imported>Crazy1880: Vorlagen nicht mit "Vorlage:" einbinden

2024-08-17T07:40:01Z

Vorlagen nicht mit "Vorlage:" einbinden

Neue Seite

Das '''Pushout''' (auch ''Kofaserprodukt'', ''kokartesisches Quadrat'', ''Fasersumme'', ''amalgamierte Summe'') ist ein Begriff aus dem [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet der [[Kategorientheorie]]. Es handelt sich um die zum [[Faserprodukt|Pullback]] duale Konstruktion.

== Pushout von Moduln ==
[[Datei:PushOut.png|250px|rechts]]
Es seien <math>\alpha_1:X\rightarrow X_1</math> und <math>\alpha_2:X\rightarrow X_2</math> zwei [[Homomorphismus|Homomorphismen]] zwischen [[Modul (Mathematik)|Moduln]] über einem [[Ring (Algebra)|Ring]] <math>R</math>.
Setzt man <math>Q:=\{(\alpha_1(x),\alpha_2(x)):\,x\in X\}\subset X_1\oplus X_2</math>,
so ist das Pushout von <math>\alpha_1</math> und <math>\alpha_2</math> definiert als
:<math>P:=(X_1\oplus X_2)/Q</math> mit den Homomorphismen
:<math>\varphi_1:X_1\rightarrow P,\, \varphi_1(x_1):=(x_1,0)+Q</math> und
:<math>\varphi_2:X_2\rightarrow P,\, \varphi_2(x_2):=(0,-x_2)+Q</math>
Man kann zeigen, dass <math>\varphi_1\circ \alpha_1 = \varphi_2\circ \alpha_2</math>
und dass <math>P,\varphi_1,\varphi_2</math> die folgende [[universelle Eigenschaft]] hat:

Ist <math>Y</math> irgendein <math>R</math>-Modul mit Homomorphismen <math>\psi_1:X_1\rightarrow Y</math> und <math>\psi_2:X_2\rightarrow Y</math>, so dass <math>\psi_1\circ \alpha_1 = \psi_2\circ \alpha_2</math>, so gibt es genau einen Homomorphismus <math>\rho: P \rightarrow Y</math> mit <math>\psi_1 = \rho \circ \varphi_1</math> und <math>\psi_2 = \rho \circ \varphi_2</math>.<ref>Louis D. Tarmin: ''Lineare Algebra, Moduln 2'', Buch X Verlag (April 2008), ISBN 3-934671-51-9, Satz 4.158.3</ref>

== Pushout in Kategorien ==
Durch obiges Beispiel motiviert, definiert man das Pushout in beliebigen Kategorien wie folgt.<ref>Peter Hilton: ''Lectures in Homological Algebra'', American Mathematical Society (2005), ISBN 0-8218-3872-5, Definition 4.1</ref>

Es seien <math>\alpha_1:X\rightarrow X_1</math> und <math>\alpha_2:X\rightarrow X_2</math> zwei [[Homomorphismus|Morphismen]] einer Kategorie. Ein Paar <math>(\varphi_1,\varphi_2)</math> von Morphismen <math>\varphi_i:X_i \rightarrow P</math> dieser Kategorie heißt Pushout von <math>(\alpha_1,\alpha_2)</math>, falls gilt:
* <math>\varphi_1\circ \alpha_1 = \varphi_2\circ \alpha_2</math>
* Ist <math>(\psi_1,\psi_2)</math> ein Paar von Morphismen <math>\psi_i:X_i\rightarrow Y</math> mit <math>\psi_1\circ \alpha_1 = \psi_2\circ \alpha_2</math>, so gibt es genau einen Morphismus <math>\rho:P\rightarrow Y</math> mit <math>\psi_1 = \rho \circ \varphi_1</math> und <math>\psi_2 = \rho \circ \varphi_2</math>.

Manchmal nennt man nur das Objekt <math>P</math> ein Pushout und meint damit, dass es Morphismen <math>\varphi_i:X_i \rightarrow P</math> gibt, die obiger Definition genügen. Auch das Diagramm

<div class="center"><math>
\begin{array}{ccc}
X & \xrightarrow{\alpha_1} & X_1 \\
\downarrow_{\alpha_2} & & \downarrow_{\varphi_1}\\
X_2 & \xrightarrow{\varphi_2} & P
\end{array}
</math></div>

wird bisweilen als Pushout bezeichnet. Es gibt die zum Pullback analoge Schreibweise <math>P = X_1 \sqcup_X X_2</math>.

== Beispiele ==
* Jedes Pullback in einer Kategorie <math>\mathcal{K}</math> ist ein Pushout in der [[Duale Kategorie|dualen Kategorie]] <math>\mathcal{K}^{op}</math>, denn offenbar ist das Pushout genau das zum Pullback duale Konzept.
* In einer [[Abelsche Kategorie|abelschen Kategorie]] ist das Pushout zu
<div class="center"><math>
\begin{array}{ccc}
X & \xrightarrow{\alpha_1} & X_1 \\
\downarrow_{0} & &\\
0 & &
\end{array}
</math></div>
:gleich dem [[Kokern]] von <math>\alpha_1</math>.
* Ist mit obigen Bezeichnungen <math>X</math> das [[Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt|Nullobjekt]] einer [[Additive Kategorie|additiven Kategorie]], so ist das Pushout gleich der [[Direkte Summe|direkten Summe]] <math>X_1\oplus X_2</math>.
* Das einleitende Beispiel zeigt, dass es in der Kategorie der <math>R</math>-Moduln stets Pushouts gibt.
* In der Kategorie der Gruppen existiert stets ein Pushout. Mit obigen Bezeichnungen ist dieses gleich dem [[Freies Produkt|freien Produkt]] <math>X_1*X_2</math> [[Faktorgruppe|modulo]] dem von <math>\{\alpha_1(x)\alpha_2(x)^{-1} : \, x\in X\}</math> erzeugten [[Normalteiler]] <math>N</math> mit den natürlichen Abbildungen <math>\varphi_i:X_i\rightarrow X_1*X_2 \rightarrow X_1*X_2/N</math><ref>Joseph J. Rotman: ''An Introduction to the Theory of Groups''. Springer, Graduate Texts in Mathematics, 1995, ISBN 0-387-94285-8, Theorem 11.58</ref> Diese Konstruktion tritt beim [[Satz von Seifert-van Kampen]] auf.
* In der Kategorie der kommutativen Ringe mit Einselement ist das Pushout mit obigen Bezeichnungen gleich dem [[Tensorprodukt]] <math>X_1\otimes_X X_2</math> versehen mit der Eins <math>1 \otimes 1</math> und der durch <math>(a \otimes b) \cdot (c \otimes d) := (a \cdot c) \otimes (b \cdot d)</math> bestimmten Multiplikation.
* In der Kategorie der Mengen ist das Pushout <math>(X_1 \sqcup X_2)/{\sim}</math>, wobei <math>\sim</math> die von <math>\{(\alpha_1(x),\alpha_2(x)) : x \in X\}</math> [[Äquivalenzrelation#Erzeugung von Äquivalenzrelationen|erzeugte Äquivalenzrelation]] auf der [[Disjunkte Vereinigung|disjunkten Vereinigung]] <math>X:=X_1 \sqcup X_2</math> ist.
* Ähnlich lassen sich Pushouts von topologischen Räumen beschreiben. Diese spielen bei Verklebekonstruktionen eine Rolle.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Kategorientheorie}}

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Pushout - Versionsgeschichte

imported>Crazy1880: Vorlagen nicht mit "Vorlage:" einbinden