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[[Datei:Pyramidenstumpf.svg|mini|Schiefer Pyramidenstumpf]]
[[Datei:Pyramidenstumpfnetz.svg|mini|[[Netz (Geometrie)|Netz]] des Pyramidenstumpfes einer [[Regelmäßige Pyramide|regelmäßigen]] [[Pyramide (Geometrie)#Gerade quadratische Pyramide|quadratischen Pyramide]]. Das Netz besteht aus einer jeweils [[Quadratisch|quadratischen]] [[Grundfläche (Geometrie)|Grundfläche]] und Deckfläche sowie einer [[Mantelfläche]] aus vier [[Kongruenz (Geometrie)|kongruenten]] [[Gleichschenkliges Trapez|gleichschenkligen Trapezen]].]]
Ein '''Pyramidenstumpf''' ist ein Begriff aus der [[Geometrie]], der einen speziellen Typ von [[Polyeder]]n (Vielflächnern) beschreibt. Ein Pyramidenstumpf entsteht dadurch, dass man von einer [[Pyramide (Geometrie)|Pyramide]] (Ausgangspyramide) [[Parallel (Geometrie)|parallel]] zur [[Grundfläche (Geometrie)|Grundfläche]] an den [[Mantelfläche]]n eine kleinere, [[Ähnlichkeit (Geometrie)|ähnliche]] Pyramide (Ergänzungspyramide) abschneidet.

Die beiden parallelen [[Fläche (Mathematik)|Flächen]] eines Pyramidenstumpfes sind zueinander ähnlich. Die größere dieser beiden Flächen bezeichnet man als ''[[Grundfläche (Geometrie)|Grundfläche]]'', die kleinere als ''Deckfläche''. Den [[Abstand]] zwischen Grundfläche und Deckfläche nennt man die ''[[Höhe (Geometrie)|Höhe]]'' des Pyramidenstumpfes.

Das [[Volumen]] eines Pyramidenstumpfes kann mit Hilfe der folgenden Formel berechnet werden:

:<math>V = \frac{h}{3} \cdot \left(A_\text{1} + \sqrt{A_\text{1} \cdot A_\text{2}} + A_\text{2}\right)</math>
Dabei stehen ''<math>A_1</math>'' für den [[Flächeninhalt]] der [[Grundfläche (Geometrie)|Grundfläche]], ''<math>A_2</math>'' für den Flächeninhalt der Deckfläche und ''<math>h</math>'' für die [[Höhe (Geometrie)|Höhe]] des Pyramidenstumpfes.

Für die aus [[Trapez (Geometrie)|Trapezen]] zusammengesetzte [[Mantelfläche]] gibt es keine einfache Formel. Je schiefer – bei gleichbleibender Höhe – die Pyramide, bzw. der Pyramidenstumpf ist, desto größer ist die jeweils zugehörige Mantelfläche.

== Volumen ==

=== Herleitung mit Hilfe der zentrischen Streckung ===
Für die Berechnung des Volumens des Pyramidenstumpfes werden <math>h_1</math> als [[Höhe (Geometrie)|Höhe]] der Ausgangspyramide und <math>h_2</math> als Höhe der Ergänzungspyramide definiert, sodass <math>h_1 - h_2 = h</math> gilt. Aus der [[Zentrische Streckung|zentrischen Streckung]] folgt, dass
:<math>\frac{h_1}{h_2} = k</math> und daher auch <math>\frac{A_1}{A_2} = k^2</math>
Dabei ist <math>k</math> der Streckfaktor der zentrischen Streckung.

Das [[Volumen]] des Pyramidenstumpfes ergibt sich aus der Differenz zwischen dem Volumen der Ausgangspyramide und dem Volumen der Ergänzungspyramide:

:<math>V = V_1 - V_2 = \frac{A_1 \cdot h_1}{3} - \frac{A_2 \cdot h_2}{3}</math>.

Aus <math>\frac{h_1}{h_2} = k</math> und <math>\frac{A_1}{A_2} = k^2</math> folgt <math>\frac{h_1}{h_2} = \frac{\sqrt{A_1}}{\sqrt{A_2}}</math>.

Die Substitution <math>\lambda = \frac{h_1}{\sqrt{A_1}}</math> ergibt <math>h_1 = \lambda \cdot \sqrt{A_1}</math> und <math>h_2 = \lambda \cdot \sqrt{A_2}</math>.

Einsetzen in die Gleichung ergibt

:<math>V = \frac{A_1 \cdot \lambda \cdot \sqrt{A_1}}{3} - \frac{A_2 \cdot \lambda \cdot \sqrt{A_2}}{3} = \frac{\lambda \cdot ({A_1}^\frac{3}{2} - {A_2}^\frac{3}{2})}{3}</math>

Mit Hilfe der Formel <math> a^3 - b^3 = (a - b) \cdot (a^2 + a \cdot b + b^2)</math> angewendet auf <math>a = \sqrt{A_1}</math> und <math>b = \sqrt{A_2}</math> ist das Volumen

:<math>V = \frac{\lambda}{3} \cdot \left(\sqrt{A_1} - \sqrt{A_2} \right) \cdot \left(\sqrt{A_1}^2 + \sqrt{A_1} \cdot \sqrt{A_2} + \sqrt{A_2}^2\right) = \frac{\lambda}{3} \cdot \left(\sqrt{A_1} - \sqrt{A_2} \right) \cdot \left(A_1 + \sqrt{A_1 \cdot A_2} + A_2\right)</math>

Der Faktor <math>\lambda \cdot \left(\sqrt{A_1} - \sqrt{A_2} \right)</math> ist die Höhe <math>h</math>:

:<math>\lambda \cdot \left(\sqrt{A_1} - \sqrt{A_2} \right) = \lambda \cdot \sqrt{A_1} - \lambda \cdot \sqrt{A_2} = h_1 - h_2 = h</math>

Daraus ergibt sich

:<math>V = \frac{h}{3} \cdot \left(A_1 + \sqrt{A_1 \cdot A_2} + A_2\right)</math>

mit <math>\sqrt{A_1 \cdot A_2}</math> als [[Geometrisches Mittel|geometrischem Mittel]] der [[Flächeninhalt|Flächeninhalte]] von Grundfläche und Deckfläche.

=== Herleitung mit Hilfe der Integralrechnung ===
Die <math>y</math>-Achse sei so definiert, dass sie durch die Spitze der Ausgangspyramide und Ergänzungspyramide verläuft und [[Orthogonalität|orthogonal]] zur [[Grundfläche (Geometrie)|Grundfläche]] und zur Deckfläche ist. Dann ist die Höhe des Pyramidenstumpfes Teil der <math>y</math>-Achse. Bezeichnet man den [[Flächeninhalt]] der Schicht im [[Abstand]] <math>y</math> von der Spitze mit <math>A(y)</math>, dann ist <math>A</math> eine [[Reellwertige Funktion#Reelle Funktion|reelle Funktion]] mit der Variablen <math>y</math>. Aus den Eigenschaften der [[Zentrische Streckung|zentrischen Streckung]] kann man eine Formel für <math>A(y)</math> herleiten:

: <math>\frac{A(y)}{A_1} = \frac{y^2}{h_1^2}</math>
: <math>\frac{A(y)}{A_2} = \frac{y^2}{h_2^2}</math>
: <math>A(y) = \frac{A_1}{h_1^2} \cdot y^2 = \frac{A_2}{h_2^2} \cdot y^2</math>

Es gilt also <math>\frac{h_2^2}{h_1^2} = \frac{A_2}{A_1}</math> und <math>\frac{h_2}{h_1} = \frac{\sqrt{A_2}}{\sqrt{A_1}}</math>.

Daraus ergibt sich das [[Volumen]] des Pyramidenstumpfes als [[Integralrechnung|Integral]] der [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>A(y)</math> auf dem [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>[h_2,h_1]</math> nach dem [[Prinzip von Cavalieri]]:

: <math>\begin{align}
V &= \int_{h_2}^{h_1} A(y) \ \mathrm{d}y = \int_{h_2}^{h_1} \frac{A_1}{h_1^2} \cdot y^2 \ \mathrm{d}y = \frac{A_1}{h_1^2} \cdot \int_{h_2}^{h_1} y^2 \ \mathrm{d}y \\
&= \frac{A_1}{h_1^2} \cdot \left[\frac{1}{3} \cdot y^3\right]^{h_1}_{h_2} = \frac{A_1}{h_1^2} \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot h_1^3 - \frac{1}{3} \cdot h_2^3\right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{A_1}{h_1^2} \cdot (h_1^3 - h_2^3) = \frac{1}{3} \cdot \frac{A_1}{h_1^2} \cdot (h_1 - h_2) \cdot (h_1^2 + h_1 \cdot h_2 + h_2^2) \\
&= \frac{h}{3} \cdot \frac{A_1}{h_1^2} \cdot (h_1^2 + h_1 \cdot h_2 + h_2^2) = \frac{h}{3} \cdot \left(A_1 + A_1 \cdot \frac{h_2}{h_1} + A_1 \cdot \frac{h_2^2}{h_1^2}\right) = \frac{h}{3} \cdot \left(A_1 + \sqrt{A_1 \cdot A_2} + A_2\right)
\end{align}</math>

=== Grenzfälle ===
Nähern sich [[Grundfläche (Geometrie)|Grund-]] und Deckfläche einem [[Kreis]], erhält man einen [[Kegelstumpf]], für den dieselbe allgemeine Volumenformel gilt. Geht die [[Höhe (Geometrie)|Höhe]] der Ausgangspyramide dagegen gegen [[Unendlichkeit|unendlich]], nähert sich der [[Flächeninhalt]] der Deckfläche ''<math>A_2</math>'' dem der [[Grundfläche (Geometrie)|Grundfläche]] ''<math>A_1</math>'' und man erhält ein [[Prisma (Geometrie)|Prisma]], dessen Volumenformel sich damit wegen ''<math>A_1 = A_2</math>'' zu der Formel ''<math>V = h \cdot A_1</math>'' vereinfacht. Geht ''<math>A_2</math>'' schließlich gegen 0, erhält man ja nachdem, ob die Grundfläche ein n-Eck oder Kreis ist, eine komplette [[Pyramide (Geometrie)|Pyramide]] oder einen [[Kegel (Geometrie)|Kegel]] mit der allgemeinen Volumenformel ''<math>V = \textstyle\frac{h}{3} \cdot A_1</math>''.

== Regelmäßiger Pyramidenstumpf ==
Ein regelmäßiger Pyramidenstumpf hat jeweils ein [[regelmäßiges Vieleck]] als [[Grundfläche (Geometrie)|Grundfläche]] und als Deckfläche. Die [[Mantelfläche]] besteht aus [[Kongruenz (Geometrie)|kongruenten]] [[Gleichschenkliges Trapez|gleichschenkligen Trapezen]]. Der [[Mittelpunkt]] der Deckfläche liegt senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche.

=== Formeln ===
[[Datei:01 Pyramidenstumpf.png|miniatur|links|hochkant=1.8|[[Quadratisch]]er Pyramidenstumpf Größen ohne [[Raumwinkel]] <math>\Omega</math> in den Ecken]]
{{Absatz}}
{| class="wikitable"
! colspan="3" style="background:#C0C0FF" |Größen eines regelmäßigen Pyramidenstumpfs (regelmäßiges ''n''-Eck mit Seitenlänge ''a1'' als Grundfläche, regelmäßiges ''n''-Eck mit Seitenlänge ''a2'' als Deckfläche und Höhe ''h'')
|-
| class="hintergrundfarbe5" |
| class="hintergrundfarbe5" |'''Allgemeiner Fall'''
| class="hintergrundfarbe5" |'''Quadratischer Pyramidenstumpf'''
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Volumen]]'''
|<math>V = \frac{n \cdot (a_1^3 - a_2^3) \cdot h}{12 \cdot (a_1 - a_2)} \cdot \cot \left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{n \cdot (a_1^2 + a_1 \cdot a_2 + a_2^2) \cdot h}{12} \cdot \cot \left(\frac{\pi}{n}\right)</math>
|<math>V = \frac{(a_1^3 - a_2^3) \cdot h}{3 \cdot (a_1 - a_2)} = \frac{(a_1^2 + a_1 \cdot a_2 + a_2^2) \cdot h}{3}</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]]'''
|<math>A = \frac{n}{4} \cdot \left((a_1^2 + a_2^2) \cdot \cot \left(\frac{\pi}{n}\right) + (a_1 + a_2) \cdot \sqrt{4 \cdot h^2 + (a_1 - a_2)^2 \cdot \cot^2 \left(\frac{\pi}{n}\right)}\right)</math>
|<math>A = a_1^2 + a_2^2 + (a_1 + a_2) \cdot \sqrt{4 \cdot h^2 + (a_1 - a_2)^2}</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Flächeninhalt]] der [[Grundfläche (Geometrie)|Grundfläche]]'''
|<math>A_1 = \frac{n \cdot a_1^2}{4} \cdot \cot \left(\frac{\pi}{n}\right)</math>
|<math>A_1 = a_1^2</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''Flächeninhalt der Deckfläche'''
|<math>A_2 = \frac{n \cdot a_2^2}{4} \cdot \cot \left(\frac{\pi}{n}\right)</math>
|<math>A_2 = a_2^2</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''Flächeninhalt der [[Mantelfläche]]'''
|<math>M = \frac{n \cdot (a_1 + a_2)}{4} \cdot \sqrt{4 \cdot h^2 + (a_1 - a_2)^2 \cdot \cot^2 \left(\frac{\pi}{n}\right)}</math>
|<math>M = (a_1 + a_2) \cdot \sqrt{4 \cdot h^2 + (a_1 - a_2)^2}</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''Steilkantenlänge'''
|<math>l = \left(h^2 + \frac{(a_1 - a_2)^2}{4 \cdot \sin^2 \left(\frac{\pi}{n}\right)}\right)^\frac{1}{2}</math>
|<math>l = \sqrt{h^2 + \frac{(a_1 - a_2)^2}{2}}</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Umkugel|Umkugelradius]]'''
|<math>r_u = \frac{1}{2 \cdot h} \cdot \left(h^4 + \frac{h^2 \cdot (a_1^2 + a_2^2)}{2 \cdot \sin^2 \left(\frac{\pi}{n}\right)} + \frac{\left(a_1^2 - a_2^2\right)^2}{16 \cdot \sin^4 \left(\frac{\pi}{n}\right)}\right)^\frac{1}{2}</math>
|<math>r_u = \frac{1}{2 \cdot h} \cdot \left(h^4 + h^2 \cdot (a_1^2 + a_2^2) + \frac{\left(a_1^2 - a_2^2\right)^2}{4}\right)^\frac{1}{2}</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Innenwinkel]] der [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßigen]] Grundfläche'''
|<math>\alpha = \frac{n - 2}{n} \cdot 180^\circ</math>
|<math>\alpha = 90^\circ</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''Basiswinkel der [[Gleichschenkliges Trapez|gleichschenkligen Trapeze]]'''
|<math> \alpha_1 = \alpha_2 = \arctan \left(\frac{1}{a_1 - a_2} \cdot \sqrt{4 \cdot h^2 + (a_1 - a_2)^2 \cdot \cot^2 \left(\frac{\pi}{n}\right)}\right)</math>
|<math> \alpha_1 = \alpha_2 = \arctan \left(\frac{1}{a_1 - a_2} \cdot \sqrt{4 \cdot h^2 + (a_1 - a_2)^2}\right)</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Winkel]] zwischen Grundfläche und gleichschenkligen Trapezen'''
|<math> \beta_1 = \arctan \left(\frac{2 \cdot h \cdot \tan \left(\frac{\pi}{n}\right)}{a_1 - a_2} \right)</math>
|<math> \beta_1 = \arctan \left(\frac{2 \cdot h}{a_1 - a_2} \right)</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Diederwinkel]] zwischen den gleichschenkligen Trapezen'''
|<math> \beta_2 = 2 \cdot \arctan \left(\frac{1}{2 \cdot h} \cdot \left(\frac{4 \cdot h^2 \cdot \sin^2 \left(\frac{\pi}{n}\right) + (a_1 - a_2)^2}{\tan^2 \left(\frac{\pi}{n}\right) - \sin^2 \left(\frac{\pi}{n}\right)}\right)^\frac{1}{2}\right)</math>
|<math> \beta_2 = 2 \cdot \arctan \left(\frac{1}{2 \cdot h} \cdot \sqrt{4 \cdot h^2 + 2 \cdot (a_1 - a_2)^2}\right)</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Winkel]] zwischen Kante und Grundfläche'''
|<math> \gamma = \arctan \left(\frac{2 \cdot h \cdot \sin \left(\frac{\pi}{n}\right)}{a_1 - a_2} \right)</math>
|<math> \gamma = \arctan \left(\frac{2 \cdot h}{\sqrt{2}\cdot\left(a_1 - a_2 \right)}\right)</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Raumwinkel]] in den Ecken der Grundfläche'''
| colspan="2" |<math>\Omega_1 = 4 \cdot \arctan\left(\sqrt{\tan\left(\frac{2 \cdot \alpha_1 + \alpha}{4}\right) \cdot \tan\left(\frac{2 \cdot \alpha_1 - \alpha}{4}\right) \cdot \tan^2\left( \frac{\alpha}{4}\right)}\right)</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Raumwinkel]] in den Ecken der Deckfläche'''
| colspan="2" |<math>\Omega_2 = 4 \cdot \arctan\left(\sqrt{\tan\left(\frac{2 \cdot (\pi - \alpha_1) + \alpha}{4}\right) \cdot \tan\left(\frac{2 \cdot (\pi - \alpha_1) - \alpha}{4}\right) \cdot \tan^2\left( \frac{\alpha}{4}\right)}\right)</math>
|}

== Siehe auch ==
* [[Kegelstumpf]]
* [[Doppelpyramide]]

== Literatur ==
* {{Literatur
| Autor= [[Rolf Baumann (Autor)|Rolf Baumann]]
| Titel= Geometrie für die 9./10. Klasse
| TitelErg= Zentrische Streckung, Satz des Pythagoras, Kreis- und Körperberechnungen
| Auflage= 4.
| Verlag= Mentor-Verlag
| Ort= München
| Jahr= 2003
| Seiten= 95 ff
| ISBN= 3-580-63635-9
}}

== Weblinks ==
{{Commonscat|Frustums of pyramids|Pyramidenstumpf}}
{{Wiktionary}}
* {{MathWorld|id = PyramidalFrustum|title = Pyramidal Frustum}}
* [https://rechneronline.de/pi/pyramidenstumpf.php Pyramidenstumpf-Rechner] (Web Application zum Berechnen)
* [https://www.handwerk-technik.de/_files_media/probeseiten/5615_01.pdf Pyramidenstumpf] (Beispielaufgaben)

[[Kategorie:Polyeder]]

Pyramidenstumpf - Versionsgeschichte

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