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2026-04-12T11:31:31Z

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{{QS-Mathematik}}
{{Belege fehlen}}
Eine '''Pseudobewertung''' ist eine abgeschwächte Variante eines [[Betragsfunktion|Betrags]].

== Definition ==
Sei <math>R</math> ein [[unitärer Ring]]. Eine Abbildung <math>|\cdot| \colon R\to\R_{\geq0}</math> in die nichtnegativen [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] wird ''Pseudobewertung'' genannt, wenn für alle <math>a,b\in R</math> folgende Eigenschaften gelten:
: (1) <math> |a|=0\;\Leftrightarrow\; a=0</math> (Definitheit)
: (2) <math> |a-b|\leq |a|+|b|</math>
: (3) <math> |a\cdot b|\leq |a|\cdot |b|</math> ([[Submultiplikativität]])
Wird (3) verschärft zu
: (3a) <math> |a\cdot b|= |a|\cdot |b|</math> (Multiplikativität),
so ist <math>|\cdot|</math> ein ''Betrag''.

Die Pseudobewertung <math>|\cdot|</math> heißt ''nicht-archimedisch'', wenn
: (4) <math> |a+b|\leq \max(|a|,|b|)</math>
gilt.

== Eigenschaften ==
* Für eine Pseudobewertung gelten stets
:: <math>|{-a}|=|a|</math>
: und
:: <math>|a+b|\leq |a|+|b|</math> ([[Dreiecksungleichung]]).
* Für eine Pseudobewertung gilt stets <math>|1|\geq 1</math>, für einen Betrag gilt sogar <math>|1|=1</math>.
* Jeder unitäre Ring mit Betrag ist notwendigerweise bereits ein [[Integritätsring]] (durch die Multiplikativität vererbt sich die Nullteilerfreiheit der reellen Zahlen auf den Ring).
* Die Funktion
:: <math>
\begin{array}{llll}
d \; \colon & R \times R & \to \R_{\geq0} \\
& d(a,b) & \mapsto |a-b|
\end{array}
</math>
: definiert die von der Pseudobewertung <math>|\cdot| </math> induzierte [[Metrik (Mathematik)|Metrik]]. Sie ist eine [[Ultrametrik]], wenn jener nicht-archimedisch ist.

== Beispiele ==
Sei <math>(R,|\cdot |)</math> ein unitärer Ring mit Pseudobewertung.
=== Polynomringe mit Pseudobewertung ===
Dann sind die Polynomalgebren <math>R[X]</math> in einer bzw. <math>R[X_1,\ldots,X_n]</math> in mehreren Veränderlichen selbst wiederum unitäre Ringe (mit der Polynommultiplikation). Die 1-[[Pseudonorm]] ist auf diesen Polynomringen eine Pseudobewertung.
=== Matrizenringe mit Pseudobewertung ===
Analog sind die Matrizenalgebren <math>R^{n\times n}</math> wiederum unitäre Ringe (hier mit der [[Matrizenmultiplikation]]). Hier ist sogar die p-Pseudonorm für jedes reelle ''p'' mit <math>1\leq p\leq 2</math> eine Pseudobewertung auf dem [[Matrizenring]].

[[Kategorie:Algebra]]

Pseudobewertung - Versionsgeschichte

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