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2025-12-17T20:45:01Z

Berechnung

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Die '''Pseudoinverse''' einer [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] ist ein Begriff aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]], der auch in der [[Numerische Mathematik|numerischen Mathematik]] eine wichtige Rolle spielt. Sie ist eine Verallgemeinerung der [[Inverse Matrix|inversen Matrix]] auf [[Singuläre Matrix|singuläre]] und nichtquadratische Matrizen, weshalb sie häufig auch als '''verallgemeinerte Inverse''' bezeichnet wird. Der häufigste Anwendungsfall für Pseudoinversen ist die Lösung [[Lineares Gleichungssystem|linearer Gleichungssysteme]] und [[Methode der kleinsten Quadrate|linearer Ausgleichsprobleme]].

Eine erste Form wurde von [[E. H. Moore]] (1920)<ref name="MOORE1920">[[E. H. Moore]]: ''On the reciprocal of the general algebraic matrix.'' In: ''[[Bulletin of the American Mathematical Society]]'' 26, S. 394–395, 1920</ref> und [[Roger Penrose]] (1955)<ref name="PENROSE1955">[[Roger Penrose]]: ''A generalized inverse for matrices.'' In: ''[[Proceedings of the Cambridge Philosophical Society]]'' 51, S. 406–413, 1955, {{DOI|10.1017/S0305004100030401}}</ref> beschrieben. Die nach ihnen benannte ''Moore-Penrose-Inverse'' ist nicht die einzige Möglichkeit, eine Pseudoinverse zu definieren, häufig wird aber Pseudoinverse synonym mit Moore-Penrose-Inverse benutzt.<ref name="StoerNumMath1">J. Stoer: ''Numerische Mathematik 1.'' Springer Verlag, 2002, ISBN 3-540-66154-9</ref> Die Moore-Penrose-Inverse ist für alle Matrizen mit Einträgen aus den [[Reelle Zahl|reellen]] oder [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] definiert und eindeutig. Mit ihr kann man bei linearen [[Ausgleichsproblem]]en die optimale Lösung hinsichtlich der kleinsten Summe quadrierter Abweichungen der [[Euklidische Norm|euklidischen Norm]]en berechnen.

Eine [[Stabilität (Numerik)|numerisch robust]]e Methode zur Bestimmung der Moore-Penrose-Inversen baut auf der [[Singulärwertzerlegung]] auf.

== Allgemeine Pseudoinversen ==
Die Verallgemeinerung der Bildung der Inversen einer Matrix auf singuläre Matrizen wird in der Literatur nicht einheitlich gehandhabt und orientiert sich oftmals an der zu lösenden Aufgabenstellung (einige Beispiele solcher Verallgemeinerungen sind weiter unten aufgeführt).

Nach [[Adi Ben-Israel]]<ref name="IG2003"/> sollte eine Definition von verallgemeinerten Inversen zumindest die folgenden drei Forderungen erfüllen:

#Für reguläre Matrizen sollte sich eindeutig die gewöhnliche Inverse ergeben.
#Im verallgemeinerten Sinne sollten auch singuläre Matrizen invertierbar sein (wenigstens einige, nicht notwendigerweise alle).
#Für singuläre Matrizen sollten die verallgemeinerten Inversen ähnliche Eigenschaften haben wie gewöhnliche Inverse regulärer Matrizen.

Als Ausgangspunkt für die Konstruktion von verschiedenen Pseudoinversen schwächt Adi Ben-Israel<ref name="IG2003"/> dann die vier definierenden Aussagen für die im nächsten Abschnitt beschriebene Moore-Penrose-Inverse in verschiedene Richtungen ab und ergänzt sie durch andere Bedingungen. Die Mindestforderung an eine Pseudoinverse ist die folgende: Eine Matrix <math>B</math> ist genau dann Pseudoinverse von <math>A</math>, wenn gilt:

:<math>ABA=A</math>

Dagegen bezeichnet [[Max Koecher]]<ref name="Koecher1997">Max Koecher: Linea''re Algebra und analytische Geometrie'', Springer-Verlag Berlin, 1997</ref>
eine Matrix <math>B</math> genau dann als Pseudoinverse von <math>A</math>, wenn für sie die folgenden beiden Aussagen

:<math>ABA=A</math> und
:<math>BAB=B</math>

zutreffen.

Die erste Bedingung sichert dabei, dass die Spalten <math>y</math> von <math>A</math> durch <math>B</math> auf Lösungen <math>x</math> des Gleichungssystems <math>y=Ax</math> abgebildet werden. Durch die zweite Aussage können keine vom [[Nullvektor]] verschiedene Spalten von <math>B</math> im [[Kern (Algebra)|Kern]] von <math>A</math> liegen.

== Die Moore-Penrose-Inverse ==
Die Moore-Penrose-Inverse (auch einfach Pseudoinverse) einer Matrix <math>A \in \mathbb C^{m \times n}</math> ist die eindeutig bestimmte Matrix <math>A^+\in \mathbb C^{n \times m}</math>, welche die folgenden vier Eigenschaften („Moore-Penrose-Bedingungen“) erfüllt:
{|
|style="vertical-align:top;width:12em;"|
* <math>A A^+A \; \,\, = A</math>
| (<math>A^+</math> ist eine [[#Allgemeine Pseudoinversen|verallgemeinerte Inverse]].)
|-
|style="vertical-align:top;"|
* <math>A^+A A^+ = A^+</math>
| (<math>A^+</math> verhält sich wie eine [[Halbgruppe#Schwache Inverse|schwache Inverse]].)
|-
|style="vertical-align:top;"|
* <math>(AA^+)^* \, = AA^+</math>
| (Die Matrix <math>AA^+</math> ist [[Hermitesche Matrix|hermitesch]].)
|-
|style="vertical-align:top;"|
* <math>(A^+A)^* \, = A^+A</math>
| (Die Matrix <math>A^+A</math> ist ebenfalls hermitesch.)
|}
Dabei bezeichnet <math>M^*</math> die [[adjungierte Matrix]] zu einer Matrix <math>M</math>. Bei Matrizen mit Einträgen aus den reellen Zahlen ist diese identisch mit der zu <math>M</math> [[Transponierte Matrix|transponierten Matrix]] <math>M^T</math>.

Die Moore-Penrose-Inverse kann auch durch einen [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]] definiert werden:
:<math>\begin{align}
A^+&= \lim_{\delta \searrow 0} \,\; (A^* A + \delta E_n)^{-1} A^* \\
&= \lim_{\delta \searrow 0} \; A^* (A A^* + \delta E_m)^{-1}
\end{align}</math>
mit <math>E_k</math> als der [[Einheitsmatrix]] in <math>\mathbb C^{k \times k}</math>. Dieser Grenzwert existiert auch dann, wenn <math>(A A^*)^{-1}</math> und <math>(A^* A)^{-1}</math> nicht existieren.

=== Rechenregeln ===
:<math>(A^+)^+ = A</math>
:<math>\overline{A}^+ = \overline{A^+}</math>
:<math>(A^*)^+= (A^+)^*</math>
:<math>(\lambda A)^+= \lambda^{-1} A^+</math> für <math>\lambda \ne 0</math>

=== Spezialfälle ===
Sind die Spalten der Matrix <math>A</math> linear unabhängig, dann ist <math>A^*A</math> invertierbar. In diesem Fall gilt die folgende Gleichung<ref name="IG2003"> [[Adi Ben-Israel]], [[Thomas N.E. Greville]]: ''Generalized Inverses.'' Springer-Verlag, 2003, ISBN 0-387-00293-6</ref>
:<math>A^+= (A^* A)^{-1} A^*.</math>
Nimmt man die erste Grenzwertdefinition für die Moore-Penrose-Inverse, so verschwindet der Summand <math>\delta E_n</math>. Daraus folgt, dass <math>A^+</math> eine Linksinverse zu <math>A</math> ist.
:<math> A^+A = E_n</math>

Sind die Zeilen der Matrix <math>A</math> linear unabhängig, dann ist <math>A A^*</math> invertierbar. In diesem Fall gilt die folgende Gleichung
:<math>A^+= A^*(A A^*)^{-1}.</math>
Nimmt man die zweite Grenzwertdefinition für die Moore-Penrose-Inverse, so verschwindet der Summand <math>\delta E_m</math>. Daraus folgt, dass <math>A^+</math> eine Rechtsinverse zu <math>A</math> ist.
:<math>A A^+= E_m</math>

Sind sowohl Spalten als auch die Zeilen einer Matrix unabhängig, dann ist die Matrix invertierbar, und die Pseudoinverse stimmt mit der Inversen überein.

Ist das [[Matrizenprodukt|Produkt]] <math>AB</math> zweier Matrizen definiert und eine der beiden eine [[unitäre Matrix]], dann gilt
:<math>(AB)^+= B^+A^+.</math>

Man kann die Pseudoinverse auch für Skalare und Vektoren definieren, indem man diese als Matrizen betrachtet. Bei Skalaren ist die Pseudoinverse von null wieder null, und für alle anderen Werte <math>x</math> ist sie <math>x^{-1}</math>. Für Vektoren gilt
:<math>x^+\!= \begin{cases}
0^T, & \text{wenn }x=0,\\
\frac{x^*}{x^* x}, & \text{sonst}.
\end{cases}</math>

Diese Behauptungen lassen sich überprüfen, indem man die Kriterien für die Moore-Penrose-Inverse nachprüft.

Ist die Matrix <math>A</math> [[Hermitesche Matrix|hermitesch]] (oder [[Symmetrische Matrix|symmetrisch]] im reellen Fall), dann ist <math>A^+</math> ebenfalls hermitesch (symmetrisch). Aus dem [[Spektralsatz]] folgt in diesem Fall die Zerlegung
:<math>UAU^*=D</math>
und damit
:<math>A^+=U^*D^+U</math>,
wobei die Pseudoinverse <math>D^+</math> der Diagonalmatrix <math>D</math> durch
:<math>d_{ii}^+ = \begin{cases}
0, & \text{wenn } d_{ii} =0,\\
\frac{1}{d_{ii}}, & \text{sonst}
\end{cases}</math>
für alle Diagonaleinträge gegeben ist.

=== Berechnung ===
* Ist <math>k</math> der [[Rang (Lineare Algebra)|Rang]] der <math>m \times n</math>-Matrix <math>A</math>, dann kann <math>A</math> in das Produkt <math>A = BC</math> einer <math>m \times k</math>-Matrix <math>B</math> und einer <math>k \times n</math>-Matrix <math>C</math> zerlegt werden. Es gilt
::<math>A^+= C^*(CC^*)^{-1}(B^*B)^{-1}B^*.</math>
:Hat <math>A</math> vollen Zeilenrang, das heißt, es gilt <math>k=m</math>, dann kann für <math>B</math> die Einheitsmatrix gewählt werden und obige Formel reduziert sich zu
::<math>A^+= A^*(AA^*)^{-1}.</math>
:In ähnlicher Weise gilt für eine Matrix <math>A</math> mit vollem Spaltenrang, das heißt, es gilt <math>k=n</math>, die Gleichung
::<math>A^+= (A^*A)^{-1}A^*.</math>
* Mit der [[Singulärwertzerlegung]] existiert ein anderes Verfahren zur Berechnung der Pseudoinversen. Ist <math>A = U \Sigma V^*</math> die Singulärwertzerlegung von <math>A</math>, dann gilt
::<math>A^+= V\Sigma^+U^*.</math>
:Bei einer [[Diagonalmatrix]] wie <math>\Sigma \in \Complex^{m \times n}</math> entsteht die Pseudoinverse, indem man die Matrix transponiert und die von null verschiedenen Elemente invertiert, also <math>\Sigma^+ \in \Complex^{n \times m}</math> bildet mit
::<math>(\Sigma)_{ij}^{+} = \begin{cases}\frac{1}{\sigma_i}, & \text{falls } i=j \wedge \sigma_i\ne 0,\\
0, & \text{sonst}.
\end{cases}
</math>
* Mit Hilfe der [[Ränderung]] von Matrizen kann die Pseudoinverse implizit dargestellt oder auch berechnet werden.<ref name="Shinozaki1972">Nobuo Shinozaki, Masaaki Sibuya, and Kunio Tanabe: ''Numerical algorithms for the Moore-Penrose inverse of a matrix: Direct methods''. In: ''Annals of the Institute of Statistical Mathematics'', Springer Netherlands, Vol. 24, No. 1, Dec. 1972, pp. 193–203, {{DOI|10.1007/BF02479751}}.</ref>
* Der [[Algorithmus]] von Greville ist eine endliche iterative Methode zur spaltenweisen Berechnung der Moore-Penrose-Inversen.<ref name="Greville1960">T. N. E. Greville: Some applications of the pseudo inverse of a matrix. SIAM Rev., No. 2, 1960, pp. 15–22, {{DOI|10.1137/1002004}}, {{JSTOR|2028054}}.</ref>

Das Verfahren, bei dem man die Matrix <math>A^* A</math> benötigt, wird zwar bei der numerischen Berechnung der Lösung überbestimmter Gleichungssysteme der Bequemlichkeit halber öfter benutzt, ist jedoch numerisch instabil, da die [[Kondition (Mathematik)|Kondition]] der Matrix quadriert wird. Als stabile und effiziente numerische Methode gilt die Verwendung der [[QR-Zerlegung]]. Das auf der Singulärwertzerlegung aufbauende Verfahren ist das aufwendigste, aber auch das numerisch gutartigste. Das auf der Ränderung beruhende Verfahren bietet einen Kompromiss zwischen Aufwand und numerischer Stabilität.

Einen Überblick über numerischen Aufwand und Stabilität der Verfahren gibt auch <ref name="Shinozaki1972"/>.

=== Anwendungen ===

Ist das Gleichungssystem <math>Ax=b</math> nicht lösbar, so lässt sich mit der Pseudoinversen die Lösung nach der [[Methode der kleinsten Quadrate]], also die mit kleinster [[Euklidische Norm|euklidischer Norm]] <math>\|A x - b\|_2</math> als <math>\bar x = A^+b</math> berechnen.

Gibt es für das Gleichungssystem <math>Ax=b</math> unendlich viele Lösungen, so kann man diese über
:<math>x=A^+b+(E_n-A^+A)y,\quad y \in \mathbb C^n</math>
bestimmen. Dabei ist <math>x</math> diejenige Lösung des Gleichungssystems, die von <math>y</math> den kleinsten Abstand bezüglich der euklidischen Norm hat.

== Ausgewählte weitere Versionen von verallgemeinerten Inversen ==

=== Drazin-Inverse ===

Sei <math>A\in\R^{n\times n}</math> eine Matrix mit Index <math>i\in\N</math> (der Index von <math>A</math> ist die minimale ganze Zahl <math>i\geq1</math> für die <math>A^i</math> und <math>A^{(i+1)}</math> den gleichen [[Kern (Algebra)|Kern]] haben). Dann ist die ''Drazin-Inverse'' diejenige eindeutig definierte <math>n\times n</math>-Matrix <math>A^D</math>, die den Bedingungen

* <math>A^iA^D\,A=A^i</math>
* <math>A^D\,AA^D=A^D</math>
* <math>A\,A^D=A^D\,A</math>

genügt. Sie wurde von [[Michael Drazin]] eingeführt.

==== Berechnung ====

Zur Berechnung kann man die Zerlegung
:<math>T\begin{pmatrix}\Lambda&0\\0&N\end{pmatrix}T^{-1}=A</math>
der Matrix <math>A\in\mathbb{R}^{n\times n}</math> in Jordan-Normalform nutzen, wobei <math>\Lambda</math> der reguläre Teil der Jordan-Form sei und <math>N</math> nilpotent. Die Drazin-Inverse ergibt sich dann zu
:<math>A^D := T\begin{pmatrix}\Lambda^{-1}&0\\0&0\end{pmatrix}T^{-1}</math>.
Die Drazin-Inverse einer Matrix mit Index <math>i=1</math> (für die also <math>N</math> gleich der [[Nullmatrix]] ist) bezeichnet man auch als ''Gruppen-Inverse''. Die Gruppen-Inverse ist eine Pseudoinverse nach der Definition von Koecher.<ref name="Koecher1997"/>

==== Anwendungen ====

1. Eine wichtige Anwendung für die Drazin-Inverse ist die analytische Darstellung der Lösung zeitinvarianter linearer Deskriptorsysteme.
Als Beispiel diene die Differenzengleichung
:<math>A x_{k+1} = x_k</math>
eines zeitdiskreten Deskriptorsystems mit der reellen <math>n\times n</math>-Matrix <math>A</math>. Die Lösung <math>\{x_k\}_{k=0,1,2,\ldots}\subset \R^n</math> der [[Differenzengleichung]] erfüllt die Gleichungen <math>A^k x_k = x_0</math> mit <math>k=0,1,2,\ldots</math>. Anfangswerte <math>x_0</math> sind also nur dann konsistent, wenn sie in allen Bildern der Matrizen <math>A^k</math> liegen (sonst bricht die Lösung nach endlich vielen Schritten ab). Die Lösung der Differenzengleichung ist dann <math>x_k=(A^D)^k x_0</math>.

2. Für reelle oder komplexe <math>n\times n</math>-Matrizen <math>A</math> mit Index <math>i</math> gilt die Gleichung
:<math>\int_0^t \exp(A\bar t)\,d\bar t = \sum_{k=0}^{i-1}\frac{t^{k+1}}{(k+1)!}A^k(E_n-A A^D) + (\exp(A t)-E_n)A^D.</math>
Damit lässt sich die [[Sprungantwort]] eines [[Lineares zeitinvariantes System|linearen zeitinvarianten]] [[Dynamisches System|dynamischen Systems]]
:<math>
\begin{align}
\dot x &= A x + b u\\
y &= c^T x
\end{align}
</math>
mit Eingangssignal
:<math>
u(t) = \begin{cases}
0 & \text{bei }t< 0\\
1 & \text{bei }t\geq0,
\end{cases}
</math>
Zustandsvektor <math style="vertical-align: top;">x:\R\rightarrow\R^{n\times 1}</math> (<math>x(0)</math> Nullvektor), Systemmatrix <math style="vertical-align: top;">A\in\R^{n\times n}</math> und Ein- beziehungsweise Ausgabevektoren <math style="vertical-align: bottom;">b,c\in\R^{n\times 1}</math> in der Form
:<math>
y(t) = \begin{cases}
0 & \text{bei }t<0\\
c^T \left(\sum_{k=0}^{i-1}\frac{t^{k+1}}{(k+1)!}A^k(E_n-A A^D) + (\exp(A t)-E_n)A^D\right) b & \text{bei }t\geq 0
\end{cases}
</math>
darstellen.

=== Restringierte verallgemeinerte Inversen – die Bott-Duffin-Inverse ===

Bei manchen praktischen Aufgabenstellungen ist die Lösung <math>x</math> eines linearen Gleichungssystems
:<math>
Ax=b\qquad (\text{mit vorgegebenem }A\in\R^{m\times n}\text{ und } b\in\R^m)
</math>
nur dann zulässig, wenn sie innerhalb eines gewissen [[Untervektorraum|linearen Teilraumes]] <math>L</math> von <math>\R^m</math> liegt.
Man sagt auch, dass das Problem durch ein ''restringiertes lineares Gleichungssystem'' beschrieben wird (englisch ''constrained linear equation'').

Im Folgenden werde der [[Orthogonalprojektion|orthogonale Projektor]] auf <math>L</math> mit <math>P_L</math> bezeichnet.
Das restringierte lineare Gleichungssystem
:<math>Ax=b\qquad x\in L</math>
ist genau dann lösbar, wenn das für das unrestringierte Gleichungssystem
:<math>(A P_L) x = b\qquad x\in\R^m</math>
zutrifft. Ist der Unterraum <math>L</math> ein echter Teilraum von <math>\R^m</math>, so ist die Systemmatrix des unrestringierten Problems <math>(A P_L)</math> auch dann singulär, wenn sich die Systemmatrix <math>A</math> des restringierten Problems invertieren lässt (in diesem Fall gilt <math>m=n</math>). Das erklärt, dass für die Lösung restringierter Probleme auch Pseudoinverse herangezogen werden. Man bezeichnet eine Pseudoinverse von <math>(A P_L)</math> dann auch als <math>L</math>-''restringierte Pseudoinverse'' von <math>A</math>. Diese Definition scheint zunächst der Forderung 1 aus Abschnitt [[#Allgemeine Pseudoinversen|Allgemeine Pseudoinversen]] zu widersprechen. Dieser Widerspruch relativiert sich jedoch wieder, wenn man bedenkt, dass die <math>L</math>-restringierte Pseudoinverse für bijektives <math>A</math> auf dem interessierenden Raum <math>L</math> injektiv ist und dass der Bildraum die gleiche Dimension wie <math>L</math> hat.

Ein Beispiel für eine Pseudoinverse mit der sich die Lösung eines restringierten Problems ermitteln lässt, ist die ''Bott-Duffin-Inverse'' von <math>A</math> bzgl. <math>L</math>, die durch die Gleichung
:<math>A_L^{(-1)}:=P_L(A P_L + P_{L^\perp})^{-1}</math>
definiert ist, falls die auf der rechten Seite auftretende gewöhnliche Inverse existiert.

==== Anwendungen ====

Die Bott-Duffin-Inverse kann zur Lösung der Gleichungen eines [[Affine Abbildung|affin-linearen]] elektrischen Netzwerkes benutzt werden, wenn sich die Relation zwischen Zweigspannungsbelegungen  <math>v\in\R^n</math> und Zweigstrombelegungen  <math>i\in\R^n</math> in der Form
:<math>Ai+u=u^0 \qquad i\in L,\; u\in L^\perp</math>
darstellen lassen, wobei <math>L</math> der Raum aller die [[Kirchhoffsche Regeln|kirchhoffschen Knotengleichungen]] erfüllenden Strombelegungen <math>i</math> ist und <math>u^0</math> die Spaltenmatrix der in die Zweige eingespeisten unabhängigen Quellspannungen sein soll. An dieser Stelle fließt der graphentheoretische [[Tellegen-Theorem|Satz von Tellegen]] ein, der besagt, dass die Räume der Zweigspannungsbelegungen und Zweigstrombelegungen, die die kirchhoffschen Maschen- beziehungsweise Knotengleichungen erfüllen, [[Orthogonales Komplement|orthogonal komplementär]] zueinander sind.

Eine Eigenschaft der Bott-Duffin-Inversen ist, dass mit ihrer Hilfe die zu einer vorgegebenen Quellspannungsbelegung <math>u^0</math> zugehörigen Zweigströme
:<math>i = A_L^{(-1)} u^0</math>
und Zweigspannungen
:<math>u = (E_m-A A^{(-1)}_L)u^0</math>
berechnet werden können (<math>E_m</math> steht für die [[Einheitsmatrix]] im <math>\R^{m\times m}</math>).

== Literatur ==

* W. Mackens, H. Voß: ''Mathematik I für Studierende der Ingenieurwissenschaften''
* A. Kielbasinski, H. Schwetlick: ''Numerische lineare Algebra'', Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1988

== Einzelnachweise ==

<references/>
[[Kategorie:Numerische lineare Algebra]]
[[Kategorie:Matrix]]

Pseudoinverse - Versionsgeschichte

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