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[[Datei:PuSyFiguren.svg|mini|hochkant=1.2|Punktsymmetrische Objekte in der Ebene]]

Die '''Punktsymmetrie,''' auch '''Inversionssymmetrie'''<ref>{{Literatur |Autor=Arthur Schoenflies |Titel=Krystallsysteme und Krystallstructur |Verlag=Teubner |Ort=Leipzig |Datum=1891 |Umfang=XII, 638 S. |Online=[https://archive.org/details/krystallsysteme00schogoog/page/n44 Online-Ressourcen]}}</ref><ref>{{Internetquelle |url=https://www.spektrum.de/lexikon/physik/inversionssymmetrie/7414 |titel=Spektrum.de: Inversionssymmetrie |abruf=2020-03-05}}</ref> oder '''Zentralsymmetrie'''<ref name="meyers">''Meyers großes Taschenlexikon in 24 Bänden.'' BI-Taschenbuchverlag, 1992, Band 21, S. 258.</ref>, ist in der [[Geometrie]] eine Eigenschaft einer [[Geometrische Figur|Figur]]. Eine Figur ist '''punktsymmetrisch,''' wenn sie durch die [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelung]] an einem '''Symmetriepunkt''' auf sich selbst abgebildet wird.

== Definition ==
Eine (ebene) [[geometrische Figur]] (zum Beispiel ein Viereck) heißt ''punktsymmetrisch,'' wenn es eine [[Spiegelung (Geometrie)|Punktspiegelung]] gibt, die diese Figur auf sich abbildet. Der Punkt, an dem diese Spiegelung erfolgt, wird als ''Symmetriezentrum'' bezeichnet.<ref>{{Literatur |Autor = Arnfried Kemnitz |Titel = Mathematik zum Studienbeginn |Datum = 2011 |Verlag = Vieweg+Teubner |Ort = Wiesbaden |ISBN = 978-3-8348-8258-5 |Seiten = 144}}</ref>

== Punktspiegelung als Drehung (und Spiegelung) ==
In der [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] (zweidimensionaler [[euklidischer Raum]]) entspricht die Punktspiegelung einer Drehung der geometrischen Figur um 180° um den Symmetriepunkt. Hier ist die Punktsymmetrie ein Spezialfall der [[Drehsymmetrie]].
Im dreidimensionalen euklidischen Raum entspricht die Punktspiegelung einer Drehung der geometrischen Figur um 180° um den Symmetriepunkt und anschließender Spiegelung an der zur Drehachse senkrechten Ebene durch den Symmetriepunkt.

Allgemeiner gilt:

Im 2N-dimensionalen Raum entspricht die Punktspiegelung N Drehungen um jeweils 180°. Die Drehachsen stehen paarweise senkrecht aufeinander und schneiden sich im Symmetriepunkt.

Im 2N+1-dimensionalen Raum entspricht die Punktspiegelung N Drehungen um jeweils 180° und anschließender Spiegelung. Die Drehachsen stehen paarweise senkrecht aufeinander und schneiden sich im Symmetriepunkt. Der Symmetriepunkt liegt ebenfalls auf der Spiegelebene und alle Drehachsen stehen senkrecht auf der Spiegelebene.

== Beispiele ==
* Bei einem [[Viereck]] liegt Punktsymmetrie (in sich) genau dann vor, wenn es sich um ein [[Parallelogramm]] handelt. Das Symmetriezentrum ist dann der Schnittpunkt der Diagonalen. Als Spezialfälle des Parallelogramms sind [[Rechteck]], [[Raute]] und [[Quadrat (Geometrie)|Quadrat]] punktsymmetrisch.
* Jeder Kreis ist (in sich) punktsymmetrisch bezüglich seines Mittelpunkts.
* Zwei Kreise mit gleichem Radius sind zueinander punktsymmetrisch. Das Symmetriezentrum ist der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke der beiden Kreismittelpunkte.
* Mehrere Symmetriezentren kann es nur geben, wenn die Figur nicht [[beschränkt]] ist. Das einfachste Beispiel ist die Gerade. Sie hat sogar unendlich viele Symmetriezentren.
* Ein [[Dreieck]] ist niemals punktsymmetrisch. Es können aber zwei Dreiecke zueinander punktsymmetrisch sein.
* Ein [[regelmäßiges Polygon]] mit einer geraden Anzahl von Ecken ist punktsymmetrisch.

== Punktsymmetrie von Funktionsgraphen ==
=== Überblick ===
[[Datei:PuSyFktGraph.svg|mini|Punktsymmetrischer Funktionsgraph]]

Eine in der Schulmathematik häufige Aufgabenstellung besteht darin nachzuweisen, dass der [[Funktionsgraph|Graph]] einer gegebenen [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>f\colon D\to\R</math> mit dem [[Definitionsbereich]] <math>D\subset\R</math> und mit reellen Funktionswerten punktsymmetrisch ist.

Existiert ein Punkt <math>(a,b),</math> sodass für die Funktion <math>f</math> die Gleichung
:<math>f(a+x)-b=-f(a-x)+b</math>
für alle <math>x\in D</math> gilt, dann ist die Funktion '''punktsymmetrisch''' bezüglich des Punktes <math>(a,b).</math> Diese Bedingung ist gleichwertig zu
:<math>f(x)=2b-f(2a-x)</math>,
wie die Substitution <math>x\to x-a</math> zeigt. Im Spezialfall von Punktsymmetrie in Bezug auf den Ursprung <math>(0,0)</math> vereinfacht sich diese Bedingung zu

:<math>f(-x)=-f(x).</math>

Ist sie für alle <math>x</math> gültig, liegt Punktsymmetrie bezüglich des Koordinatenursprungs vor. Dann nennt man die Funktion <math>f</math> [[Gerade und ungerade Funktionen|ungerade Funktion]].

=== Beispiele ===
==== Punktsymmetrie in Bezug auf den Koordinatenursprung ====
[[Datei:Graph2xE5.svg|mini|Kurve von f(x) = 2x<sup>5</sup>]]

Gegeben sei die Funktion <math>f(x) = 2 x^5.</math> Dann gilt
:<math>f(-x)=2(-x)^5=2(-1)^5x^5=2(-1)x^5=-2x^5=-f(x)</math>.

Also ist der Funktionsgraph punktsymmetrisch mit Symmetriezentrum im Ursprung (0,0).

==== Punktsymmetrie bezüglich des Punktes (0,2) ====
[[Datei:Graph2xE5 plus 2.svg|mini|Kurve von f(x) = 2x<sup>5</sup> + 2]]

Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=2x^5+2.</math> Mit <math>a=0</math> und <math>b=2</math> erhält man

:<math>2b-f(2a-x)=4-f(-x)=4-(2(-x)^5+2)=</math>
:<math>=4-(-2x^5+2)=4+2x^5-2=2x^5+2=f(x)</math>.

Folglich ist der Funktionsgraph punktsymmetrisch in Bezug auf den Punkt <math>(0,2)</math> und es gilt
:<math>-f(x)+2=f(-x)-2.</math>
Um den Symmetriepunkt <math>(0,2)</math> zu bestimmen, hilft dieses Verfahren nicht. Meist reicht es jedoch, den Funktionsgraphen zu zeichnen und daraus eine Vermutung bezüglich des Symmetriepunktes abzuleiten.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Euklidische Geometrie]]

Punktsymmetrie - Versionsgeschichte

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