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2023-12-08T19:07:44Z

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Die '''Pythagoraszahl''' eines [[Körper (Algebra)|Körpers]] <math>F</math> ist definiert als das kleinste <math>p(F) \in \mathbb{N}</math>, so dass sich jede ''endliche'' Summe von Quadraten in <math>F</math> schon als Summe von <math>p(F)</math> Quadraten schreiben lässt.<ref name="Brocker">Bröcker L., ''Über die Pythagoraszahl eines Körpers'', Archiv der Mathematik, Birkhäuser Basel, Volume 31, Number 1, Dezember 1978, S. 133–136</ref>

== Definition ==
Für einen [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>F</math> sei

:<math>\sum F^2 := \left\{ \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \;\Big|\; n\in\mathbb{N}, a_1, \ldots, a_n \in F \text{ und } \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \neq 0 \right\}</math>

die Menge der endlichen [[Quadratzahl#Summen aufeinanderfolgender Quadratzahlen|Quadratsumme]]n, die ungleich Null sind.

Mit

:<math>\sum^k F^2 := \left\{ \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \;\Big|\; n\leq k , a_1, \ldots, a_n \in F \text{ und } \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \neq 0 \right\}</math>

bezeichnen wir die Menge der Quadratsummen in <math>F</math>, die höchstens Länge <math>k</math> haben.
Offensichtlich gilt <math>\textstyle \sum^k F^2 \subseteq \sum F^2</math> für alle <math>k\in\mathbb N</math>.
Unklar ist dagegen, ob immer ein <math>k\in\mathbb N</math> existiert, so dass <math>\textstyle \sum^k F^2 = \sum F^2</math>.
Als ''Pythagoraszahl'' von <math>F</math> bezeichnen wir die folgende Größe:

:<math>p(F) := \min\left\{ k\in \mathbb N \cup \{\infty\} \;\Big|\; \sum^k F^2 = \sum F^2 \right\} </math>

wobei <math>p(F) = \infty</math> genau dann, wenn <math>\textstyle \sum^k F^2 \varsubsetneq \sum F^2</math> für alle <math>k\in\mathbb N</math> gilt. Es ist stets <math>p(F) \geq 1</math>.

== Die Pythagoraszahl einiger Zahlenkörper ==

# Nach dem [[Satz des Pythagoras]] gibt es für <math>a_1, \ldots, a_n \in \mathbb R</math> ein <math>b\in\mathbb R</math>, so dass <math>a_1^2 + \ldots + a_n^2 = b^2</math>. Damit ist die Pythagoraszahl der [[Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>p(\mathbb R) = 1</math>. Anders ausgedrückt: Man kann aus jeder Quadratsumme in <math>\mathbb R</math> die Wurzel ziehen. Es ist wahrscheinlich, dass die Pythagoraszahl ihren Namen aus dieser Überlegung herleitet.
# Die Pythagoraszahl der [[Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]] <math>p(\mathbb C) = 1</math>.
# Nach dem [[Vier-Quadrate-Satz|Satz von Euler-Lagrange]] ist die Pythagoraszahl der [[Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]] <math>p(\mathbb Q) = 4</math>, d. h. jede Summe von Quadraten rationaler Zahlen lässt sich schon als Summe von höchstens vier Quadraten schreiben.

== Weitere Beispiele und Beweise ==
'''Satz''' Falls <math>F</math> [[Reeller Körper|nicht-reeller Körper]] ist, (das heißt <math>-1 \in \sum F^2</math>,) lässt sich die Pythagoraszahl von <math>F</math> abschätzen durch die [[Stufe (Algebra)|Stufe]] <math>s(F)</math> von <math>F</math>:

:<math>s(F) \leq p(F) \leq s(F)+1</math>

''Beweis:'' Siehe [[Bild:Wikibooks-logo.svg|14px| ]] [[b:Beweisarchiv: Zahlentheorie: Algebraische Zahlentheorie: Pythagoraszahl nicht-reeller Körper|Satz (Pythagoraszahl nicht-reeller Körper)]]

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Falls <math>F</math> ein nicht-reeller Körper mit positiver [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] ist, gilt ein Lemma aus dem Buch ''Squares'' von A. R. Rajwade<ref> A.R. Rajwade, ''Squares'', Cambridge University Press, 1993</ref>, nach dem für einen beliebigen Körper <math>F</math> mit <math>\text{char}(F) > 0</math> gilt, dass <math>s(F) \leq 2</math> (zum Beweis vgl. [[Stufe (Algebra)|Stufe]]).

Damit gilt für alle nicht-reellen Körper mit positiver Charakteristik, dass <math>p(F) \leq 3</math>.

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Ganz exakt kann man im Fall <math>F = \mathbb F_q</math> werden, wo <math>q</math> eine ungerade Primpotenz ist. Es gilt:

'''Satz''' <math>p(\mathbb F_q) = 2</math> für alle <math>q = p^n</math> wo <math>p >2</math> prim und <math>n > 0</math> ist.

''Beweis:'' Siehe [[Bild:Wikibooks-logo.svg|14px| ]] [[b:Beweisarchiv: Zahlentheorie: Algebraische Zahlentheorie: Pythagoraszahl nicht-reeller Körper|Satz (Pythagoraszahl von Körpern mit Charakteristik einer Primpotenz)]]

== Die Pythagoraszahl bei Körpererweiterungen der rationalen Zahlen ==

Sei <math>F/\mathbb Q</math> eine endlich erzeugte [[Körpererweiterung]] über den [[Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]], sei weiter <math>d = \text{trdeg}(F)</math> der [[Transzendenzgrad]] von <math>F</math> über <math>\mathbb Q</math>.

Unter Verwendung der Milnorschen Vermutung (vgl. [[Algebraische K-Theorie#Milnorvermutung|K-Theorie: Milnorvermutung]]), die von [[Wladimir Wladislawowitsch Wojewodski|Wladimir Wojewodski]] bewiesen wurde, lässt sich zeigen, dass <math>p(F) \leq 2^{d+2}</math> für alle <math>d</math> gilt.

Wegen <math>p(\mathbb Q) = 4</math> ist diese Abschätzung scharf für <math>d=0</math>.

Für <math>d=1</math> wurde bisher <math>p(F) \leq 6</math> gezeigt<ref>Florian Pop, bislang unveröffentlichter Artikel</ref>. Vermutlich gilt aber sogar <math>p(F) \leq 5</math>, was dann wegen <math>p(\mathbb Q(t)) = 5</math> eine scharfe Abschätzung wäre.<ref>Y. Pourchet, ''Sur la representation en somme de carres des polynomes a une indeterminee sur un corps de nombres algebraiques'', Acta Arith. 19, 1971</ref>

Eine ausführliche Darstellung des Beweises von <math>p(F) \leq 2^{d+2}</math> findet sich in der Arbeit ''Über die Pythagoraszahl von Funktionenkörpern'', s. u.

== Siehe auch ==
*[[Pythagoreischer Körper]]

== Weblinks ==

{{Wikibooks|Beweisarchiv: Zahlentheorie: Algebraische Zahlentheorie: Pythagoraszahl nicht-reeller Körper|einige Beweise zur Pythagoraszahl}}
*[https://kops.uni-konstanz.de/urn/urn:nbn:de:bsz:352-opus-6195 Über die Pythagoraszahl von Funktionenkörpern]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Körpertheorie]]
[[Kategorie:Zahlentheorie]]

Pythagoraszahl - Versionsgeschichte

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