imported>Eliasorgel: /* Weitere Zusammenhänge mit anderen figurierten Zahlen */ beide Möglichkeiten als Formel angegeben

2020-10-20T19:32:21Z

Weitere Zusammenhänge mit anderen figurierten Zahlen: beide Möglichkeiten als Formel angegeben

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In der [[Mathematik]] sind ''' Pyramidenzahlen''' oder '''Pyramidalzahlen''' eine Klasse von [[Figurierte Zahl#Dreidimensionale Körper|Polyederzahlen]], das heißt dreidimensionale [[figurierte Zahl]]en. Von manchen Autoren wird der Begriff Pyramidalzahl für den Spezialfall der quadratischen Pyramidalzahlen verwendet. Sie sind die dreidimensionalen Verallgemeinerungen der ebenen [[Polygonalzahl]]en.

== Berechnung ==

Die jeweils <math>n</math>-te <math>k</math>-eckige Pyramidalzahl lässt sich mit der Formel
:<math>\frac {n(n+1)[(k-2)n-k+5]} {6}</math>
berechnen.<ref name="MathWorld">{{MathWorld|PyramidalNumber|Pyramidal Numbers}}</ref>

Alternativ lässt sich die <math>n</math>-te <math>k</math>-eckige Pyramidalzahl als Summe der ersten <math>n</math> <math>k</math>-eckigen [[Polygonalzahl]]en berechnen.

== Pyramidenzahlen zu Polygonen mit wenigen Ecken ==

{| class="wikitable"
|-
! class="hintergrundfarbe6" | <math>k</math>
! class="hintergrundfarbe6" | Bezeichnung
! class="hintergrundfarbe6" | Explizite Formel
! class="hintergrundfarbe6" | die ersten Werte
! class="hintergrundfarbe6" | [[Erzeugende Funktion]]
|-
| 3 || [[Tetraederzahl]]en || <math>\tfrac 1 6 n(n+1)(n+2)</math> || (0,) 1, 4, 10, 20, 35, … ({{OEIS|A000292}}) || <math>\frac x {(x-1)^4}</math>
|-
| 4 || [[Quadratische Pyramidalzahl]]en || <math>\tfrac 1 6 n(n+1)(2n+1)</math> || (0,) 1, 5, 14, 30, 55, … ({{OEIS|A000330}}) || <math>\frac {x(x+1)} {(x-1)^4}</math> <ref>{{MathWorld|SquarePyramidalNumber|Square Pyramidal Numbers}}</ref>
|-
| 5 || Fünfeckige Pyramidalzahlen || <math>\tfrac 1 2 n^2(n+1)</math> || (0,) 1, 6, 18, 40, 75, … ({{OEIS|A002411}}) || <math>\frac {x(2x+1)} {(x-1)^4}</math> <ref>{{MathWorld|PentagonalPyramidalNumber|Pentagonal Pyramidal Numbers}}</ref>
|-
| 6 || Sechseckige Pyramidalzahlen || <math>\tfrac 1 6 n(n+1)(4n-1)</math> || (0,) 1, 7, 22, 50, 95, … ({{OEIS|A002412}}) || <math>\frac {x(3x+1)} {(x-1)^4}</math> <ref>{{MathWorld|HexagonalPyramidalNumber|Hexagonal Pyramidal Numbers}}</ref>
|-
| 7 || Siebeneckige Pyramidalzahlen || <math>\tfrac 1 6 n(n+1)(5n-2)</math> || (0,) 1, 8, 26, 60, 115, … ({{OEIS|A002413}}) || <math>\frac {x(4x+1)} {(x-1)^4}</math> <ref>{{MathWorld|HeptagonalPyramidalNumber|Heptagonal Pyramidal Numbers}}</ref>
|}

Anmerkung: Manche Autoren zählen die Null als nullte oder erste figurierte Zahl jeweils dazu, andere nicht.

== Weitere Zusammenhänge mit anderen figurierten Zahlen ==

Die <math>n</math>-te quadratische Pyramidalzahl lässt sich auch aus der <math>n</math>-ten [[Dreieckszahl]] <math>\Delta_n</math> und der <math>(n-1)</math>-ten Tetraederzahl <math>T_{n-1}</math> nach der Formel
:<math>\Delta_n + 2 \cdot T_{n-1}</math>

oder aus den aufeinanderfolgenden <math>(n-1)</math> und <math>n</math>-ten Tetraederzahlen durch einfaches Summieren
:<math>T_{n} + T_{n-1}</math>
berechnen.

Die Summe der ersten Tetraederzahlen ergibt eine [[Pentatopzahl]], eine vierdimensionale [[Figurierte Zahl]].

== Einzelnachweise ==

<references/>

[[Kategorie:Figurierte Zahl]]

Pyramidenzahl - Versionsgeschichte

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