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2025-10-25T08:49:04Z

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[[Datei:Pythagoras tree construct 5of5.png|mini|hochkant=0.8|Pythagoras-Baum]]
[[Datei:Pythagoras tree 1 1 13 Summer.svg|hochkant=0.8|mini|[[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrischer]] Pythagoras-Baum]]
Ein '''Pythagoras-Baum''' ist eine besondere Art eines [[Fraktal]]s. Das ursprüngliche Verfahren zum Erstellen eines Pythagoras-Baums basiert auf dem [[Satz des Pythagoras]], in dem auf ein [[Quadrat (Geometrie)|Quadrat]] zwei weitere, kleinere Quadrate im [[Rechter Winkel|rechten Winkel]] angeordnet werden. Durch [[Rekursion|rekursives]] Aufrufen dieser Konstruktionsvorschrift wird ein Fraktal erzeugt, das im Grenzfall der Form eines Baumes ähnelt. Durch den [[Rechter Winkel|rechten Winkel]] des eingeschlossenen [[Dreieck]]s bleibt die Gesamtfläche jeder Ebene gleich, daher ist die Fläche des Grundelementes (Stammes) genau so groß wie die [[Summe]] der [[Fläche (Mathematik)|Fläche]] aller äußeren Elemente (Blätter).
{{Absatz|links}}
== Konstruktion ==
{| align="right" border="1" cellspacing="0" cellpadding="5" style="border-collapse:collapse;"
| [[Datei:Pythagoras tree construct 1of5.png|110px|(Bild 1)]] Bild 1
| [[Datei:Pythagoras tree construct 2of5.png|110px|(Bild 2)]] Bild 2
|-
| [[Datei:Pythagoras tree construct 3of5.png|110px|(Bild 3)]] Bild 3
| [[Datei:Pythagoras tree construct 4of5.png|110px|(Bild 4)]] Bild 4
|}
Aus einer Grundlinie wird ein [[Quadrat]] konstruiert. Auf diesem Grundelement (Stamm) wird auf der Oberseite ein [[Thaleskreis]] gezeichnet und dieser beliebig geteilt. Der entstehende [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] wird mit dem Grundelement verbunden [[:Datei:Pythagoras tree construct 1of5.png|(Bild 1)]], so dass ein rechtwinkliges Dreieck entsteht. Aus den beiden entstandenen Schenkeln des [[Dreieck]]s wird wieder jeweils ein Quadrat konstruiert [[:Datei:Pythagoras tree construct 2of5.png|(Bild 2)]], ein Thaleskreis aufgezeichnet, dieser geteilt, ein rechtwinkliges Dreieck konstruiert [[:Datei:Pythagoras tree construct 3of5.png|(Bild 3)]] und so wieder zu einem Quadrat erweitert [[:Datei:Pythagoras tree construct 4of5.png|(Bild 4)]]. Dieser Vorgang wird beliebig oft wiederholt.
<div style="clear:both;"></div>

== Symmetrischer Pythagoras-Baum ==

=== Berechnungen ===
Im Folgenden sei die Seitenlänge des ersten [[Quadrat]]s (dem „Stamm“) gleich <math>a</math>. Wenn die [[Innenwinkel]] des ersten [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkligen Dreiecks]] gleich 45°, 45° und 90°, die Seitenlängen also gleich <math>\tfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot a</math>, <math>\tfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot a</math> und <math>a</math> sind, ist der Pythagoras-Baum [[Symmetrie (Geometrie)|symmetrisch]]. Die [[Symmetrieachse]] ist die [[Mittelsenkrechte]] der [[Hypotenuse]] des ersten [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkligen]] und [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenkligen Dreiecks]].

=== Höhe ===
[[Datei:Grundkonstruktion Ast Pythagorasbaum.jpg|mini|hochkant=0.8|Grundkonstruktion eines Astes]]

Höhe des ersten Astes beträgt <math>2 \cdot a</math> (siehe Abbildung). Um die maximale Höhe zu ermitteln, genügt es Äste der abgebildeten Form aufeinander zu stellen. Jeder Ast hat die halbe Grundseite des vorigen Astes. Damit ist die Höhe des zweiten Astes <math>a</math>, die des dritten <math>\tfrac{a}{2}</math> usw. Die Gesamthöhe <math>h</math> beträgt damit:

:<math>h = 2 \cdot a + a + \frac{a}{2} + \frac{a}{4} + \frac{a}{8} + \ldots = 2 \cdot a \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots\right) </math>
Also ergibt sich mithilfe der [[Geometrische Reihe|geometrischen Reihe]]:<ref name=":0">Larry Riddle, Agnes Scott College: [https://larryriddle.agnesscott.org/ifs/pythagorean/pythTree.htm Pythagorean Tree]</ref>
:<math>h = 2 \cdot a \cdot \sum_{i=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2} \right)^{i} = 2 \cdot a \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 4 \cdot a </math>

=== Breite ===
Der linke Ast entspricht einem querliegenden Baum mit der Grundseite <math>\frac{a}{2}</math>. Ebenso der rechte Ast. In der Mitte bleibt ein Stamm mit der Breite <math>a</math> und den beiden Hauptästen mit jeweils der Breite <math>\frac{a}{2}</math>. Die Breite beträgt also<ref name=":0" />

:<math>\underbrace{\frac{h}{2}}_{\begin{array}{c}\scriptstyle{\text{Höhe linker}} \\ \scriptstyle{\text{querliegender Baum}} \end{array}} + \underbrace{\frac{h}{2}}_{\begin{array}{c} \scriptstyle{\text{Höhe rechter}} \\ \scriptstyle{\text{querliegender Baum}} \end{array}} + a + \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = \frac{4 \cdot a}{2} + \frac{4 \cdot a}{2} + a + \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = 6 \cdot a </math>

=== Stammlänge ===
[[Datei:Pythagorasbaum Seitenlaenge.jpg|mini|hochkant=0.8|Seitenlänge und Länge der Baumkrone]]
Zur Berechnung der Stammlänge (siehe rote Linien in der Abbildung) müssen die Seitenlängen der [[Quadrat]]e addiert werden:

# Quadrat: <math>\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^0 \cdot a = a</math>
# Quadrat: <math>\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^1 \cdot a = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot a</math>
# Quadrat: <math>\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \cdot a = \frac{1}{2} \cdot a</math>
# Quadrat: <math>\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 \cdot a = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot a</math>
usw.

Es kommt immer der Faktor <math>\tfrac{\sqrt{2}}{2}</math> hinzu. Wenn man die Nummerierung bei 0 beginnt, ist die Seitenlänge des <math>i</math>-ten Quadrats gleich <math> ( \tfrac{\sqrt{2}}{2} )^i \cdot a </math>. Die Gesamtlänge der roten Linien beträgt also:
:<math>a \cdot \sum_{i=0}^{\infty} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{i} = a \cdot \frac{1}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2 \cdot a}{2 - \sqrt{2}} = a \cdot \left(2 + \sqrt{2}\right) \approx 3{,}414 \cdot a</math>

=== Länge der Baumkrone ===
[[Datei:Pythogorasbaum - rechts links Ast.jpg|mini|hochkant=0.8|Rechts-links-Ast eines Pythagoras-Baumes]]

Zur Berechnung der Länge der Baumkrone (siehe blaue Linien in der Abbildung) zuerst folgende Überlegungen: In die [[Ecke]]n des Baumes kommt man, indem man die Äste abwechselnd links und rechts entlanggeht. Um die Länge der oberen horizontalen Linie zu berechnen, wird zuerst die Abweichung von der Stammmittellinie, die durch das Wachstum eines Rechts-links-Astes entsteht, berechnet.

{| class="wikitable"
|-
!
! Grundseite
! Abstand von der Mittellinie <math>x_{i}</math>

|-
| Erste Rechts-links-Kombination (Quadrat, Dreieck, Quadrat, Dreieck – in der Abbildung gestrichelt)
| style="text-align:center" | <math>a</math>
| <math>x_1 = \frac{a}{2} + \frac{a}{4} = \frac{3}{4} \cdot a</math>

|-
| Zweite Rechts-links-Kombination (in der Abbildung gepunktet)
| style="text-align:center" | <math>\frac{a}{2}</math>
| <math>x_2 = \frac{3}{4} \cdot \frac{a}{2}</math>

|-
| Dritte Rechts-links-Kombination
| style="text-align:center" | <math>\frac{a}{4}</math>
| <math>x_3 = \frac{3}{4} \cdot \frac{a}{4}</math>

|-
| i-te Rechts-links-Kombination
| style="text-align:center" | <math>\left(\frac{1}{2}\right)^i \cdot a</math>
| <math>x_i = \frac{3}{4} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^i \cdot a</math>
|}

Der maximale [[Abstand]] der letzten Spitze von der ersten Mittellinie ist dann die [[Summe]] der einzelnen Abstände:
:<math>\sum_{i=0}^{\infty} \frac{3}{4} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^i \cdot a = \frac{3}{4} \cdot a \cdot \sum_{i=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2} \right)^i = \frac{3}{4} \cdot a \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \cdot a </math>

Ein Links-rechts-Ast hat also den maximalen [[Abstand]] <math>\tfrac{3}{2} \cdot a </math> von der ersten Mittellinie. Das Gleiche gilt für den gespiegelten Rechts-links-Ast. Die beiden oberen [[Ecke]]n haben also den maximalen Abstand von <math>2 \cdot \tfrac{3}{2} \cdot a = 3 \cdot a</math>. Dies ist die Länge der oberen horizontalen blauen Linie.

Die Längen der anderen blauen Linien kann man leicht berechnen. Die zweite blaue Linie entspricht der oberen horizontalen Line des Hauptbaumes usw.

{| class="wikitable"
|-
!
! Grundseite Baum
! Länge

|-
| Erste blaue Linie
| style="text-align:center" | <math>a</math>
| style="text-align:center" | <math>3 \cdot a</math>

|-
| Zweite blaue Linie
| style="text-align:center" | <math>\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot a</math>
| style="text-align:center" | <math>3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot a</math>

|-
| Dritte blaue Linie
| style="text-align:center" | <math>\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \cdot a</math>
| style="text-align:center" | <math>3 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \cdot a</math>

|-
| i-te blaue Linie
| style="text-align:center" | <math>\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^i \cdot a</math>
| style="text-align:center" | <math>3 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^i \cdot a</math>
|}

Jede blaue Linie ist dreimal so lang wie die zugehörige rote Linie. Damit ist auch die Gesamtlänge der blauen Linie das Dreifache der roten Linie: <math>3 \cdot a \cdot \left(2 + \sqrt{2}\right)</math>

=== Umfang ===
Wenn man den Baum einmal umrunden möchte, muss man zweimal die blaue und zweimal die rote Linie und die Linie, auf der der Baum steht, entlanggehen. Die obere blaue Linie ist hierbei doppelt, diese muss man also einmal abziehen:

:<math>2 \cdot \underbrace{3 \cdot a \cdot \left(2 + \sqrt{2} \right)}_{\scriptstyle{\text{blau}}} \underbrace{- 3 \cdot a}_{ \begin{array}{c}\scriptstyle{\text{doppelt gerechnete}} \\ \scriptstyle{\text{obere horizontale}}\\ \scriptstyle{\text{Firstlinie}} \end{array}} + 2 \cdot \underbrace{a \cdot \left(2 + \sqrt{2} \right)}_{\scriptstyle{\text{rot}}} \underbrace{+ a}_{\scriptstyle{\text{Grundlinie}}} = 2 \cdot a \cdot \left(7 + 4 \sqrt{2}\right) \approx 25{,}313 \cdot a</math>

=== Abstand zum Rasen ===
[[Datei:Pythagorasbaum Abstand zum Gras.jpg|mini|[[Abstand]] der Blätter zum Rasen]]

Damit man mit dem Rasenmäher bis zum Stamm fahren kann, muss man wissen, wie hoch die lichte Höhe unter dem Blattwerk des Baumes ist. Wie groß ist der [[Abstand]] der ersten Blätter zum Rasen?

Bei einer Grundseite von <math> a </math> ist die Gesamtbreite <math>6 \cdot a </math>. Eine Seite des Baumes steht also <math>\tfrac{5}{2} \cdot a </math> über den Stamm hinaus (siehe grüne Linie in der Abbildung). Zur Berechnung der gesuchten lichten Höhe betrachtet man den dritten Ast, den ersten horizontal wachsenden Ast (das dritte [[Quadrat]]). Die Grundseite dieses Teilbaumes beträgt: <math>\tfrac{a}{2}</math>. Die Breite dieses Teilastes ist also <math>6 \cdot \tfrac{a}{2} = 3 \cdot a</math> . Auch bei diesem Ast steht die Krone um den Faktor <math>\tfrac{5}{2} </math> über, also: <math>\tfrac{5}{2} \cdot \tfrac{a}{2} = \tfrac{5}{4} \cdot a </math>. Dieser dritte Teilast hat einen Abstand vom Rasen von <math>\tfrac{3}{2} \cdot a </math>. Die lichte Höhe ist dann die Differenz: <math>\tfrac{3}{2} \cdot a - \tfrac{5}{4} \cdot a = \tfrac{a}{4}</math>

== Allgemeiner Pythagoras-Baum ==
[[Datei:Pythagoras Tree Colored.png|mini|Allgemeiner Pythagoras-Baum]]Beim allgemeinen Pythagoras-Baum werden jeweils beliebige, aber [[Kongruenz (Geometrie)|kongruente]] [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinklige Dreiecke]] auf die [[Quadrat]]e gesetzt. Im Folgenden sei die Länge der [[Hypotenuse]] des ersten Quadrats des allgemeinen gleich <math>a</math>, die Längen der [[Kathete]]n gleich <math>a_1</math> und <math>a_2</math> und die gegenüberliegenden [[Winkel]] gleich <math>\alpha</math>, <math>\alpha_1</math> und <math>\alpha_2</math>.

=== Flächeninhalt ===
Der [[Flächeninhalt]] der [[Quadrat]]e, die bei jedem [[Iteration]]sschritt zum Pythagoras-Baum hinzugefügt werden, sind nach dem [[Satz des Pythagoras]] gleich groß. Der gesamte Flächeninhalt des Pythagoras-Baums inklusive der Überlappungen ist also [[Unendlichkeit|unendlich]] groß. Die Breite und Höhe des Pythagoras-Baums sind endlich, weil sich der [[Abstand]] jedes Quadrats zum vorherigen Quadrat um einen konstanten Faktor verkleinert. Der überdeckte Flächeninhalt ohne Überlappungen ist also auch endlich.

=== Umfang ===
Ist <math>U</math> der [[Umfang (Geometrie)|Umfang]] des Pythagoras-Baums, <math>U_1</math> der Umfang des rechten Teilbaums und <math>U_2</math> der Umfang des linken Teilbaums – jeweils ohne die untere Seite des ersten [[Quadrat]]s, dann gilt <math>U_1 + U_2 + 2 \cdot a = U</math>, weil sich der Umfang aus dem Umfang des rechten und linken Teilbaums und der Länge der rechten und linken Seite des ersten Quadrats zusammensetzt. Weil der Pythagoras-Baum [[Ähnlichkeit (Geometrie)|ähnlich]] zum rechten und linken Teilbaum ist, gilt <math>U_1 = \tfrac{a_1 \cdot U}{a}</math> und <math>U_2 = \tfrac{a_2 \cdot U}{a}</math>. Daraus folgt <math>\tfrac{a_1 \cdot U}{a} + \tfrac{a_2 \cdot U}{a} + 2 \cdot a = U</math>, also <math>(a_1 + a_2) \cdot U + 2 \cdot a^2 = a \cdot U</math>. Wegen der [[Dreiecksungleichung]] <math>a_1 + a_2 > a</math> und <math>2 \cdot a^2 > 0</math> kann diese [[Gleichung]] für endliches <math>U</math> nicht gelten. Der Umfang des Pythagoras-Baums ist also [[Unendlichkeit|unendlich]].

=== Rechter und linker Ast ===
Die Ecken der [[Quadrat|Quadrate]] des rechten und des linken Astes liegen jeweils auf einer [[Logarithmische Spirale|logarithmischen Spirale]]. Der Endpunkt des rechten Astes hat den [[Abstand]] <math>a</math> zum Rasen und den Abstand <math>\tfrac{a_1}{a_2} \cdot a = \tan(\alpha_1) \cdot a</math> zum Stamm. Der Endpunkt des linken Astes hat den Abstand <math>a</math> zum Rasen und den Abstand <math>\tfrac{a_2}{a_1} \cdot a = \tan(\alpha_2) \cdot a</math> zum Stamm.<ref>Larry Riddle, Agnes Scott College: [https://larryriddle.agnesscott.org/ifs/pythagorean/spiral.htm Pythagorean Tree Spirals]</ref>

=== Höhe, Breite und Abstand zum Rasen ===
Die folgende Tabelle zeigt die Höhe und Breite des Pythagoras-Baums und den [[Abstand]] der ersten Blätter des rechten und linken Teilbaums zum Rasen (siehe [[Pythagoras-Baum#Abstand zum Rasen|Abstand zum Rasen]]) für bestimmte [[Innenwinkel]] des [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkligen Dreiecks]]:

{| class="wikitable"
|-
!Innenwinkel <math>\alpha_1</math>
! Höhe
! Breite
! Abstand des rechten Teilbaums
! Abstand des linken Teilbaums
|-
| 45°
| style="text-align:center" | <math>4 \cdot a</math>
| style="text-align:center" | <math>6 \cdot a</math>
| style="text-align:center" | <math>\frac{a}{4}</math>
| style="text-align:center" | <math>\frac{a}{4}</math>
|-
| 30°
| style="text-align:center" | <math>\frac{17 + 3 \cdot \sqrt{3}}{5} \cdot a \approx 4{,}439 \cdot a</math>
| style="text-align:center" | <math>\frac{81 + 108 \cdot \sqrt{3}}{40} \cdot a \approx 6{,}702 \cdot a</math>
| style="text-align:center" | <math>\frac{28 - 3 \cdot \sqrt{3}}{40} \cdot a \approx 0{,}570 \cdot a</math>
| style="text-align:center" | <math>-\frac{4 + 81 \cdot \sqrt{3}}{320} \cdot a \approx -0{,}451 \cdot a</math>
|-
|22,5°
| style="text-align:center" | <math>\frac{140 + 67 \cdot \sqrt{2}}{47} \cdot a \approx 4{,}995 \cdot a</math>
| style="text-align:center" | <math>\frac{1439 + 1065 \cdot \sqrt{2}}{376} \cdot a \approx 7{,}833 \cdot a</math>
| style="text-align:center" | <math>\frac{32 \cdot \sqrt{2} - 11}{47} \cdot a \approx 0{,}729 \cdot a</math>
| style="text-align:center" | <math>-\frac{181 + 2255 \cdot \sqrt{2}}{3008} \cdot a \approx -1{,}120 \cdot a</math>
|-
| 15°
| style="text-align:center" | <math>\frac{11511 + 4795 \cdot \sqrt{3}}{3201} \cdot a \approx 6{,}191 \cdot a</math>
| style="text-align:center" | <math>\frac{1087035 + 587320 \cdot \sqrt{3}}{204864} \cdot a \approx 10{,}272 \cdot a</math>
| style="text-align:center" | <math>\frac{45495 - 20506 \cdot \sqrt{3}}{12804} \cdot a \approx 0{,}779 \cdot a</math>
| style="text-align:center" | <math>-\frac{9335814 + 12959845 \cdot \sqrt{3}}{13111296} \cdot a \approx -2{,}424 \cdot a</math>
|}

Die Höhe und Breite ist desto größer, der [[Abstand]] des rechten Teilbaums desto größer und der Abstand des linken Teilbaums desto kleiner, je größer die [[Differenz (Mathematik)|Differenz]] der [[Innenwinkel]] <math>\alpha_1</math> und <math>\alpha_2</math> ist.

== Geschichte ==
Der Pythagoras-Baum wurde zuerst von Albert E. Bosman (1891–1961) konstruiert, einem [[Niederländer|niederländischen]] Mathematiklehrer, im Jahre 1942.<ref>http://www.wisfaq.nl/show3archive.asp?id=32367&j=2005</ref><ref>{{Webarchiv|url=http://www.arsetmathesis.nl/bruno0402.htm |wayback=20090118100209 |text=Archivierte Kopie }}</ref><ref>{{Webarchiv|url=http://www.mathedidaktik.uni-koeln.de/fileadmin/matheseminarfiles/Formulare/material_matheturnier/Der_Baum_des_Pythagoras.pdf |wayback=20170101160242 |text=Archivierte Kopie }}</ref>

== Weitere Formen ==
Da so ein Baum, der streng nach dem [[Satz des Pythagoras]] erzeugt wurde, sehr unnatürlich aussieht, kann natürlich auch von der Urform abgewichen werden.
{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="5" style="border-collapse:collapse;"
|-
| width="50%" | [[Datei:Pythagoras tree.png|250px|zentriert]] Pythagoras-Baum:
* Rechtwinklige, gleichschenklige Dreiecke
* Verschiedene Farben
| [[Datei:Fraktaler Baum.png|250px|zentriert]] Fraktal-Baum:
* Freier Winkel
* Keine Quadrate
|-
| [[Datei:Pythagoras baum color.png|250px|zentriert]] Pythagoras-Baum:
* Rechtwinklige Dreiecke
* Verschiedene Farben
| [[Datei:Pythagoras baum nicht rechtwinklig.png|250px|zentriert]] Pythagoras-Baum:
* Keine rechtwinkligen Dreiecke
* Verschiedene Farben
|-
| [[Datei:Pythagoras baum color random.png|250px|zentriert]] Pythagoras-Baum:
* Zufällige Stammlängen und zufällige Stammteilungsverhältnisse
* Rechtwinklige Dreiecke
* Verschiedene Farben
| [[Datei:Pythagoras baum color gleichschenklig.png|250px|zentriert]] Pythagoras-Baum:
* Gleichschenklige Dreiecke
* Rechtwinklige Dreiecke
* Verschiedene Farben
|-
| [[Datei:Pythagoras baum Filled.png|250px|zentriert]] Pythagoras-Baum
| [[Datei:SWPythaTree.png|250px|zentriert]] SW Pythagoras-Baum
|}

== Programmierung ==
Der Pythagoras-Baum lässt sich [[Rekursive Programmierung|rekursiv]] auf einfache Weise implementieren. Das folgende Beispiel zeigt eine Implementierung in der [[Programmiersprache]] [[C-Sharp|C#]].<ref>Rosetta Code: [https://rosettacode.org/wiki/Pythagoras_tree Pythagoras tree]</ref><syntaxhighlight lang="c#">
using System.Windows.Forms;

public class MainForm : System.Windows.Forms.Form
{
private Graphics graphics;

public MainForm()
{
InitializeComponent();
Text = "Pythagoras-Baum";
Width = 800;
Height = 600;
graphics = CreateGraphics(); // Erzeugt ein Grafikobjekt für das Zeichnen auf dem Hauptfenster.
Paint += OnPaint; // Verknüpft die Ereignisbehandlungsmethode mit dem Paint Ereignis des Hauptfensters.
}

private void OnPaint(object sender, PaintEventArgs e)
{
float q = (float) Math.Tan(Math.PI / 3);
float minimaleLänge = (float) 0.1;
Color farbe = Color.FromArgb(255, 0, 0);
ZeichnePythagorasBaum(350, 400, 400, 400, q, minimaleLänge, farbe); // Aufruf der Methode mit minimaler Länge 0.1
}

// Diese Methode wird aufgerufen, wenn das Hauptfenster gezeichnet wird. Sie enthält 2 rekursive Aufrufe.
private void ZeichnePythagorasBaum(float x1, float y1, float x2, float y2, float q, float minimaleLänge, Color farbe)
{
// Wenn maximale Rekursionstiefe erreicht, dann Koordinaten setzen und gleichseitiges Dreiecks ausfüllen
float x = x1 - x2;
float y = y1 - y2;
if (x * x + y * y >= minimaleLänge * minimaleLänge) // Wenn Seitenlänge größer oder gleich minimale Länge, dann Quadrat und rechtwinkliges Dreieck ausfüllen
{
float a = q * q;
float b = q * q + 1;
float c = q * q + q + 1;
float x3 = x2 - y1 + y2; // 3. Ecke des Quadrats, 1. Ecke des Dreiecks
float y3 = x1 - x2 + y2;
float x4 = x1 - y1 + y2; // 4. Ecke des Quadrats, 2. Ecke des Dreiecks
float y4 = x1 - x2 + y1;
float x5 = (a * x1 + x2 - c * (y1 - y2)) / b; // 3. Ecke des Dreiecks
float y5 = (c * (x1 - x2) + a * y1 + y2) / b;
// Definiert Farben mit RGB-Werten.
Color rot = Color.FromArgb(255, 0, 0), grün = Color.FromArgb(0, 255, 0), blau = Color.FromArgb(0, 0, 255);
// Quadrat und rechtwinkliges Dreieck ausfüllen
PointF[] quadrat = new PointF[]{new PointF(x1, y1), new PointF(x2, y2), new PointF(x3, y3), new PointF(x4, y4)};
graphics.FillPolygon(new SolidBrush(farbe), quadrat);
PointF[] dreieck = new PointF[]{new PointF(x4, y4), new PointF(x3, y3), new PointF(x5, y5)};
graphics.FillPolygon(new SolidBrush(grün), dreieck);
// Rekursive Aufrufe der Methode für den linken und rechten Teilbaum.
ZeichnePythagorasBaum(x4, y4, x5, y5, q, minimaleLänge, rot);
ZeichnePythagorasBaum(x5, y5, x3, y3, q, minimaleLänge, blau);
}
}
}
</syntaxhighlight>

== Siehe auch ==

* [[Satz des Pythagoras]]
* [[Rechtwinkliges Dreieck]]

== Weblinks ==
{{Commons|Pythagoras tree|Pythagoras-Baum}}
* [http://www.pohlig.de/Unterricht/Inf2003/Tag18/14.5_Pythagorasbaum.htm Programmier-Beschreibung]
* [http://www.brefeld.homepage.t-online.de/pythagorasbaum.html Besondere Pythagorasbäume]
* [http://samu.github.io/pythagoras-tree/ Generator mit Code]
* [https://www.geogebra.org/m/VU4SUVUp Animation]
* [https://onlinemathtools.com/generate-pythagoras-tree Generator]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Fraktale Geometrie]]

Pythagoras-Baum - Versionsgeschichte

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