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[[Datei:Equal detour point.svg|mini|hochkant=1.5|Isoperimetrischer Punkt Q, Inkreismittelpunkt I, Gergonne-Punkt G, Punkt gleichen Umwegs P<br/>gleiche Umwege:<br/><math>h_A+h_C-b=h_A+h_B-c=h_B+h_C-a</math>Harmonische Verwandtschaft:<math>\frac{|QI|}{|PI|}=\frac{|QG|}{|PG|}</math>]]
Der '''Punkt des gleichen Umwegs''' ist ein [[Ausgezeichnete Punkte im Dreieck|besonderer Punkt in einem Dreieck]] <math>ABC</math>. Dieser Punkt <math>P</math> ist dadurch gekennzeichnet, dass der Umweg von <math>A</math> über <math>P</math> nach <math>B</math> ebenso groß ist wie der Umweg von <math>A</math> über <math>P</math> nach <math>C</math> und der Umweg von <math>B</math> über <math>P</math> nach <math>C</math>. Hierbei versteht man unter der Länge des Umwegs die Länge der Strecke, die man zusätzlich zur kürzesten Verbindung zurücklegt und es gilt dementsprechend:<ref name="etc">[https://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/isoper.html ''Isoperimetric point and equal detour point''] in der [[Encyclopedia of Triangle Centers]] (abgerufen am 7. Februar) </ref>
:<math>
\begin{align}
&|AP|+|PC|-|AC| \\
=&|AP|+|PB|-|AB| \\
=&|BP|+|PC|-|BC|
\end{align}
</math>.

== Eindeutigkeit ==
Der Punkt des gleichen Umwegs hat die [[Kimberling-Nummer]] X(176). Er ist der einzige Punkt mit der obigen Eigenschaft, wenn für die Winkel <math>\alpha,\beta,\gamma </math> des Dreiecks <math>ABC</math> die folgende Ungleichung erfüllt ist:<ref>M. Hajja, P. Yff: ''The isoperimetric point and the point(s) of equal detour in a triangle''. In: ''Journal of Geometry'', November 2007, Band 87, Heft 1–2, S. 76–82, {{DOI|10.1007/s00022-007-1906-y}} </ref>
:<math>\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)+\tan\left(\frac{\beta}{2}\right)+\tan\left(\frac{\gamma}{2}\right)\leq 2 </math>.
Ist die Ungleichung nicht erfüllt, so besitzt auch der [[Isoperimetrischer Punkt|isoperimetrische Punkt]] die Eigenschaft des gleichen Umwegs.

== Eigenschaften ==
* Der Punkt des gleichen Umwegs ist [[Harmonische Teilung|harmonisch verwandt]] mit dem isoperimetrischen Punkt, dem [[Mittelpunkt]] des [[Inkreis]]es und dem [[Gergonne-Punkt]] und [[Kollinearität|kollinear]] zu diesen drei Punkten.<ref name="Dergiades">N. Dergiades: [https://forumgeom.fau.edu/FG2007volume7/FG200726index.html ''The Soddy circles'']. In: ''[[Forum Geometricorum]]'', Band 7, S. 191–197, 2007 </ref>
* Die Umwege sind gleich dem [[Durchmesser]] des inneren [[Soddy-Kreis]]es.<ref name="Dergiades"/>
* Die [[Baryzentrische Koordinaten|baryzentrischen Koordinaten]] sind:
:<math>\left( a+\frac{\Delta}{s-a} : b+\frac{\Delta}{s-b} : c+\frac{\Delta}{s-c} \right)</math>.
:Hierbei steht <math>\Delta</math> für den Flächeninhalt und <math>s</math> für den halben Umfang des Dreiecks <math>ABC</math>.<ref name="Dergiades"/>
* Die [[trilineare Koordinaten|trilinearen Koordinaten]] sind:<ref name="etc"/>
:<math>\left(\sec\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\gamma}{2}\right) + 1 :
\sec\left(\frac{\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\gamma}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) + 1 :
\sec\left(\frac{\gamma}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\beta}{2}\right) + 1 \right) </math>.

== Weblinks ==
{{commonscat|equal detour point|Punkt des gleichen Umweg}}
* [https://www.geogebra.org/m/mfhgdn5c isoperimetric and equal detour points] – interaktive Illustration auf Geogebratube

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Ausgezeichnete Punkte im Dreieck]]

Punkt des gleichen Umwegs - Versionsgeschichte

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