als das Volumen der [[Umkugel]], und dass die Volumenfunktion [[Stetige Funktion|stetig]] ist.<ref>Slader Customer Relations: [https://www.slader.com/discussion/question/find-the-maximum-volume-of-a-rectangular-box-that-is-inscribed-in-a-sphere-of-radius-r/# Find the maximum volume of a rectangular box that is inscribed in a sphere of radius r]</ref>

== Netze von Quadern ==
Allgemeine Quader mit drei verschiedenen Kantenlängen haben 54 [[Netz (Geometrie)|Netze]], welche nicht durch Kongruenzabbildungen aufeinander abbildbar sind.<ref>{{Internetquelle |autor=Stefan Howald |url=https://mathsh.ch/resources/mathbuch-1/LU-13/Theorie/Alle-Quaderabwicklungen.pdf |titel=Alle Quadernetze |werk=Mathematik Bezirksschule Brugg |sprache=de |abruf=2022-08-13}}</ref> Diese sind ''verallgemeinerte'' [[Polyomino#Hexominos|Hexominos]], die nicht aus Quadraten, sondern aus [[Rechteck]]en bestehen. Das heißt, es gibt 54 Möglichkeiten, einen hohlen Quader durch Aufschneiden von 7 Kanten aufzuklappen und in der [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] auszubreiten. Die anderen 5 Kanten verbinden jeweils die 6 Rechtecke des Netzes.

Quader mit zwei verschiedenen Kantenlängen, nämlich [[Quadratisch|quadratische]] gerade [[Prisma (Geometrie)|Prismen]], haben 30 [[Netz (Geometrie)|Netze]]. Quader mit nur einer Kantenlänge, nämlich [[Würfel (Geometrie)|Würfel]] mit 12 gleich langen Kanten, haben 11 [[Netz (Geometrie)|Netze]].<ref>Wolfram Demonstrations Project: [https://demonstrations.wolfram.com/All11FoldingNetsOfTheCube/ All 11 Folding Nets of the Cube]</ref>

Um einen Quader so zu färben, dass keine benachbarten [[Fläche (Mathematik)|Flächen]] dieselbe Farbe haben, braucht man mindestens 3 Farben.

== Verallgemeinerung ==
Die Verallgemeinerungen der Quader in beliebiger [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] <math>n</math> werden als ''<math>n</math>-dimensionale'' Quader oder ''[[Hyperrechteck|Hyperrechtecke]]'' oder ''Hyperquader'' bezeichnet. Der <math>n</math>-dimensionale Quader hat <math> 2^{n-k} \cdot \tbinom{n}{k}</math> begrenzende Seiten der Dimension k. Spezialfälle:

* Der [[Nulldimensionaler Raum|nulldimensionale]] Quader ([[Punkt (Geometrie)|Punkt]]) hat 1 [[Ecke]].
* Der [[Eindimensional|eindimensionale]] Quader ([[Strecke (Geometrie)|Strecke]]) hat 2 Ecken.
* Der [[Zweidimensional|zweidimensionale]] Quader ([[Rechteck]]) hat 4 Ecken und 4 Kanten
* Der [[Vierdimensional|vierdimensionale]] Quader hat 16 Ecken, 32 Kanten, 24 Rechtecke als Seitenflächen und 8 [[Dreidimensional|dreidimensionale]] Quader als Facetten.
* Der ''<math>n</math>''-dimensionale Quader hat
** <math> 2^n </math> Ecken (''<math>k = 0</math>'')
** <math> n \cdot 2^{n - 1} </math> Kanten (''<math>k = 1</math>'')
** <math> n \cdot (n - 1) \cdot 2^{n - 3} </math> [[Rechteck]]e als Flächen (''<math>k = 2</math>'')
** <math> \tfrac{1}{3} \cdot n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot 2^{n - 4} </math> Quader als [[Volumen]] (''<math>k = 3</math>'')
** <math> 2 \cdot n </math> Quader der Dimension ''<math>n - 1</math>'' als ''Facetten'' (''<math>k = n - 1</math>'').

== Quadergitter ==
[[Datei:Regular grid.svg|mini|Ein endlicher Teil eines Quadergitters. Die [[Ebene (Mathematik)|Ebenen]] verlaufen jeweils [[Parallelität (Geometrie)|parallel]] zueinander.]]
Das Quadergitter ist eine Anordnung von [[Unendlichkeit|unendlich]] vielen [[Punkt (Geometrie)|Punkten]] im [[Dreidimensional|dreidimensionalen]] [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]. Diese Punktmenge kann formal als die [[Menge (Mathematik)|Menge]]

: <math> \left\{(a \cdot x_1,b \cdot x_2,c \cdot x_3) \in \mathbb R^3 \mid a, b, c > 0 \ \land \ x_1 \in \mathbb Z \ \land \ x_2 \in \mathbb Z \ \land \ x_3 \in \mathbb Z \right\}</math>

geschrieben werden, wobei die positiven [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] <math>
a
</math>, <math>
b
</math>, <math>
c
</math> die [[Abstand|Abstände]] zwischen benachbarten [[Punkt (Geometrie)|Punkten]] sind. Das Quadergitter entsteht durch 3 Parallelstreckungen (siehe [[Affine Abbildung]]) aus dem [[Würfel (Geometrie)#Würfelgitter|Würfelgitter]].<ref>Wolfram MathWorld: [https://mathworld.wolfram.com/CubicLattice.html Cubic Lattice]</ref>

Dieses Würfelgitter ist [[Achsensymmetrie|achsensymmetrisch]], [[Drehsymmetrie|drehsymmetrisch]] und [[Punktsymmetrie|punktsymmetrisch]]. Außerdem ist es [[Translationssymmetrie|translationsymmetrisch]] für alle [[Vektor]]en mit bestimmten [[Vektor#Länge bzw. Norm|Längen]], die parallel zu den 3 Koordinatenachsen verlaufen, nämlich die unendlich vielen Vektoren <math>
a \cdot a_1 \cdot \vec{e}_1
</math>, <math>
b \cdot a_2 \cdot \vec{e}_2
</math>, <math>
c \cdot a_3 \cdot \vec{e}_3
</math>, wobei <math>
a_1
</math>, <math>
a_2
</math>, <math>
a_3
</math> [[Ganze Zahl|ganze Zahlen]] sind und <math>
e_1
</math>, <math>
e_2
</math>, <math>
e_3
</math> die 3 [[Einheitsvektor]]en im [[Dreidimensional|dreidimensionalen]] eudklidischen [[Vektorraum]].

Werden [[Unendlichkeit|unendlich]] viele [[Parallelität (Geometrie)|parallele]] [[Ebene (Mathematik)|Ebenen]], die jeweils den [[Abstand]] <math>
a
</math>, <math>
b
</math> bzw. <math>
c
</math> haben, [[Orthogonalität|orthogonal]] zu den 3 [[Koordinatenachse]]n durch dieses [[Punktgitter]] gelegt, dann entsteht ein Flächengitter (siehe Abbildung), das quaderförmige Hohlräume enthält. Diese Ebenen können formal als die [[Menge (Mathematik)|Menge]]

: <math> \left\{(a \cdot x_1,b \cdot x_2,c \cdot x_3) \in \mathbb R^3 \mid a, b, c > 0 \ \land \ (x_1 \in \mathbb Z \ \lor \ x_2 \in \mathbb Z \ \lor \ x_3 \in \mathbb Z) \right\}</math>

geschrieben werden.

Wird zusätzlich der [[Dreidimensional|dreidimensionale]] [[Raum (Mathematik)|Raum]] vollständig ausgefüllt, dann entsteht eine [[Dreidimensional|dreidimensionale]] [[Parkettierung]] ([[Raumfüllung]]) aus [[Kongruenz (Geometrie)|kongruenten]] Quadern.

Wird ein [[Geometrisch|geometrischer]] [[Körper (Geometrie)|Körper]] im [[Dreidimensional|dreidimensionalen]] [[Raum (Mathematik)|Raum]] in einem [[Würfel (Geometrie)#Würfelgitter|Würfelgitter]] platziert und dann durch Parallelstreckungen modifiziert, sodass ein Quadergitter entsteht, dann entstehen abhängig von der Art und Ausrichtung dieser geometrischen Körper andere geometrische Körper:
{| class="wikitable"
! colspan="3" |Parallelstreckungen von [[Geometrisch|geometrischen]] [[Körper (Geometrie)|Körpern]]
|-
! rowspan="2" |[[Körper (Geometrie)|Körper]] im [[Würfel (Geometrie)#Würfelgitter|Würfelgitter]]
! colspan="2" |[[Körper (Geometrie)|Körper]] im Quadergitter
|-
!bei [[Orthogonalität|orthogonaler]] Ausrichtung
!bei beliebiger Ausrichtung
|-
|[[Würfel (Geometrie)|Würfel]]
|Quader
|[[Parallelepiped]]
|-
|[[Quadratisch|quadratisches]] gerades [[Prisma (Geometrie)|Prisma]]
|Quader
|[[Parallelepiped]]
|-
|Quader
|Quader
|[[Parallelepiped]]
|-
|[[Rhomboeder]]
|
|[[Parallelepiped]]
|-
|[[Parallelepiped]]
|
|[[Parallelepiped]]
|-
|[[regelmäßiges Tetraeder]]
|
|[[Tetraeder]]
|-
|[[Pyramide (Geometrie)#Gerade quadratische Pyramide|quadratische Pyramide]]
|[[Rechteck|rechteckige]] gerade [[Pyramide (Geometrie)|Pyramide]]
|[[Parallelität (Geometrie)|parallele]] Viereckspyramide
|-
|gerader [[Kreiskegel]]
|[[Elliptisch|elliptischer]] gerader [[Kegel (Geometrie)|Kegel]]
|[[Elliptisch|elliptischer]] [[Kegel (Geometrie)|Kegel]]
|-
|gerader [[Kreiszylinder]]
|[[Elliptisch|elliptischer]] gerader [[Zylinder (Geometrie)|Zylinder]]
|[[Elliptisch|elliptischer]] [[Zylinder (Geometrie)|Zylinder]]
|-
|[[Kugel]]
|
|[[Ellipsoid]]
|}

== Euler-Ziegel ==
[[Datei:Euler brick.svg|rechts|Euler-Ziegel mit Kanten a,c,b und Flächendiagonalen d,e,f]]
[[Datei:Euler brick examples.svg|mini|400x400px|Die fünf primitiven [[Euler-Ziegel]] mit Kantenlängen unter 1000]]
Ein [[Euler-Ziegel]] ist ein Quader, bei dem die Längen der Kanten und Flächendiagonalen [[Ganze Zahl|ganzzahlige]] Werte haben. Er ist nach [[Leonhard Euler]] benannt. Er wird von 3 [[Dreieck]]en aufgespannt, deren Kantenlängen [[Pythagoreisches Tripel|pythagoreische Tripel]] sind, und deren [[Rechter Winkel|rechte Winkel]] an einer Ecke zusammenstoßen.

Ein Euler-Ziegel ist ''primitiv'', wenn die drei Kantenlängen [[Teilerfremdheit|keinen gemeinsamen Teiler]] haben. Die [[Geometrisch|geometrische]] Definition des Euler-Ziegels ist äquivalent zu einer [[Lösung (Mathematik)|Lösung]] des folgenden Systems von [[Diophantische Gleichung|diophantischen Gleichungen]]:

: <math>\begin{align} a^2 + b^2 = d^2
\\ a^2 + c^2 = e^2
\\ b^2 + c^2 = f^2
\end{align}</math>
wobei ''a, b, c'' die Kanten und ''d, e, f'' die Flächendiagonalen sind.<ref>{{MathWorld|id=EulerBrick|title=Euler Brick}}</ref>

Ein [[Euler-Ziegel]] heißt ''perfekt'', wenn zusätzlich auch die [[Raumdiagonale]] eine [[Ganze Zahl|ganzzahlige]] Länge hat, das heißt, wenn zusätzlich gilt:
: <math>a^2 + b^2 + c^2 = g^2</math>
wobei ''g'' die Raumdiagonale ist.

[[Euler-Ziegel#Perfekter Euler-Ziegel|Perfekte Euler-Ziegel]] sind ein [[Ungelöste Probleme der Mathematik|ungelöstes Problem der Mathematik]]. Es wurde bisher noch kein Beispiel für einen perfekten Euler-Ziegel gefunden, und es wurde auch nicht bewiesen, dass keiner existiert. Mithilfe vom [[Computer]]n konnte gezeigt werden, dass bei einem perfekten Euler-Ziegel eine der Kanten größer als 3 · 10<sup>12</sup> sein müsste.<ref>Bill Durango: [http://www.durangobill.com/IntegerBrick.html ''The “Integer Brick” Problem''.]</ref><ref>{{MathWorld|id=PerfectCuboid|title=Perfect Cuboid}}</ref>

== Ganzzahlige Raumdiagonalen ==
Es gibt Quader, bei denen sowohl die Seitenlängen ''a'', ''b'' und ''c'', als auch die Raumdiagonale ''g'' ganzzahlig sind. Diese Längen bilden dann ein [[pythagoreisches Quadrupel]].

== Anwendungsbeispiele ==

=== Domino ===
[[Domino]] ist ein [[Legespiel]] mit [[Spielstein]]en und enthält jede [[Kombination (Kombinatorik)|Kombination]] aus 2 Augenzahlen von 0 bis 6 genau einmal, wobei auch Steine mit gleichen Augenzahlen vorkommen. Dabei wird die [[Reihenfolge]] der Augenzahlen nicht unterschieden. Die [[Abmessungen]] und die mittlere [[Dichte]] der quaderförmigen Steine sind

* Länge: 9 Zentimeter
* Breite: 4,5 Zentimeter
* Höhe: 1 Zentimeter
* Mittlere Dichte: 670 kg/m³

Es sind also 7 Steine mit 2 gleichen Augenzahlen, <math>\tbinom{7}{2} = \tfrac{7 \cdot 6}{2} = 21</math> Steine mit 2 verschiedenen Augenzahlen und insgesamt 7 + 21 = 28 Steine. Daraus ergeben sich mithilfe der oben genannten [[Formel]]n das [[Volumen]], der Oberflächeninhalt und die [[Masse (Physik)|Masse]] der Dominosteine:

* '''Volumen eines Steins''': <math>V = a \cdot b \cdot c = 9 \ \mathrm{cm} \cdot 4{,}5 \ \mathrm{cm} \cdot 1 \ \mathrm{cm} = 40{,}5 \ \mathrm{cm}^3 = 4{,}05 \cdot 10^{4} \ \mathrm{mm}^3 = 4{,}05 \cdot 10^{-5} \ \mathrm{m}^3</math>
* '''Gesamtvolumen''': <math>V_\text{gesamt} = 28 \cdot V = 28 \cdot 40{,}5 \ \mathrm{cm}^3 = 1134 \ \mathrm{cm}^3 = 1{,}134 \cdot 10^{6} \ \mathrm{mm}^3 = 1{,}134 \cdot 10^{-3} \ \mathrm{m}^3</math>
* '''Oberflächeninhalt eines Steins''': <math>A_O = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c) = 2 \cdot (9 \ \mathrm{cm} \cdot 4{,}5 \ \mathrm{cm} + 9 \ \mathrm{cm} \cdot 1 \ \mathrm{cm} + 4{,}5 \ \mathrm{cm} \cdot 1 \ \mathrm{cm}) = 108 \ \mathrm{cm}^2 = 1{,}08 \cdot 10^{4} \ \mathrm{mm}^2 = 1{,}08 \cdot 10^{-2} \ \mathrm{m}^2</math>
* '''Gesamter Oberflächeninhalt''': <math>A_\text{gesamt} = 28 \cdot 108 \ \mathrm{cm}^2 = 3024 \ \mathrm{cm}^2 = 3{,}024 \cdot 10^{5} \ \mathrm{mm}^2 = 3{,}024 \cdot 10^{-1} \ \mathrm{m}^2</math>
* '''Masse eines Steins''': <math>m = \rho \cdot V = 670 \ \mathrm{kg} / \mathrm{m^3} \cdot 4{,}05 \cdot 10^{-5} \ \mathrm{m}^3 = 2{,}7135 \ \cdot 10^{-2} \ \mathrm{kg} = 27{,}135 \ \mathrm{g}</math>
* '''Gesamtmasse''': <math>m_\text{gesamt} = 28 \cdot 2{,}7135 \ \cdot 10^{-2} \ \mathrm{kg} = 0{,}48843 \ \cdot 10^{-2} \ \mathrm{kg} = 488{,}43 \ \mathrm{g}</math>

=== Lift ===
Die offene Kabine eines [[Aufzugsanlage|Lifts]] ist 1,40 [[Meter]] breit, 2,00 Meter lang und 2,20 Meter hoch. Die [[Luft]] in der [[Kabine]] hat die [[Temperatur]] −10 [[Grad Celsius]] und die [[Dichte]] 1,3413 kg/m³. Durch Heizwärme [[Erwärmung|erwärmt]] sich die Luft auf 20 Grad Celsius und die Dichte sinkt auf 1,2041 kg/m³. Der Luftdruck vorher und nachher beträgt 101325 [[Pascal (Einheit)|Pascal]] (siehe [[Standardbedingungen]]). Aus diesen Angaben kann man die [[Masse (Physik)|Masse]] der Luft in der Kabine des Lifts bei −10 Grad Celsius, bei 20 Grad Celsius und den Anteil der aus der Kabine des Lifts entweichten Luft berechnen:

* '''Masse der Luft bei −10 °C''': <math>m = \rho \cdot V = \rho \cdot a \cdot b \cdot c = 1{,}3413 \ \mathrm{kg} / \mathrm{m^3} \cdot 1{,}40 \ \mathrm{m} \cdot 2{,}00 \ \mathrm{m} \cdot 2{,}20 \ \mathrm{m} = 1{,}3413 \ \mathrm{kg} / \mathrm{m^3} \cdot 6{,}16 \ \mathrm{m}^3 \approx 8{,}262 \ \mathrm{kg} = 8{,}262 \cdot 10^{3} \ \mathrm{g}</math>
* '''Masse der Luft bei 20 °C''': <math>m = \rho \cdot V = \rho \cdot a \cdot b \cdot c = 1{,}2041 \ \mathrm{kg} / \mathrm{m^3} \cdot 1{,}40 \ \mathrm{m} \cdot 2{,}00 \ \mathrm{m} \cdot 2{,}20 \ \mathrm{m} = 1{,}2041 \ \mathrm{kg} / \mathrm{m^3} \cdot 6{,}16 \ \mathrm{m}^3 \approx 7{,}417 \ \mathrm{kg} = 7{,}417 \cdot 10^{3} \ \mathrm{g}</math>
* '''Anteil der entweichten Luft''': <math>1 - \frac{7{,}417 \ \mathrm{kg}}{8{,}262 \ \mathrm{kg}} \approx 1 - 0{,}898 = 0{,}102 = 10{,}2 \ %</math>
Es entweicht also etwa 10,2 [[Prozent]] der [[Luft]].

=== Schwimmbecken ===
Ein [[Schwimmbecken]] ist 25 [[Meter]] breit, 50 Meter lang, 2,5 Meter tief und zu 96 [[Prozent]] gefüllt. Das [[Wasser]] im Schwimmbecken hat die [[Temperatur]] 0 [[Grad Celsius]] und hat die [[Dichte]] 1,000 kg/m³. Durch [[Sonneneinstrahlung]] [[Erwärmung|erwärmt]] sich das Wasser auf 40 Grad Celsius und 60 Prozent des Wassers verdunstet. Gleichzeitig sinkt die Dichte auf 0,996 kg/m³. Stillschweigend können wir annehmen, dass der Boden des quaderförmigen Schwimmbeckens [[Orthogonalität|orthogonal]] zum Erdmittelpunkt ist, also überall fast dieselbe [[Höhe über dem Meeresspiegel]] hat, und dass der [[Wasserstand]] des Schwimmbeckens überall gleich hoch ist.

Daraus ergeben sich:

* '''Wasserstand (vorher)''': <math>c = 96 \ \% \cdot 2{,}5 \ \mathrm{m} = 2{,}4 \ \mathrm{m}</math>
* '''Volumen des Wassers (vorher)''': <math>V = a \cdot b \cdot c = 25 \ \mathrm{m} \cdot 50 \ \mathrm{m} \cdot 2{,}4 \ \mathrm{m} = 3000 \ \mathrm{m}^3 = 3 \cdot 10^{3} \ \mathrm{m}^3</math>
* '''Masse des Wassers (vorher)''': <math>m = \rho \cdot V = 1{,}000 \ \mathrm{kg} / \mathrm{m^3} \cdot 3000 \ \mathrm{m}^3 = 3000 \ \mathrm{kg} = 3 \cdot 10^{3} \ \mathrm{kg}</math>
* '''Masse des Wassers (nachher)''': <math>m^* = (1 - 60 \ \%) \cdot m = 0{,}4 \cdot m = 0{,}4 \cdot 3000 \ \mathrm{kg} = 1200 \ \mathrm{kg} = 1{,}2 \cdot 10^{3} \ \mathrm{kg}</math>
* '''Volumen des Wassers (nachher)''': <math>V^* = \frac{m^*}{p^*} = \frac{1200 \ \mathrm{kg}}{0{,}996 \ \mathrm{kg} / \mathrm{m^3}} \approx 1204{,}8 \ \mathrm{m}^3 = 1{,}2048 \cdot 10^{3} \ \mathrm{m}^3</math>
* '''Wasserstand (nachher)''': <math>c^* = (1 - 60 \ \%) \cdot \frac{p}{p^*} \cdot c = 0{,}4 \cdot \frac{1{,}000 \ \mathrm{kg} / \mathrm{m^3}}{0{,}996 \ \mathrm{kg} / \mathrm{m^3}} \cdot 2{,}4 \ \mathrm{m} \approx 0{,}964 \ \mathrm{m} </math>

Der [[Wasserstand]] des [[Schwimmbecken]]s sinkt also von 2,5 [[Meter]] auf 0,964 Meter.

== Siehe auch ==

* [[Würfel (Geometrie)|Würfel]]
* [[Prisma (Geometrie)]]
* [[Parallelepiped]]
* [[Euler-Ziegel]]
* [[Polyeder]]
* [[Rechtkant]]

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
{{Commonscat|Rectangular cuboids|Quader}}
* {{MathWorld|id=Cuboid|title=Cuboid}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4322444-1}}

[[Kategorie:Raumgeometrie]]
[[Kategorie:Polyeder]]

Quader - Versionsgeschichte

~2025-140182: Grammatikalisch korrekt ist hier der Genitiv.