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2025-11-15T23:53:16Z

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[[Datei:Angular momentum as pseudo-vector.png|miniatur|hochkant=1.5|Der Drehimpuls '''L''' als Beispiel eines Pseudovektors: während der Ortsvektor '''r''' und Impuls m·'''v''' bei einer Punktspiegelung ihre Richtung umkehren, bleibt die des Drehimpulses '''L''' = m·'''r'''×'''v''' unverändert.]]
Ein '''Pseudovektor''', auch '''Drehvektor''', '''Axialvektor''' oder '''axialer Vektor''' genannt, ist in der [[Physik]] eine [[vektorielle Größe]], die bei einer [[Spiegelung (Geometrie)#Punktspiegelung|Punktspiegelung]] des betrachteten physikalischen Systems ihre Richtung beibehält. Im Gegensatz dazu kehren '''polare''' oder '''Schubvektoren''' bei einer Punktspiegelung ihre Richtung um.

Das Bild zeigt einen [[Körper (Physik)|Körper]] bei einer [[Rotation (Physik)|Drehbewegung]] und sein Spiegelbild. Der [[Drehimpuls]] ändert sich bei der Punktspiegelung nicht, denn die [[Drehgeschwindigkeit]] wird durch einen axialen Vektor beschrieben. Die [[Geschwindigkeit|Bahngeschwindigkeit]] zeigt nach der Punktspiegelung wie der Impuls in die entgegengesetzte Richtung und ist daher ein polarer Vektor.

Die Richtung eines axialen Vektors ist bezüglich einer [[Orientierung (Mathematik)|Orientierung]] des [[Raum (Physik)|Raumes]], üblicherweise der [[Rechtssystem (Mathematik)|rechtshändigen]], definiert. Axialvektoren treten typischerweise auf, wenn ein physikalischer Zusammenhang durch das [[Kreuzprodukt]] ausgedrückt wird (das bei ''rechtshändigen'' Koordinatensystemen die [[Drei-Finger-Regel|''Rechte-Hand''-Regel]] verwendet.)

== Definition ==

=== Transformationsverhalten unter einer Bewegung des Systems ===

Gegeben sei ein physikalisches System und ein zweites, das zu jedem Zeitpunkt aus dem ersten durch immer dieselbe räumliche [[Bewegung (Mathematik)|Bewegung]] χ hervorgeht (d. h. durch eine längen- und winkeltreue Abbildung, keine Bewegung im [[Kinematik|kinematischen Sinn]]!). Dabei sind für χ auch ungleichsinnige (orientierungsumkehrende) Bewegungen erlaubt. Im ersten System wird zu einem festen Zeitpunkt ''t'' also ein [[Teilchen]], das sich am [[Geometrischer Ort|Ort]] ''P(t)'' befindet, auf ein Teilchen am Ort ''P′(t)'' im bewegten System abgebildet. [[Masse (Physik)|Masse]] und [[Elektrische Ladung|Ladung]] des Teilchens bleiben dabei unverändert. Für [[Kontinuum (Physik)|kontinuierliche]] Verteilungen heißt das, dass eine [[Dichte]] <math>\rho</math> auf eine Dichte <math>\rho'</math> mit <math>\rho'(t,P')=\rho(t,P)</math> abgebildet wird. Man sagt, eine physikalische Größe habe ein bestimmtes Transformationsverhalten unter der Bewegung, wenn diese Transformation die physikalische Größe auf die entsprechende Größe im bewegten System abbildet. Zum Beispiel hat das bewegte Teilchen am Ort ''P′'' die transformierte Geschwindigkeit <math>\vec{v}'</math>, die durch die Geschwindigkeit <math>\vec v</math> des ursprünglichen Teilchens am Ort ''P'' bestimmt ist.

=== Axiale und polare Vektoren ===

Setzt sich die Bewegung χ nur aus [[Parallelverschiebung|Verschiebungen]] und [[Drehung]]en zusammen, so ist das Transformationsverhalten für alle vektoriellen Größen dieselbe. Betrachtet man dagegen den Fall einer Punktspiegelung im Raum am Zentrum <math>P_Z</math>, d. h. <math>\vec r' = -\vec r</math>, wobei <math>\vec r = \overrightarrow{P_Z\, P}</math> und <math>\vec r' = \overrightarrow{P_Z\,P'}</math> die [[Ortsvektor]]en eines Teilchens und seines Spiegelbildes sind, so sind zwei Fälle zu unterscheiden. Ein ''polarer Vektor'', wie etwa die Geschwindigkeit <math>\vec v</math> des Teilchens, ist dadurch charakterisiert, dass er wie die Ortsvektoren transformiert: <math>\vec v' = -\vec v</math>. Ein ''axialer Vektor'', wie etwa die Winkelgeschwindigkeit <math>\vec \omega</math> des Teilchens, wird dagegen unter der Punktspiegelung auf sich selbst abgebildet: <math>\vec\omega'=\vec\omega</math>. Die Eigenschaft einer vektoriellen Größe, axial oder polar zu sein, legt bereits das Transformationsverhalten unter einer beliebigen Bewegung χ fest. Denn jede Bewegung lässt sich durch eine Hintereinanderausführung von Translationen, Drehungen und Punktspiegelungen darstellen.

=== Aktive und passive Transformation ===

Diese Betrachtungen<ref>{{Literatur |Autor=[[Richard Feynman|Richard P. Feynman]], [[Robert B. Leighton]], [[Matthew Sands]] |Titel=[[Feynman-Vorlesungen über Physik|The Feynman Lectures on Physics]] |Band=Vol. 1, Mainly mechanics, radiation, and heat |Verlag=[[Addison-Wesley]] |Jahr=1964 |Kapitel=Abschnitt 52-5 |Seiten=52-6–52-7 |Online=[http://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_52.html#Ch52-S5 Online Edition], [[California Institute of Technology|Caltech]]}}</ref> zum Transformationsverhalten einer vektoriellen Größe unter einer aktiven Bewegung χ des Systems hat nichts zu tun mit dem Transformationsverhalten der Komponenten des Vektors unter einer gewöhnlichen [[Koordinatentransformation]]. Letztere ist dieselbe für axiale und polare Vektoren, nämlich die von Koordinaten eines [[Tensor]]s vom Rang eins. Es handelt sich also um echte Vektoren im Sinne der Tensorrechnung, weswegen der Begriff ''Pseudovektor'' in diesem Zusammenhang irreführend ist. Tatsächlich gibt es Autoren<ref>{{internetquelle |hrsg=Spektrum Akademischer Verlag |url=https://www.wissenschaft-online.de/abo/lexikon/physik/1106 |titel=axialer Vektor |werk=Lexikon der Physik |zugriff=23. Juli 2008 |zitat=Die Komponenten axialer Vektoren bleiben bei einer Spiegelung des Koordinatensystems, d. h. bei einer Vorzeichenumkehr aller drei Koordinaten, ungeändert;...}}</ref><ref>{{internetquelle |autor=Eric W. Weisstein |url=https://mathworld.wolfram.com/Pseudovector.html |titel=Pseudovector |werk=MathWorld - A Wolfram Web Resource |zugriff=23. Juli 2008 |zitat=A typical vector (...) is transformed to its negative under inversion of its coordinate axes.}}</ref>, die diese unterschiedlichen Begriffe nicht klar trennen. Viele Autoren<ref>{{Literatur |Autor=[[Arnold Sommerfeld]] |Titel=Mechanik |Sammelwerk=Vorlesungen über Theoretische Physik |Band=Band I |Verlag=Harri Deutsch |Jahr=1994 |Auflage=8. |Seiten=105 |ISBN=3-87144-374-3}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[Herbert Goldstein]], Charles Poole, John Safko |Titel=Classical mechanics |Auflage=3. |Verlag=Addison-Wesley |Jahr=2000 |Seiten=169}}</ref> beschreiben eine ungleichsinnige Bewegung des Systems als Koordinatentransformation bei gleichzeitiger Änderung der Orientierung, bezüglich welcher das Kreuzprodukt zu berechnen ist. Dies entspricht einer passiven Transformation, wobei der Beobachter die gleiche Transformation erfährt wie das Koordinatensystem. Anschaulich bedeutet das, dass die rechte Hand bei einer Punktspiegelung des Koordinatensystems zu einer linken Hand wird. Rechnerisch wird das realisiert durch die Einführung eines ''[[Pseudotensor]]s'', dessen Komponenten unabhängig von der Orientierung eines orthonormalen Koordinatensystems durch das [[Levi-Civita-Symbol]] gegeben sind. Dieser ''vollständig antisymmetrische Pseudotensor'' (auch [[Tensordichte]] vom Gewicht -1 genannt) ist also kein Tensor. In diesem Sinne ist auch der Begriff ''Pseudovektor'' zu verstehen, welcher in dieser Betrachtung bei einer Punktspiegelung des Koordinatensystems seine Richtung ändert (dessen Komponenten dagegen unverändert bleiben). Diese passive Sichtweise liefert die gleichen Ergebnisse bezüglich der Unterscheidung axialer und polarer Vektoren wie die aktive.

== Rechenregeln ==
* Das Kreuzprodukt zweier polarer oder zweier axialer Vektoren ist ein Axialvektor.
* Das Kreuzprodukt aus einem polaren und einem axialen Vektor ist ein Polarvektor.
* Das Skalarprodukt zweier polarer oder zweier axialer Vektoren ist ein Skalar (d. h. behält sein [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] unter einer beliebigen Bewegung).
* Das Skalarprodukt aus einem polaren und einem axialen Vektor ist ein [[Pseudoskalar]] (d. h. ändert sein Vorzeichen unter einer Punktspiegelung).

== Zusammenhang mit Tensoren ==
Jeder Tensor zweiter Stufe besitzt im dreidimensionalen Raum eine [[Vektorinvariante]], die als solche ein axialer Vektor ist<ref>{{Literatur|Autor=H. Altenbach|Titel=Kontinuumsmechanik|Verlag=Springer|Jahr=2012|ISBN=978-3-642-24118-5|Seiten=34f und 109f}}</ref>. Zu der Vektorinvariante trägt nur der [[Schiefsymmetrische Matrix|schiefsymmetrische Anteil]] des Tensors etwas bei. Die Umkehroperation stellt aus dem axialen Vektor den schiefsymmetrischen Anteil des Tensors her:

:<math>
\vec a\times\mathbf{1}
=\vec{a}\times\left(\sum_{i=1}^3 \hat{e}_i\otimes\hat{e}_i\right)
=\sum_{i=1}^3(\vec{a}\times\hat{e}_i)\otimes\hat{e}_i
=
\begin{pmatrix}
0 & -a_3 & a_2 \\
a_3 & 0 & -a_1 \\
-a_2 & a_1 & 0
\end{pmatrix}
=[\vec a]_\times
</math>
Darin sind ''a''1,2,3 die Koordinaten des Vektors <math>\vec a</math> bezüglich der [[Standardbasis]] <math>\hat{e}_{1,2,3}</math>, '''1''' ist der [[Einheitstensor]], „×“ bildet das [[Kreuzprodukt]] und „<math>\otimes</math>“ das [[Dyadisches Produkt|dyadische Produkt]]. Das Ergebnis ist im [[Koordinatenraum]] die [[Kreuzprodukt#Kreuzproduktmatrix|Kreuzproduktmatrix]] <math>[\vec a]_\times</math>.

Die [[Wirbelstärke]] ist die negative Vektorinvariante des [[Geschwindigkeitsgradient]]en und mit obiger Umkehroperation entsteht dessen schiefsymmetrischer Anteil, der Wirbeltensor. Bei einer [[Starrer Körper|Starrkörperbewegung]] entspricht der [[Winkelgeschwindigkeit]] der [[Winkelgeschwindigkeit#Winkelgeschwindigkeitstensoren|Winkelgeschwindigkeitstensor]], der hier die Rolle des Geschwindigkeitsgradienten übernimmt. Für das Magnetfeld '''B''' erhält man auf diese Weise die räumlichen Komponenten des [[Elektromagnetischer Feldstärketensor#Darstellung als Matrix|elektromagnetischen Feldstärketensors]].

Allgemeiner kann einem axialen Vektor über die [[Hodge-Stern-Operator|Hodge-Dualität]] ein [[Schiefsymmetrische Matrix|schiefsymmetrischer]] Tensor zweiter Stufe zugeordnet werden. In Koordinaten ausgedrückt gehört zu einem Vektor <math>a_i</math> die 2-Form <math>(*a)_{ij}=\mp\epsilon_{ijk}a_k</math> (für positiv bzw. negativ orientierte Orthonormalbasis) mit dem [[Levi-Civita-Symbol]] <math>\epsilon_{ijk}</math> und unter Verwendung der [[Einsteinsche Summenkonvention|Summenkonvention]]. Dieser Zusammenhang kann benutzt werden, um Größen wie den Drehimpuls für Räume der Dimension ungleich drei zu verallgemeinern. Nur im ℝ3 hat eine antisymmetrische 2-Form genauso viele unabhängige Komponenten wie ein Vektor. Im ℝ4 beispielsweise sind es nicht 4, sondern 6 unabhängige Komponenten.

== Beispiele ==
* Für den Zusammenhang von [[Ortsvektor]] <math>\vec r</math>, [[Geschwindigkeit]] <math>\vec v</math> und [[Winkelgeschwindigkeit]] <math>\vec\omega</math> eines Teilchens gilt <math>\vec v=\vec\omega\times\vec r</math>. Unter einer Punktspiegelung <math>\vec r' = -\vec r</math> prüft man leicht nach, dass <math>\vec v' = -\vec v</math>. Orts- und Geschwindigkeitsvektor sind also Polarvektoren. Damit gilt für die Winkelgeschwindigkeit <math>\vec\omega'</math> des gespiegelten Teilchens <math>-\vec v=\vec\omega'\times(-\vec r)</math>. Also muss <math>\vec\omega'=\vec\omega</math> gelten, d. h. die Winkelgeschwindigkeit ist ein Axialvektor.
* Der [[Drehimpuls]] ist definiert als <math>\vec L=\vec r\times\vec p</math>. Es folgt <math>\vec L'=\vec r'\times\vec p'=\vec r'\times m\vec v'=(-\vec r)\times (-m\vec v)=\vec L</math>, also ist der Drehimpuls ein Axialvektor, siehe Einleitung.
* Aus der Formel für die [[Lorentzkraft]] <math>\vec F=-q\vec B\times\vec v</math> folgt, dass das [[Magnetismus|Magnetfeld]] <math>\vec B</math> ein axialer Vektor sein muss, denn die Kraft <math>\vec F</math> ist zur Beschleunigung proportional und damit ein polarer Vektor.
* Die [[Wirbelstärke]] <math>\vec\omega=\operatorname{rot}\;\vec v </math> mit der [[Rotation eines Vektorfeldes]] rot ist ein Axialvektor.
* Spiegelung einer rotierenden Scheibe an einer Ebene: Betrachtet wird eine rotierende horizontale Scheibe, die eine rote Oberseite und eine gelbe Unterseite besitze. Die Rotation wird durch den Winkelgeschwindigkeitsvektor beschrieben. Die Rotationsrichtung sei so, dass der Winkelgeschwindigkeitsvektor von der roten Oberseite nach oben wegzeigt. Bei einem Spiegelbild dieser rotierenden Scheibe an einer horizontalen Ebene kehren sich nach Voraussetzung die vertikalen Anteile von Ortsvektoren um, die Oberseite ist im Spiegelbild gelb und die Unterseite rot. Der dem Beobachter zugewandte Rand der Scheibe bewegt sich im Original wie im Spiegelbild in dieselbe Richtung: Der Drehsinn bleibt also erhalten. Der Winkelgeschwindigkeitsvektor hat sich durch die Spiegelung nicht umgekehrt und weist am Spiegelbild von der ''gelben'' Seite ebenfalls nach oben.

== Einzelnachweise ==
<references />

== Siehe auch ==
* [[Parität (Physik)|Parität]]
* [[Chiralität (Physik)|Chiralität]]

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[[Kategorie:Feldtheorie]]

Pseudovektor - Versionsgeschichte

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