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2024-11-30T15:50:42Z

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Als '''Punktschätzer''' bezeichnet man in der [[mathematische Statistik|mathematischen Statistik]] eine [[Schätzfunktion]], die jeder Stichprobe einen Wert zuordnet, der eine gewisse Eigenschaft des zugrundeliegenden [[Wahrscheinlichkeitsmaß]]es schätzen soll. In den meisten Anwendungen ist die interessierende Größe ein [[Parameter (Statistik)|Parameter]] der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Beobachtungen (wie z. B. der Mittelwert <math>\mu</math> einer [[Normalverteilung]] <math>\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)</math>)

Punktschätzer sind neben [[Bereichsschätzer]]n zentrales Untersuchungsobjekt der [[Schätztheorie]] und im allgemeineren Sinne eine [[Entscheidungsfunktion]], die vorliegenden Beobachtungen einen Schätzwert der interessierenden Größe zuordnet.
Ein Punkt''schätzer'' ist eine Funktion der zufälligen Beobachtungen, eine Punkt''schätzung'' der errechnete Wert des Punktschätzers für vorliegende Beobachtungen.

Bei der Betrachtung von Punktschätzern ist auch die Betrachtung der dazugehörigen [[Konfidenzintervall]]e wichtig.

== Definition ==
Gegeben sei ein [[statistisches Modell]] <math> (X, \mathcal A, \mathcal P) </math> sowie ein [[Entscheidungsraum]] <math> (E, \mathcal E) </math>. Für jedes <math> e \in E </math> ist also auch <math> \{e\} </math> in der [[σ-Algebra]] <math> \mathcal E </math> enthalten. Dann heißt eine [[messbare Funktion]]
:<math>T \colon (X, \mathcal A) \to (E, \mathcal E) </math>

ein Punktschätzer. Für alle <math> M \in \mathcal E </math> ist also immer <math> T^{-1}(M) \in \mathcal A </math>.

Meist wird als Entscheidungsraum <math> (E, \mathcal E)= (\R, \mathcal B )</math> gewählt.

== Beispiel ==
Gegeben sei ein Binomialmodell, also ein statistisches Modell mit <math> X= \{0, 1, \dots, n \} </math> und <math> \mathcal A = \mathcal P(X) </math> sowie als Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen die [[Binomialverteilung]]en <math> \operatorname{Bin}_{n, \vartheta} </math> für <math> \vartheta \in [0,1] </math>.

Dieses Modell formalisiert beispielsweise, wie oft nach n-maligem Münzwurf „Kopf“ geworfen wurde. Offensichtliche Fragestellung ist nun, aufgrund der vorliegenden Daten die Wahrscheinlichkeit zu schätzen, mit der die Münze „Kopf“ zeigt. Passender Entscheidungsraum ist die Grundmenge <math> [0,1] </math>, da die Wahrscheinlichkeit in diesem Intervall liegen muss, versehen mit der [[Borelsche σ-Algebra|Borelschen σ-Algebra]] <math> \mathcal B ([0,1]) </math>, die alle Punktmengen enthält.

Ein möglicher Punktschätzer wäre dann beispielsweise
:<math> M: (X, \mathcal A) \to ([0,1] , \mathcal B ([0,1])) </math>

definiert durch
:<math> M(x)= \frac xn </math>.

Wie gut und sinnvoll solche Punktschätzer sind, muss jedoch noch getrennt untersucht werden. Denn ebenso wäre
:<math> M^*(x)= \frac 12 </math>

ein möglicher Punktschätzer. Er liefert aber unabhängig von der Anzahl der Würfe, die „Kopf“ zeigen, dass die Münze fair ist, was augenscheinlich unsinnig ist (da nicht garantiert ist, dass die Münze fair ist).

Um die Unsicherheit des Punktschätzers <math> M(x)= \frac xn </math> anzugeben, kann man sich des [[Konfidenzintervall für die Erfolgswahrscheinlichkeit der Binomialverteilung|Konfidenzintervalls für die Erfolgswahrscheinlichkeit der Binomialverteilung]] bedienen.

== Verwendung und Konstruktion ==
Punktschätzer werden insbesondere benutzt für die Schätzung von:
* [[Erwartungswert]]en
* [[Varianz (Stochastik)|Varianzen]]
* [[Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichungen]]

Klassische und bewährte Methoden zur Konstruktion von Punktschätzern sind
* die [[Maximum-Likelihood-Methode]],
* die [[Methode der kleinsten Quadrate]] oder
* die [[Momentenmethode]].
{{Hauptartikel|Schätzmethode (Statistik)}}

== Qualitätskriterien für Punktschätzer ==
Für Punktschätzer existieren verschiedene Qualitätskriterien. Die vier gängigsten sind die Suffizienz, Effizienz, Erwartungstreue und Konsistenz.

* [[Suffiziente Statistik|Suffizienz]] garantiert, dass der Punktschätzer die gesamte für die Schätzung relevante Dateninformation nutzt.
* [[Erwartungstreue]] (Unverzerrtheit, Unverfälschtheit): Ein Punktschätzer ist erwartungstreu, wenn er im Mittel den tatsächlichen Wert der interessierenden Größe korrekt angibt. In diesem Sinne besitzt die Schätzung keinen systematischen Fehler.
* [[Konsistente Schätzfolge|Konsistenz]]: Konsistenz bedeutet anschaulich, dass sich für eine wachsende Zahl von Beobachtungen die Punktschätzung tendenziell dem tatsächlichen Wert der interessierenden Größe annähert.
* [[Effizienz (Statistik)|Effizienz]]: Effizient ist ein Punktschätzer, wenn seine Streuung im Vergleich zu anderen Punktschätzern minimal ist. In diesem Sinne besitzt ein effizienter Schätzer keine unnötige Streuung.

== Weblinks ==
*{{EoM| Autor = M.S. Nikulin| Titel = Point estimator| Url = https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Point_estimator| id = }}

== Literatur ==
*{{Literatur|Autor=Ludger Rüschendorf|Titel=Mathematische Statistik|Verlag=Springer Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2014|ISBN=978-3-642-41996-6|DOI=10.1007/978-3-642-41997-3}}
*{{Literatur|Autor=Claudia Czado, Thorsten Schmidt|Titel=Mathematische Statistik|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2011|ISBN=978-3-642-17260-1|DOI=10.1007/978-3-642-17261-8}}

{{SORTIERUNG:Punktschatzer}}
[[Kategorie:Schätztheorie]]

Punktschätzer - Versionsgeschichte

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