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2025-10-23T19:57:18Z

Umrechnung

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Die '''Punktsteigungsform''' oder '''Punkt-Steigungs-Form''' ist in der [[Mathematik]] eine spezielle Form einer [[Geradengleichung]]. In der Punktsteigungsform wird eine nicht senkrechte [[Gerade]] in der [[Euklidische Ebene|euklidischen Ebene]] mit Hilfe eines [[Punkt (Geometrie)|Punkts]] der Gerade und der [[Steigung]] der Gerade dargestellt.

== Darstellung ==
[[Datei:Line equation qtl10.svg|miniatur|Punktsteigungsform einer Geradengleichung]]

In der Punktsteigungsform wird eine Gerade in der Ebene, die durch den Punkt <math>(x_1, y_1)</math> verläuft und die Steigung <math>m</math> aufweist, als die Menge derjenigen Punkte <math>(x,y)</math> beschrieben, deren Koordinaten die [[Gleichung]]

:<math>y - y_1 = m \cdot (x - x_1)</math>

erfüllen. Wird die Geradengleichung nach <math>y</math> aufgelöst, erhält man die explizite Darstellung

:<math>y = m \cdot (x - x_1) + y_1</math>.

Die Gerade ist dann der [[Funktionsgraph|Graph]] einer [[Lineare Funktion|linearen Funktion]] <math>f</math> mit der Funktionsgleichung

:<math>f(x) = m \cdot (x - x_1) + y_1</math>.

== Beispiel ==
Im Bild nebenstehend ist beispielsweise der gegebene Geradenpunkt <math>(2,2)</math> und die Steigung <math>m=-1/2</math>, und man erhält als Geradengleichung

:<math>y - 2 = -\frac{1}{2} \cdot (x - 2)</math>

beziehungsweise

:<math>y = -\frac{1}{2} \cdot (x - 2) + 2</math>.

== Herleitung ==
Geht man von der [[Geradengleichung#Normalform oder Hauptform|Normalform]] einer Geraden

:<math>y = m \cdot x + n</math>

aus, dann gilt insbesondere, da der Punkt <math>(x_1,y_1)</math> auf der Geraden liegt,

:<math>y_1 = m \cdot x_1 + n</math>.

Wird diese Gleichung nach <math>n</math> aufgelöst und in die Normalform eingesetzt, folgt daraus

:<math>y = m \cdot x + ( y_1 - m \cdot x_1 )</math>.

Durch Ausklammern von <math>m</math> erhält man dann die Punktsteigungsform

:<math>y = m \cdot (x - x_1) + y_1</math>.

== Umrechnung ==
=== In die Zweipunkteform ===
Wird <math>m</math> mit Hilfe des [[Steigungsdreieck]]s durch den Punkt <math>(x_1,y_1)</math> und einen weiteren Geradenpunkt <math>(x_2,y_2)</math> mittels

:<math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math>

berechnet, erhält man die [[Zweipunkteform]] einer Geradengleichung.

=== In die Achsenabschnittsform ===

Setzt man bei
:<math>y - y_1 = m \cdot (x - x_1)</math>
für x den Wert 0 ein, so bekommt man den y-Achsenabschnitt <math>y_0</math>:
:<math>y_0 - y_1 = m \cdot (0 - x_1)</math>
:<math>y_0 = y_1 - x_1 \cdot m</math>
Setzt man bei
:<math>y - y_1 = m \cdot (x - x_1)</math>
für y den Wert 0 ein, so bekommt man den x-Achsenabschnitt <math>x_0</math>:
:<math>0 - y_1 = m \cdot (x_0 - x_1)</math>
:<math>x_0 = x_1 - \frac{y_1}{m}</math>
Daraus ergibt sich für die Achsenabschnittsform
:<math>\frac{x}{x_0} + \frac{y}{y_0} = 1</math>.
die Darstellung
:<math>\frac{x}{ x_1 - \tfrac{y_1}{m}} + \frac{y}{y_1 - x_1 \cdot m} = 1</math>.

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=Frank Paech|Titel=Mathematik – anschaulich und unterhaltsam|Verlag=Carl Hanser Verlag|Jahr=2012|ISBN=978-3-446-42874-4}}
* {{Literatur|Autor=Karl-Heinz Pfeffer|Titel=Analysis für Technische Oberschulen|Verlag=Springer|Jahr=2010|ISBN=978-3-834-89646-9}}

[[Kategorie:Analytische Geometrie]]

Punktsteigungsform - Versionsgeschichte

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