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2025-07-01T22:02:55Z

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{{Dieser Artikel|behandelt den Pushforward einer differenzierbaren Abbildung als Abbildung zwischen Tangentialräumen. Für den Pushforward eines Faserbündels in der Kohomologie siehe [[Gysin-Sequenz]].}}

Als '''Pushforward''' wird eine Abbildung zwischen [[Tangentialraum|Tangentialräumen]] [[differenzierbare Mannigfaltigkeit|glatter Mannigfaltigkeiten]] bezeichnet, die die im euklidischen Raum definierte [[Richtungsableitung]] verallgemeinert.

Das duale Konzept heißt meist [[Rücktransport]] (''Pullback'').

==Definition==
Sind <math>M</math> und <math>N</math> [[differenzierbare Mannigfaltigkeit|glatte Mannigfaltigkeiten]] und ist <math>F \colon M\rightarrow N</math> eine [[glatte Abbildung]], so definiert man den '''Pushforward'''

::<math>F_\ast\colon T_pM\rightarrow T_{F(p)}N</math>
von <math>F</math> am Punkt <math>p \in M</math> durch

::<math>(F_*v)(f)=v(f\circ F)</math>

für <math>v \in T_p M</math> und jede glatte Funktion
<math>f\in\mathcal{C}^{\infty}(N)</math> auf der Mannigfaltigkeit <math>N</math>. Hierbei werden Tangentialvektoren als Richtungsableitungen ([[Derivation (Mathematik)|Derivation]]en) aufgefasst, vgl. [[Tangentialraum]].

Auf diese Weise wird eine Abbildung <math>F_\ast \colon TM \to TN</math> definiert.

=== Bezeichnungen und Schreibweisen ===

Andere Bezeichnungen für den Pushforward sind ''Ableitung'', ''Differential'' und ''Tangentialabbildung'' von <math>F</math>.
Andere Schreibweisen sind <math>F\,'(p)v</math>, <math>DF_p(v)</math>, <math>D_pF(v)</math>, <math>dF_p(v)</math>, <math>d_pF(v)</math> und <math>T_p F(v)</math>.
Oft werden die Klammern um das Argument <math>v</math> auch weggelassen.

==Bedeutung für Tangentialvektoren von Kurven==

Ist <math>v = \dot c(t) \in T_pM</math> der Tangentialvektor einer differenzierbaren Kurve <math>c \colon I \to M</math> (hierbei ist <math>I</math> ein Intervall in <math>\R</math>) im Punkt <math>p = c(t)</math>, so ist <math>F_* v\,</math> der Tangentialvektor der Bildkurve <math>\tilde c = F \circ c \colon I \to N</math> im Bildpunkt <math>F(p) = \tilde c(t)</math>, also
::<math>F_* v = \dot{\tilde c}(t) = (F \circ c)^\cdot (t)</math>.

==Darstellung in Koordinaten==

Sind <math>(x_1,\dots,x_m)</math> lokale Koordinaten auf <math>M</math> um <math>p</math> und <math>(y_1,\dots,y_n)</math> lokale Koordinaten auf <math>N</math> um den Bildpunkt <math>F(p)</math>, so haben die Vektoren <math>v \in T_pM</math> und <math>w = F_* v \in T_{F(p)}N</math> die Darstellungen
::<math>v= \sum_j v^j \, \frac{\partial}{\partial x^j}</math> bzw. <math>w= \sum_i w^i \, \frac{\partial}{\partial y^i}</math>.

Wird weiter die Abbildung <math>F\colon M \to N</math> durch die Funktionen
<math>f^1(x_1,\dots,x_m),\dots,f^n(x_1,\dots,x_m)</math> dargestellt, so gilt
::<math>w^i = \sum_j \frac{\partial f^i}{\partial x^j}\, v^j</math>.

==Pushforward im euklidischen Raum==

Liegt der Spezialfall <math>F \colon \mathbb{R}^m\rightarrow \mathbb{R}^n</math> vor, so stellt <math>F_*\,</math> nichts anderes als die [[totale Ableitung]] <math>DF(p)\colon\mathbb{R}^m\rightarrow\mathbb{R}^n</math> dar, wobei der [[Euklidischer Raum|euklidische Raum]] in natürlicher Weise mit seinem [[Tangentialraum]] identifiziert wird (die Unterscheidung zwischen Richtungsableitung und totaler Ableitung spielt hier keine Rolle, da die Funktion bereits als hinreichend glatt vorausgesetzt ist).

Oft wird der Tangentialraum <math>T_p \R^m</math> des euklidischen Raums <math>\R^m</math> im Punkt <math>p \in \R^m</math> mit <math>\{p\} \times \R^m</math> identifiziert, das Tangentialbündel <math>T\R^m</math> also mit <math>\R^m \times \R^m</math>. In diesem Fall ist der Pushforward die Abbildung <math>F_\ast \colon (p,v) \mapsto (F(p), DF(p)(v))</math>.

==Eigenschaften==
Für den Pushforward einer Verkettung <math>G \circ F \colon M \to P</math> zweier Abbildungen <math>F\colon M \to N</math> und <math>G \colon N \to P</math> gilt die [[Mehrdimensionale Kettenregel|Kettenregel]]:
:<math>(G \circ F)_\ast = G_ \ast \circ F_\ast</math>
bzw. punktweise
:<math>(G \circ F)_{\ast p} = G_ {\ast F(p)} \circ F_{\ast p}.</math>

== Literatur ==
* John M. Lee: ''Introduction to Smooth Manifolds'' (= ''Graduate Texts in Mathematics'' 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1.

[[Kategorie:Differentialtopologie]]

Pushforward - Versionsgeschichte

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