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2026-03-14T13:34:17Z

Eigentlich getragener Pseudodifferentialoperator

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Ein '''Pseudodifferentialoperator''' ist eine mathematische Funktion, die eine Erweiterung des Konzepts des [[Differentialoperator]]s darstellt. Sie sind ein wichtiger Bestandteil der Theorie der [[Partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichungen]] sowie der [[Mikrolokale Analysis|mikrolokalen Analysis]]. Die Grundlagen der Theorie stammen von [[Lars Hörmander]]. Eingeführt wurden sie 1965 durch [[Joseph Kohn]] und [[Louis Nirenberg]].

== Motivation ==
=== Lineare Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten ===
Man betrachte den linearen Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten

:<math> p(D) := \sum_\alpha a_\alpha \, D^\alpha </math>

der auf dem Raum der glatten Funktionen mit [[Kompakter Raum|kompaktem]] [[Träger (Mathematik)|Träger]] in <math>\R^n</math> operiert. Er kann als Komposition einer [[kontinuierliche Fourier-Transformation|Fouriertransformation]], einer einfachen ''Multiplikation'' mit dem Polynom (dem sogenannten ''Symbol'')

:<math> p(\xi) = \sum_\alpha a_\alpha \, \xi^\alpha </math>

und der inversen Fouriertransformation:

:<math> (1) \quad p(D) u (x) =
\frac{1}{(2 \pi)^n} \int_{\R^n} \int_{\R^n} \mathrm e^{\mathrm i (x - y) \xi} p(\xi) u(y)\,\mathrm dy\,\mathrm d\xi </math>

geschrieben werden. Dabei ist <math>\alpha = (\alpha_1,\dots, \alpha_n) \in \N_0^n</math>
ein [[Multiindex]],
<math>D^\alpha = (-i \partial_1)^{\alpha_1} \dots (-i \partial_n)^{\alpha_n}</math>
ein Differentialoperator,
<math>\partial_j</math>
steht für Ableitung nach der <math>j</math>-ten Komponente und
<math>a_\alpha \, </math> sind komplexe Zahlen.

Analog ist ein ''Pseudodifferentialoperator'' <math>P</math> mit Symbol <math>p(x, \xi)</math> auf <math>\R^n</math> ein Operator der Form

:<math> (2) \quad P u (x) =
\frac{1}{(2 \pi)^n} \int_{\R^n} \int_{\R^n} \mathrm e^{\mathrm i (x - y) \xi} p(x,\xi) u(y) \,\mathrm dy\,\mathrm d\xi </math>,

mit einer allgemeineren Funktion <math>p</math> im Integranden, wie unten weiter ausgeführt wird.

;Herleitung von Formel (1)
Die Fouriertransformation einer glatten Funktion
<math>u</math>
mit kompaktem Träger in
<math>\R^n</math> ist

:<math>\hat u (\xi) := \int \mathrm e^{-\mathrm i y \xi} u(y)\,\mathrm dy</math>

und inverse Fouriertransformation ergibt

:<math>u (x) = \frac{1}{(2 \pi)^n} \int \mathrm e^{\mathrm i x \xi} \hat u (\xi)\,\mathrm d\xi =
\frac{1}{(2 \pi)^n} \int \int \mathrm e^{\mathrm i (x - y) \xi} u (y)\,\mathrm dy\,\mathrm d\xi\,.</math>

Wendet man <math>p(D)</math> auf diese Darstellung von <math>u</math> an und benutzt

:<math>p(D) \, \mathrm e^{\mathrm i (x - y) \xi} = \mathrm e^{\mathrm i (x - y) \xi} \, p(\xi) </math>,

erhält man (1).

=== Darstellung von Lösungen von partiellen Differentialgleichungen ===

Um eine partielle Differentialgleichung

:<math> p(D) \, u = f </math>

zu lösen, werden beide Seiten (formal) fouriertransformiert, wobei sich algebraische Gleichungen ergeben:

:<math> p(\xi) \, \hat u (\xi) = \hat f(\xi) </math>.

Falls das ''Symbol''
<math>p(\xi)</math>
immer ungleich Null ist für
<math>\xi \in \R^n</math>,
kann man durch
<math> p(\xi) </math> dividieren:

:<math> \hat u(\xi) = \frac{1}{p(\xi)} \hat f(\xi) </math>

Die Lösung lautet dann mit Anwendung der umgekehrten Fouriertransformation:

:<math> u(x) = \frac{1}{(2 \pi)^n} \int \mathrm e^{\mathrm i x \xi} \frac{1}{p(\xi)} \hat f(\xi)\,\mathrm d\xi</math>.

Dabei wird folgendes vorausgesetzt:
# <math>p(D)</math> ist ein linearer Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten,
# sein Symbol <math>p(\xi)</math> ist niemals Null für <math>\xi \in \R^n</math>,
# sowohl <math>u</math> als auch <math>f</math> haben wohldefinierte Fouriertransformierte.
Die letzte Annahme kann mit der Theorie der [[Distribution (Mathematik)|Distributionen]] abgeschwächt werden. Die ersten beiden Annahmen können wie folgt abgeschwächt werden:

Man setze in der letzten Formel die Fouriertransformation von <math>f</math> ein:

:<math> u (x) = \frac{1}{(2 \pi)^n} \int \int \mathrm e^{\mathrm i (x-y) \xi} \frac{1}{p(\xi)} f (y)\,\mathrm dy\,\mathrm d\xi</math>.

Das ist ähnlich Formel (1), nur dass <math>\tfrac{1}{p(\xi)}</math> kein Polynom ist, sondern eine Funktion allgemeinerer Art.

== Definition des Pseudodifferentialoperators ==
=== Die Symbolklasse ===
{{Hauptartikel|Symbolklasse}}
Ist <math>a(x,\xi)</math> eine [[Glatte Funktion|unendlich oft differenzierbare Funktion]] auf
<math>\Omega \times \mathbb{R}^n</math>, <math>\Omega</math> offen, <math>m\in \R</math>, mit

:<math> |\partial_\xi^\alpha \partial_x^\beta a(x,\xi)| \leq C_{\alpha,\beta,K} \, (1 + |\xi|)^{m - |\alpha|} </math>

für alle <math>x \in K</math>, wobei <math>K\subset \Omega</math> kompakt ist, für alle <math>\xi</math>, alle Multiindizes <math>\alpha,\beta</math>, eine Konstante
<math>C_{\alpha, \beta, K}</math>, so gehört <math>a</math> zur Symbolklasse <math>S^m(\Omega\times \R^n)</math>.

=== Pseudodifferentialoperator ===
Sei wieder <math>a</math> eine glatte Funktion aus der Symbolklasse <math>S^m(X\times \R^n)</math> mit <math>X \subset \R^n</math>. Ein ''Pseudodifferentialoperator der Ordnung m'' ist gewöhnlicherweise eine Abbildung
:<math>\mathcal{D}(X) \to \mathcal{E}(X)\quad \text{bzw.}\quad \mathcal{S}(X) \to \mathcal{S}(X),</math>
welche durch
:<math>(P u) (x) =
\frac{1}{(2 \pi)^n} \int_{\mathbb{R}^n} \int_{\R^n} \mathrm e^{\mathrm i (x - y) \xi} a(x,\xi) u(y)\,\mathrm dy\,\mathrm d\xi</math>
definiert ist. Der Raum <math>\mathcal{D}</math> ist der Raum der [[Testfunktion]]en, <math>\mathcal{E}</math> ist der Raum der [[Glatte Funktion|glatten Funktionen]] und <math>\mathcal{S}</math> ist der [[Schwartz-Raum]].

=== Glättender Pseudodifferentialoperator ===
{{Hauptartikel|Glättender Pseudodifferentialoperator}}
Ein Pseudodifferentialoperator heißt glättend, wenn sein Symbol in der Klasse <math>\textstyle S^{-\infty}=\bigcap_{m\in\mathbb{R}} S^m</math> liegt.

Solche Operatoren besitzen glatte [[Schwartz-Kern|Schwartz-Kerne]] und bilden Distributionen mit kompaktem Träger auf glatte Funktionen ab. In der Theorie [[Elliptischer Pseudodifferentialoperator|elliptischer Pseudodifferentialoperatoren]] treten sie typischerweise als Restterme in [[Parametrix]]-Darstellungen auf.

=== Eigentlich getragener Pseudodifferentialoperator ===
Sei <math>P</math> ein Pseudodifferentialoperator. Im Folgenden sei
:<math>K_P(x,y) := \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm e^{\mathrm i (x - y) \xi} a(x,\xi)\,\mathrm d\xi</math>
der [[Integralkern]] des Operators <math>P</math>. Der Pseudodifferentialoperator <math>P</math> heißt eigentlich getragen, falls die Projektionen <math>\pi_1 , \pi_2 : \operatorname{supp} (K_P) \to X</math> [[Eigentliche Abbildung|eigentlich]] sind.

== Eigenschaften ==
* Lineare Differentialoperatoren der Ordnung ''m'' mit glatten, beschränkten Koeffizienten können als Pseudodifferentialoperatoren der Ordnung ''m'' aufgefasst werden.
* Der [[Integralkern]]
::<math>K(x,y) := \int_{\R^n}^{OS} \mathrm e^{\mathrm i\langle x-y,\xi\rangle} a(x,\xi)\,\mathrm{d} \xi</math>
:ist außer auf der Diagonalen <math>\{(x,y)| x = y\}</math> ein glatter [[Schwartz-Kern]].
* Die Transponierte eines Pseudodifferentialoperators ist ebenfalls wieder ein Pseudodifferentialoperator.
* Falls ein linearer Differentialoperator der Ordnung ''m'' [[Elliptischer Differentialoperator|elliptisch]] ist, ist sein Inverses ein Pseudodifferentialoperator der Ordnung ''−m''. Man kann also lineare, elliptische Differentialgleichungen mehr oder weniger explizit mit Hilfe der Theorie der Pseudodifferentialoperatoren lösen.
* Differentialoperatoren sind ''lokal''. Das bedeutet, dass man nur den Wert einer Funktion in der Umgebung eines Punktes zu kennen braucht, um die Wirkung des Operators zu bestimmen. Pseudodifferentialoperatoren sind ''pseudolokal'', das bedeutet, dass diese den singulären Träger einer Distribution nicht vergrößern. Es gilt also
*:<math style="margin-left:2em">\operatorname{sing\,supp}(Au) \subset \operatorname{sing\,supp}(u)</math>.
* Da der Schwartz-Raum [[Dichte Teilmenge|dicht]] im Raum der [[quadratintegrierbar|quadratintegrierbaren Funktionen]] <math>L^2</math> liegt, ist es möglich mittels Stetigkeitsargumenten einen Pseudodifferentialoperator auf <math>L^2</math> [[Einschränkung (Mathematik)|fortzusetzen]]. Gilt außerdem <math>A \in \Psi^0(\R^n \times \R^n)</math> dann ist <math>A \colon L^2(\R^n) \to L^2(\R^n)</math> ein [[beschränkter Operator|beschränkter]] also stetiger Operator.

=== Komposition von Pseudodifferentialoperatoren ===
Pseudodifferentialoperatoren mit dem [[Schwartz-Raum]] <math>\mathcal{S}(\R^n)</math> als Definitionsbereich bilden diesen in sich selbst ab. Sie sind sogar ein Isomorphismus auf <math>\mathcal{S}(\R^n)</math>.<ref>{{Literatur | Autor = Man Wah Wong | Titel = An introduction to pseudo-differential operator | Jahr = 1999 | Verlag = World Scientific |Auflage = 2. | Ort = River Edge NJ | ISBN = 981-02-3813-4 | Seiten = 31–33 }}</ref> Außerdem bilden eigentlich getragene Pseudodifferentialoperatoren den Raum <math>C_c^\infty(\R^n)</math> in sich ab. Daher ist es möglich für solche Operatoren die [[Komposition (Mathematik)|Komposition]] zweier Pseudodifferentialoperatoren zu betrachten, was wieder einen Pseudodifferentialoperatoren ergibt.

Seien <math>a \in S^{m_1}(X \times \R^n)</math> und <math>b \in S^{m_2}(X \times \R^n)</math> zwei Symbole und seien <math>P_a</math> und <math>P_b</math> die entsprechenden Pseudodifferentialoperatoren, dann ist <math>P_a \circ P_b</math> wieder ein Pseudodifferentialoperator. Das Symbol <math>c</math> des Operators <math>P_a \circ P_b</math> ist ein Element des Raums <math>S^{m_1 + m_2}(X \times \R^n)</math> und es hat die [[Symbolklasse#Asymptotische Entwicklung eines Symbols|asymptotische Entwicklung]]
:<math>c \sim \sum_{\mu=0}^\infty \frac{(-i)^{|\mu|}}{\mu!} \frac{\partial^\mu a}{\partial \xi^\mu}(x,\xi) \frac{\partial^\mu b}{\partial x^\mu}(x,\xi)\,,</math>
was
:<math>c - \sum_{\mu < N} \frac{(-i)^{|\mu|}}{\mu!} \frac{\partial^\mu a}{\partial \xi^\mu}(x,\xi) \frac{\partial^\mu b}{\partial x^\mu}(x,\xi) \in S^{m_1+m_2 - N}(X \times \R^n) </math>
bedeutet.<ref>{{Literatur | Autor = Man Wah Wong | Titel = An introduction to pseudo-differential operator | Jahr = 1999 | Verlag = World Scientific |Auflage = 2. | Ort = River Edge NJ | ISBN = 981-02-3813-4 | Seiten = 54–60 }}</ref>

=== Adjungierter Operator ===
Für jedes Paar <math>\phi,\, \psi</math> von Schwartz-Funktionen sei
:<math>(\phi,\psi) = \int_{X} \phi(x) \overline{\psi(x)} \mathrm{d} x</math>
eine [[Bilinearform]] und sei <math>P \colon \mathcal{S}(X) \to \mathcal{S}(X)</math> ein Pseudodifferentialoperator mit Symbol <math>a \in S^m(X \times \R^n)</math>. Dann ist der [[Adjungierter Operator|formal adjungierte Operator]] <math>P^*</math> bezüglich <math>(\cdot,\cdot)</math> wieder ein Pseudodifferentialoperator und sein Symbol <math>a^*</math> ist ein Element des Raums <math>S^{m}(X\times \R^n)</math> und es hat die asymptotische Entwicklung
:<math>a^* \sim \sum_{\mu=0}^\infty \frac{(-i)^{|\mu|}}{\mu!}\, \frac{\partial^\mu}{\partial x^\mu}\frac{\partial^\mu b}{\partial \xi^\mu}\, \overline{a(x,\xi)}\,.</math><ref>{{Literatur | Autor = Man Wah Wong | Titel = An introduction to pseudo-differential operator | Jahr = 1999 | Verlag = World Scientific |Auflage = 2. | Ort = River Edge NJ | ISBN = 981-02-3813-4 | Seiten = 62–69 }}</ref>

== Pseudodifferentialoperatoren auf Distributionenräumen ==
Mit Hilfe des formal adjungierten Operators ist es möglich Pseudodifferentialoperatoren auf [[Distribution (Mathematik)|Distributionenräumen]] zu definieren. Dazu betrachtet man statt der Bilinearform <math>(\cdot,\cdot)</math> die [[duale Paarung]] <math>(\cdot,\cdot)_{\mathcal{S}'(\R^n)\times\mathcal{S}(\R^n)}</math> zwischen dem Schwartz-Raum und seinem [[Dualraum]]. Die duale Paarung kann als [[stetige Fortsetzung]] von <math>(\cdot,\cdot)</math> verstanden werden. Daher ist es möglich Pseudodifferentialoperatoren auf dem Dualraum des Schwartz-Raum also dem Raum der [[Temperierte Distribution|temperierten Distributionen]] zu definieren.

Sei <math>P \colon \mathcal{S}(\R^n) \to \mathcal{S}(\R^n)</math> ein Pseudodifferentialoperator und <math>u \in \mathcal{S}'(\R^n)</math> eine temperierte Distribution. Dann ist der fortgesetzte Operator <math>\tilde{P} \colon \mathcal{S}'(\R^n) \to \mathcal{S}'(\R^n)</math> für alle <math>v \in \mathcal{S}(\R^n)</math> definiert durch
:<math>(\tilde{P}u,v)_{\mathcal{S}'(\R^n)\times\mathcal{S}(\R^n)} := (u,P^*v)_{\mathcal{S}'(\R^n)\times\mathcal{S}(\R^n)}\,.</math>

Für Pseudodifferentialoperatoren <math>P \colon \mathcal{D}(\R^n) \to \mathcal{E}(\R^n)</math> gilt Analoges. Der bezüglich der Bilinearform <math>(\cdot,\cdot)</math> adjungierte Operator ist ein Pseudodifferentialoperator <math>P^* \colon \mathcal{E}(\R^n) \to \mathcal{D}(\R^n)</math> und diesen kann man ebenfalls analog zu einem Operator <math>\tilde{P} \colon \mathcal{E}'(\R^n) \to \mathcal{D}'(\R^n)</math> stetig fortsetzen. Dabei ist <math>\mathcal{D}'(\R^n)</math> der Raum der Distributionen und <math>\mathcal{E}'(\R^n)</math> der Raum der Distributionen mit kompaktem Träger.

== Pseudodifferentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten ==
Sei <math>C_c^\infty(X)</math> der Raum der [[Testfunktion]]en auf <math>X \subset \R^n</math>, sei <math>M</math> eine [[Kompakter Raum|kompakte]] [[glatte Mannigfaltigkeit]] und sei <math>(U_j,\phi_i)</math> eine [[Atlas (Mathematik)|Karte]] von <math>M</math>. Eine stetige Abbildung
:<math>P \colon C^\infty(M) \to C^\infty(M)</math>
ist ein Pseudodifferentialoperator, falls er lokal in jeder Karte wie ein Pseudodifferentialoperator in <math>\R^n</math> dargestellt werden kann. Konkret heißt dies, <math>P</math> ist ein Pseudodifferentialoperator, falls für <math>\psi_0,\, \psi_1 \in C_c^\infty(U_j)</math> mit <math>\psi_1 = 1</math> in einer Umgebung von <math>\operatorname{supp}(\psi_0)</math> der [[Linearer Operator|Operator]]

:<math>\tilde{P}_i(u)(y) := \psi_0(x) \cdot P(\psi_1 \cdot u \circ \phi_i)(x)</math>

mit <math>y = \phi_i(x)</math> und <math>u \in C^\infty(\phi_i(\Omega_i))</math> ein Pseudodifferentialoperator ist.<ref>Christopher D. Sogge: ''Fourier Integrals in Classical Analysis.'' (= ''Cambridge Tracts in Mathematics.'' Bd. 105). Digitally printed version. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2008, ISBN 978-0-521-06097-4, S. 106.</ref>

== Literatur ==
* José García-Cuerva: ''Fourier Analysis and Partial Differential Equations.'' CRC Press, Boca Raton FL u. a. 1995, ISBN 0-8493-7877-X.
* Lars Hörmander: ''The Analysis of Linear Partial Differential Operators III: Pseudo-Differential Operators'' (= ''Grundlehren der mathematischen Wissenschaften.'' Bd. 274). Springer, Berlin 1985, ISBN 3-540-13828-5.
* Michail A. Shubin: ''Pseudodifferential Operators and Spectral Theory.'' 2nd edition. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-41195-X.
* [[Michael E. Taylor]]: ''Pseudodifferential Operators'' (= ''Princeton Mathematical Series.'' Bd. 34). Princeton University Press, Princeton NJ 1981, ISBN 0-691-08282-0.
* Michael E. Taylor: ''Partial differential equations.'' Band 1–2. Springer, New York u. a. 1996, ISBN 0-387-94653-5 (Bd. 1), ISBN 0-387-94651-9 (Bd. 2).
* [[François Treves]]: ''Introduction to Pseudo Differential and Fourier Integral Operators.'' 2 Bände. Plenum Press, New York NY u. a. 1980;
** Band 1: ''Pseudodifferential Operators.'' ISBN 0-306-40403-6;
** Band 2: ''Fourier Integral Operators.'' ISBN 0-306-40404-4.

== Weblink ==
* [https://arxiv.org/abs/math/9906155 Mark Joshi, Vorlesungen über Pseudodifferentialoperatoren, englisch]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4047640-6}}

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Theorie partieller Differentialgleichungen]]

Pseudodifferentialoperator - Versionsgeschichte

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